Anzahl der Lösungen bestimmen < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:06 Mo 18.02.2013 | | Autor: | ralfr |
Hallo ich habe hier eine Matrix:
[mm] $\pmat{ 1 & -1 & 1 & | & 1\\ 2 & -3 & 0 & |& \mu\\ -1&2&z&|&3 }$
[/mm]
Ich soll nun angeben, für welche Werte $z$ und [mm] $\mu$ [/mm] das System keine, genau eine und unendlich viele Lösungen besitzt.
Wie gehe ich bei solchen Aufgaben vor? :)
Es wäre schön wenn mir das jemand einmal genau erklären könnte :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:33 Mo 18.02.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
bringe die erweiterte Matrix mittels Gaußsches Eliminationsverfahren auf Stufenform. Dann kannst Du sehen, wann genau eine, keine oder unemdlich viele Lösungen existieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Mo 18.02.2013 | | Autor: | ralfr |
ok danke dann würde ich auf solche ausdrücke kommen:
[mm] $\pmat{ 1 & 0&0&|&3+ \frac{6+\mu}{z+3} + \mu \\ 0 & 1 &0&|& \mu -2 + \frac{12-2\mu}{z+3} \\ 0&0&1&|&\frac{6-\mu}{z+3}}$
[/mm]
Aber wie sehe ich jetzt an dem durcheinander wann ich welche Lösungen habe?
Ich habe mal gelesen, dass das auch mit der Determinante geht?
Kann das jemand bestätigen bzw. erläutern?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:06 Di 19.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> ok danke dann würde ich auf solche ausdrücke kommen:
> [mm]\pmat{ 1 & 0&0&|&3+ \frac{6+\mu}{z+3} + \mu \\ 0 & 1 &0&|& \mu -2 + \frac{12-2\mu}{z+3} \\ 0&0&1&|&\frac{6-\mu}{z+3}}[/mm]
Das stimmt hinten und vorne nicht
FRED
>
> Aber wie sehe ich jetzt an dem durcheinander wann ich
> welche Lösungen habe?
> Ich habe mal gelesen, dass das auch mit der Determinante
> geht?
> Kann das jemand bestätigen bzw. erläutern?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:44 Di 19.02.2013 | | Autor: | ralfr |
Tut mir leid,
ich habe es jetzt noch einmal probiert und komme auf:
[mm] $\pmat{ 1 & 0&0&|& 3-\frac{3\mu+6}{z-1}-\mu \\ 0 & 1&0&|&-\mu+2-\frac{2\mu+4}{z-1}\\0&0&1&|&\frac{\mu+2}{z-1} }$
[/mm]
Ist das richtig? Wie fahre ich dann fort?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:47 Di 19.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Tut mir leid,
> ich habe es jetzt noch einmal probiert und komme auf:
> [mm]\pmat{ 1 & 0&0&|& 3-\frac{3\mu+6}{z-1}-\mu \\ 0 & 1&0&|&-\mu+2-\frac{2\mu+4}{z-1}\\0&0&1&|&\frac{\mu+2}{z-1} }[/mm]
>
> Ist das richtig?
nein. Zeig Deine Rechnungen.
FRED
> Wie fahre ich dann fort?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 12:53 Di 19.02.2013 | | Autor: | ralfr |
$ [mm] \pmat{ 1 & -1 & 1 & | & 1\\ 2 & -3 & 0 & |& \mu\\ -1&2&z&|&3 } [/mm] $
$ [mm] \pmat{ 1 & -1 & 1 & | & 1\\ 0 & -1 & -2 & |& \mu-2\\ 0&1&z+1&|&4 } [/mm] $
$ [mm] \pmat{ 1 & -1 & 1 & | & 1\\ 0 & -1 & -2 & |& \mu-2\\ 0&0&z-1&|&\mu+2 } [/mm] $
$ [mm] \pmat{ 1 & -1 & 1 & | & 1\\ 0 & -1 & -2 & |& \mu-2\\ 0&0&1&|&\frac{\mu+2}{z-1} } [/mm] $
$ [mm] \pmat{ 1 & -1 & 1 & | & 1\\ 0 & -1 & 0 & |& \mu-2+\frac{2\mu+4}{z-1}\\ 0&0&1&|&\frac{\mu+2}{z-1} } [/mm] $
$ [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & | & 3+\mu -\frac{3\mu+6}{z-1}\\ 0 & -1 & 0 & |& \mu-2+\frac{2\mu+4}{z-1}\\ 0&0&1&|&\frac{\mu+2}{z-1} } [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:38 Di 19.02.2013 | | Autor: | barsch |
Hallo,
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> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 1 & | & 1\\
2 & -3 & 0 & |& \mu\\
-1&2&z&|&3 }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 1 & | & 1\\
0 & -1 & -2 & |& \mu-2\\
0&1&z+1&|&4 }[/mm]
>
> [mm]\pmat{ 1 & -1 & 1 & | & 1\\
0 & -1 & -2 & |& \mu-2\\
0&0&z-1&|&\mu+2 }[/mm]
>
hier würde ich bereits aufhören.
