Aufgabe 6 < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | [mm] f(z)=\bruch{3z-1}{z^2+4z+4}
[/mm]
Bestimme die Art der Singularitäten: Position, Ordnung, Stärke, Residuum. |
Hallo,
ich hab mal angefangen mit:
[mm] f(z)=\bruch{3}{z+2}-\bruch{7}{(z+2)^2}
[/mm]
also z=-2 bei der Ordnung bin ich mir unsicher ich dachte 3, kann aber auch 2 sein.
Habt ihr ne Idee?
Wie komme ich auf die Stärke und wie aufs Residuum?
Vielen lieben Dank für eure Hilfe :)
Liebe Grüße und einen schönen Abend :)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Mi 18.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> [mm]f(z)=\bruch{3z-1}{z^2+4z+4}[/mm]
>
> Bestimme die Art der Singularitäten: Position, Ordnung,
> Stärke, Residuum.
> Hallo,
>
> ich hab mal angefangen mit:
>
> [mm]f(z)=\bruch{3}{z+2}-\bruch{7}{(z+2)^2}[/mm]
>
> also z=-2 bei der Ordnung bin ich mir unsicher ich dachte
> 3, kann aber auch 2 sein.
Die Position $z=-2$ ist schonmal richtig.
Zur Ordnung: wenn die Ordnung der Funktion im Punkt [mm] $z_0$ [/mm] n ist, so ist n die kleinste Zahl, für die [mm] $(z-z_0)^n [/mm] * f(z)$ eine hebbare Singularität hat, für die also der Grenzwert
[mm] \lim_{z\to z_0} (z-z_0)^n * f(z) [/mm]
existiert.
Jetzt probiere einfach aus: was ist [mm] $\,(z+2) [/mm] f(z)$, was ist [mm] $(z+2)^2 [/mm] f(z)$? Usw.
> Wie komme ich auf die Stärke und wie aufs Residuum?
Wie habt ihr die Stärke definiert? (mir ist der Begriff Stärke bei komplexen Singularitäten nicht geläufig)
Das Residuum ist der Koeffizient des Terms [mm] $\bruch{1}{z-z_0}$, [/mm] ander Stelle $z=-2$ also der Koeffizient von [mm] $\bruch{1}{z+2}$. [/mm] Wenn du deine Darstellung
[mm]f(z)=\bruch{3}{z+2}-\bruch{7}{(z+2)^2}[/mm]
anstarrst, sollte dir dieser Koeffizient ins Auge springen. 
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
Hallo,
danke für deine ausführliche Hilfe :)
Ich habe hier mal ein Beispiel für Stärke:
[mm] \bruch{1}{(z-1)^2}+\bruch{3}{z-1}+\bruch{5}{z-2} [/mm]
• z = 2 Pol, Ordnung 1, Stärke 5, Residuum 5
• z = 1 Pol, Ordnung 2, Stärke 1, Residuum 3
also zu der Aufgabe.
Bei Ordnung 2 fällt der Bruch weg, also hat diese Funktion die Ordnung 2.
Das Residuum ist 3 oder?
und Stärke 7?
Vielen lieben Dank für Deine Hilfe und liebe Grüße :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:07 Do 19.11.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> danke für deine ausführliche Hilfe :)
>
> Ich habe hier mal ein Beispiel für Stärke:
>
> [mm]\bruch{1}{(z-1)^2}+\bruch{3}{z-1}+\bruch{5}{z-2}[/mm]
>
>
> • z = 2 Pol, Ordnung 1, Stärke 5, Residuum 5
> • z = 1 Pol, Ordnung 2, Stärke 1, Residuum 3
>
> also zu der Aufgabe.
>
> Bei Ordnung 2 fällt der Bruch weg, also hat diese Funktion
> die Ordnung 2.
Die Funktion hat an der Stell -2 einen Pol der Ornung 2
>
> Das Residuum ist 3 oder?
Ja
>
> und Stärke 7?
Auch ich habe den Begriff "Stärke" noch nie gehört ! Teil uns mal mit was damit gemeint ist
FRED
>
> Vielen lieben Dank für Deine Hilfe und liebe Grüße :)
>
|
|
|
| |
|
Hallo und vielen Dank für Deine Antwort :)
ich kann leider nur noch ein Beispiel für 'Stärke' geben, hier liegt wahrscheinlich ein Übersetzungsfehler vor, da ich meiner Vorlesung nicht in deutsch folge.
[mm] f(z)=\bruch{1}{\sin z}
[/mm]
[mm] z=k\pi [/mm]
[mm] k=0,\pm1,\pm2,....
[/mm]
Taylor: [mm] f(z)=f(z_0)+f'(z_0)(z-z_0)+...
[/mm]
[mm] sin(z)=\sin (k\pi)+\cos (k\pi(z-k\pi))+....
[/mm]
[mm] =0+(-1)^k(z-k\pi)
[/mm]
'stärke' [mm] :(-1)^k
[/mm]
Vielleicht könnt ihr mir die richtige Bezeichnung nennen?
Vielen lieben Dank für eure Hilfe :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:06 Fr 20.11.2009 | | Autor: | fred97 |
Das war nun wirklich sehr aufschlußreich !!
In welcher Sprache ist denn Deine Vorlesung und wie heißt das Wort in dieser Sprache, das Du mit "Stärke" übersetzt hast ?
FRED
|
|
|
| |
|
Hallo FRED,
in niederländisch...
'sterkte' ist das Originalwort.
Vielleicht bringt das weiter?
Liebe Grüße
|
|
|
| |
|
Hallo Felix,
vielen lieben Dank für Deine Hilfe, das ist sehr hilfreich gewesen und die Beispiele habe ich mir auch angeschaut, leider verstehe ich diesen Ausdruck nicht:
niedrigsten Koeffizienten der Laurent-Entwicklung in einer Polstelle
kannst du mir das noch kurz erklären?
Vielen lieben Dank für Deine Hilfe :)
Liebe Grüße und einen schönen Sonntag :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:39 So 22.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> vielen lieben Dank für Deine Hilfe, das ist sehr hilfreich
> gewesen und die Beispiele habe ich mir auch angeschaut,
> leider verstehe ich diesen Ausdruck nicht:
> niedrigsten Koeffizienten der Laurent-Entwicklung in einer
> Polstelle
>
> kannst du mir das noch kurz erklären?
Wenn du eine Laurent-Entwicklung $f(z) = [mm] \sum_{k=-\infty}^\infty a_k [/mm] (z - [mm] z_0)^k$ [/mm] hast und [mm] $a_k [/mm] = 0$ ist fuer alle $k < -n$ und [mm] $a_{-n} \neq [/mm] 0$ ist, dann ist ja $f(z) = [mm] \sum_{k=-n}^\infty a_k [/mm] (z - [mm] z_0)^k$, [/mm] und $f$ hat in [mm] $z_0$ [/mm] einen Pol $n$-ter Ordnung der Staerke [mm] $a_{-n}$. [/mm] In dieser Laurentdarstellung ist $(z - [mm] z_0)^{-n}$ [/mm] die niedrigste Potenz und [mm] $a_{-n}$ [/mm] der niedrigste Koeffizient.
Sprich so wie bei Polynomen, nur das man hier nicht nach den hoechsten Term sucht, sondern nach dem niedrigsten :)
LG Felix
|
|
|
|
![[]](/images/popup.gif){kind=small}
strength of a pole complex analysis