Genau eine Lösung hat das LGS [mm]A\cdot{x}=b[/mm], wenn der Rang der Matrix [mm]A[/mm] gleich dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix [mm](A|b)[/mm] ist. Übertrage das einmal auf dein LGS.
Oder: Ist die Determinante der Koeffizientenmatrix [mm]A[/mm] ungleich 0, so ist das LGS eindeutig lösbar.
Für welche(s) [mm]z[/mm] ist dies jeweils der Fall?
Keine Lösung hat das LGS, wenn... (du hast bestimmt eine Idee!)
Unendlich viele Lösungen hat das LGS, wenn... (denke mal drüber nach)
Gruß,
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Di 19.02.2013 | | Autor: | ralfr |
> Hallo,
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> >
> > [mm]\pmat{ 1 & -1 & 1 & | & 1\\
2 & -3 & 0 & |& \mu\\
-1&2&z&|&3 }[/mm]
>
> >
> > [mm]\pmat{ 1 & -1 & 1 & | & 1\\
0 & -1 & -2 & |& \mu-2\\
0&1&z+1&|&4 }[/mm]
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> >
> > [mm]\pmat{ 1 & -1 & 1 & | & 1\\
0 & -1 & -2 & |& \mu-2\\
0&0&z-1&|&\mu+2 }[/mm]
>
> >
>
> hier würde ich bereits aufhören.
>
> Genau eine Lösung hat das LGS [mm]A\cdot{x}=b[/mm], wenn der Rang
> der Matrix [mm]A[/mm] gleich dem Rang der erweiterten
> Koeffizientenmatrix [mm](A|b)[/mm] ist. Übertrage das einmal auf
> dein LGS.
Das bedeutet ja, dass genau eine Lösung existiert, wenn [mm] $z\not=1$ [/mm] ist oder? Der Rang der Matrix A ist aber auch gleich dem Rang der erweiterten koeffizientenmatrix Ab wenn [mm] $z\not=1$ [/mm] und [mm] $\mu=2$ [/mm] oder?
Aber dann existiert eine Nullzeile und es gibt unendlich viele Lösungen?
> Oder: Ist die Determinante der Koeffizientenmatrix [mm]A[/mm]
> ungleich 0, so ist das LGS eindeutig lösbar.
> Für welche(s) [mm]z[/mm] ist dies jeweils der Fall?
>
> Keine Lösung hat das LGS, wenn... (du hast bestimmt eine
> Idee!)
Da würde ich sagen, wenn der Rang der erweiterten koeffizientenmatrix größer ist, als der Rang der Matrix A?
Also in dem Fall wenn $z=1$ und [mm] $\mu\not=-2$ [/mm] ist?
>
> Unendlich viele Lösungen hat das LGS, wenn... (denke mal
> drüber nach)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Di 19.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo,
> >
> >
> > >
> > > [mm]\pmat{ 1 & -1 & 1 & | & 1\\
2 & -3 & 0 & |& \mu\\
-1&2&z&|&3 }[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]\pmat{ 1 & -1 & 1 & | & 1\\
0 & -1 & -2 & |& \mu-2\\
0&1&z+1&|&4 }[/mm]
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> >
> > >
> > > [mm]\pmat{ 1 & -1 & 1 & | & 1\\
0 & -1 & -2 & |& \mu-2\\
0&0&z-1&|&\mu+2 }[/mm]
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> >
> > >
> >
> > hier würde ich bereits aufhören.
> >
> > Genau eine Lösung hat das LGS [mm]A\cdot{x}=b[/mm], wenn der Rang
> > der Matrix [mm]A[/mm] gleich dem Rang der erweiterten
> > Koeffizientenmatrix [mm](A|b)[/mm] ist. Übertrage das einmal auf
> > dein LGS.
>
> Das bedeutet ja, dass genau eine Lösung existiert, wenn
> [mm]z\not=1[/mm] ist oder?
Ja
> Der Rang der Matrix A ist aber auch
> gleich dem Rang der erweiterten koeffizientenmatrix Ab wenn
> [mm]z\not=1[/mm] und [mm]\mu=2[/mm] oder?
Wenn z [mm] \ne [/mm] 1 ist, so ist der Rang von A =Rang der erw. Matrix =3 und zwar für jedes [mm] \mu.
[/mm]
> Aber dann existiert eine Nullzeile und es gibt unendlich
> viele Lösungen?
Im Falle z [mm] \ne [/mm] 1 nicht !
> > Oder: Ist die Determinante der Koeffizientenmatrix [mm]A[/mm]
> > ungleich 0, so ist das LGS eindeutig lösbar.
> > Für welche(s) [mm]z[/mm] ist dies jeweils der Fall?
> >
> > Keine Lösung hat das LGS, wenn... (du hast bestimmt eine
> > Idee!)
> Da würde ich sagen, wenn der Rang der erweiterten
> koeffizientenmatrix größer ist, als der Rang der Matrix
> A?
Ja
> Also in dem Fall wenn [mm]z=1[/mm] und [mm]\mu\not=-2[/mm] ist?
Ja
FRED
> >
> > Unendlich viele Lösungen hat das LGS, wenn... (denke mal
> > drüber nach)
>
>
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:37 Di 19.02.2013 | | Autor: | ralfr |
> > > Hallo,
> > >
> > >
> > > >
> > > > [mm]\pmat{ 1 & -1 & 1 & | & 1\\
2 & -3 & 0 & |& \mu\\
-1&2&z&|&3 }[/mm]
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> > > >
> > > > [mm]\pmat{ 1 & -1 & 1 & | & 1\\
0 & -1 & -2 & |& \mu-2\\
0&1&z+1&|&4 }[/mm]
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> >
> > >
> > > >
> > > > [mm]\pmat{ 1 & -1 & 1 & | & 1\\
0 & -1 & -2 & |& \mu-2\\
0&0&z-1&|&\mu+2 }[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > >
> > > hier würde ich bereits aufhören.
> > >
> > > Genau eine Lösung hat das LGS [mm]A\cdot{x}=b[/mm], wenn der Rang
> > > der Matrix [mm]A[/mm] gleich dem Rang der erweiterten
> > > Koeffizientenmatrix [mm](A|b)[/mm] ist. Übertrage das einmal auf
> > > dein LGS.
> >
> > Das bedeutet ja, dass genau eine Lösung existiert, wenn
> > [mm]z\not=1[/mm] ist oder?
>
>
> Ja
>
>
> > Der Rang der Matrix A ist aber auch
> > gleich dem Rang der erweiterten koeffizientenmatrix Ab wenn
> > [mm]z\not=1[/mm] und [mm]\mu=2[/mm] oder?
>
> Wenn z [mm]\ne[/mm] 1 ist, so ist der Rang von A =Rang der erw.
> Matrix =3 und zwar für jedes [mm]\mu.[/mm]
>
>
>
> > Aber dann existiert eine Nullzeile und es gibt unendlich
> > viele Lösungen?
>
> Im Falle z [mm]\ne[/mm] 1 nicht !
>
Entschuldigung ich meine es ist ja der Rang der Matrix A = Rang Ab wenn gilt: $z=1$ und [mm] $\mu=-2$ [/mm] oder?
wieso gibt es dann in dem Fall unendlich viele Lösungen?
>
> > > Oder: Ist die Determinante der Koeffizientenmatrix [mm]A[/mm]
> > > ungleich 0, so ist das LGS eindeutig lösbar.
> > > Für welche(s) [mm]z[/mm] ist dies jeweils der Fall?
> > >
> > > Keine Lösung hat das LGS, wenn... (du hast bestimmt eine
> > > Idee!)
> > Da würde ich sagen, wenn der Rang der erweiterten
> > koeffizientenmatrix größer ist, als der Rang der Matrix
> > A?
>
> Ja
>
>
> > Also in dem Fall wenn [mm]z=1[/mm] und [mm]\mu\not=-2[/mm] ist?
>
> Ja
>
> FRED
> > >
> > > Unendlich viele Lösungen hat das LGS, wenn... (denke mal
> > > drüber nach)
> >
> >
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Do 21.02.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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