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Anwendung von l' Hospital: Hilfe bei der Lösung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:29 Sa 03.01.2015
Autor: Tiger87

Aufgabe
Welche der folgenden Grenzwerte existieren? Bestimmen sie gegebenfalls unter der Verwendung von l'Hospital den Grenzwert
[Dateianhang nicht öffentlich]

1) Da sin(0) = 0 = 0² darf ich hospital anwenden
Die Ableitung ist dann [mm] \bruch{cos(x)}{2x} [/mm]

Da hier für [mm] \limes_{n\rightarrow\0} [/mm] 1 und 0 rauskommt, darf ich hospital nicht mehr anwenden. Ich weiß auch nicht wie den Bruch umformen kann um die Division durch Null zu umgehen. Daher denke ich, dass kein Grenzwert exisitiert

2) Hier darf ich einmal Hospital anweden. Da Nenner und Zähler 0 werden.
ist dann  [mm] \bruch{1}{x} [/mm] / 1

Und das ist für [mm] \limes_{n\rightarrow\0} [/mm]  = 1

3)Hier darf ich einmal Hospital anweden. Da Nenner und Zähler 0 werden.
Die Ableitung ist dann [mm] \bruch{- \bruch{1}{1+x^{2}}}{-e^{-x}} [/mm]

Hier darf ich noch einmal Hospital anweden. Da Nenner und Zähler 0 werden.

[mm] \bruch{ \bruch{-2x}{x^{4}+2x^{3}+1}}{e^{-x}} [/mm]

Jetzt kann ich Hosputal nicht mehr anwenden. Wie kann ich weiter umformen um zum Grenzwert zu gelangen?

4) [mm] x^{x} [/mm] habe ich als [mm] \bruch{x^{x2}}{x^{x}} [/mm] umgeformt.
Dann kann ich Hospital anwenden.

Als Ableitung bleibt bei mir 2*(x*x) übrig. Der Limes gegen Null ist dann Null.

Vielen Dank für Hilfe

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Anwendung von l' Hospital: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:59 Sa 03.01.2015
Autor: abakus


> Welche der folgenden Grenzwerte existieren? Bestimmen sie
> gegebenfalls unter der Verwendung von l'Hospital den
> Grenzwert
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> 1) Da sin(0) = 0 = 0² darf ich hospital anwenden
> Die Ableitung ist dann [mm]\bruch{cos(x)}{2x}[/mm]

>

> Da hier für [mm]\limes_{n\rightarrow\0}[/mm] 1 und 0 rauskommt,
> darf ich hospital nicht mehr anwenden. Ich weiß auch nicht
> wie den Bruch umformen kann um die Division durch Null zu
> umgehen. Daher denke ich, dass kein Grenzwert exisitiert

>

> 2) Hier darf ich einmal Hospital anweden. Da Nenner und
> Zähler 0 werden.
> ist dann [mm]\bruch{1}{x}[/mm] / 1

>

> Und das ist für [mm]\limes_{n\rightarrow\0}[/mm] = 1

>

> 3)Hier darf ich einmal Hospital anweden. Da Nenner und
> Zähler 0 werden.
> Die Ableitung ist dann [mm]\bruch{- \bruch{1}{1+x^{2}}}{-e^{-x}}[/mm]

>

> Hier darf ich noch einmal Hospital anweden. Da Nenner und
> Zähler 0 werden.

>

> [mm]\bruch{ \bruch{-2x}{x^{4}+2x^{3}+1}}{e^{-x}}[/mm]

>

> Jetzt kann ich Hosputal nicht mehr anwenden. Wie kann ich
> weiter umformen um zum Grenzwert zu gelangen?

>

> 4) [mm]x^{x}[/mm] habe ich als [mm]\bruch{x^{x2}}{x^{x}}[/mm] umgeformt.

Hallo,
es ist [mm] $x^x=e^{x*ln(x)}$. [/mm]

> Dann kann ich Hospital anwenden.

>

> Als Ableitung bleibt bei mir 2*(x*x) übrig. Der Limes
> gegen Null ist dann Null.

>

> Vielen Dank für Hilfe

>

> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Bezug
                
Bezug
Anwendung von l' Hospital: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:15 Sa 03.01.2015
Autor: Tiger87

Ich kann die Antwort leider nicht lesen.

Bezug
                        
Bezug
Anwendung von l' Hospital: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:21 Sa 03.01.2015
Autor: DieAcht

Noch einmal der Tipp von Abakus:

      [mm] x^x=e^{\ln(x^x)}=e^{x*\ln(x)} [/mm] für alle [mm] $x>0\$. [/mm]

Bezug
        
Bezug
Anwendung von l' Hospital: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:18 Sa 03.01.2015
Autor: DieAcht

Hallo Tiger87 und [willkommenmr]!


> Welche der folgenden Grenzwerte existieren? Bestimmen sie
> gegebenfalls unter der Verwendung von l'Hospital den
> Grenzwert
>  [Dateianhang nicht öffentlich]
>  1) Da sin(0) = 0 = 0² darf ich hospital anwenden
>  Die Ableitung ist dann [mm]\bruch{cos(x)}{2x}[/mm]
>  
> Da hier für [mm]\limes_{n\rightarrow\0}[/mm] 1 und 0 rauskommt,

Du meinst [mm] $x\to [/mm] 0$. Spare aber nicht an Wörtern. Genauer arbeiten.

> darf ich hospital nicht mehr anwenden. Ich weiß auch nicht
> wie den Bruch umformen kann um die Division durch Null zu
> umgehen. Daher denke ich, dass kein Grenzwert exisitiert

Richtig. Es ist

      [mm] \lim_{x\to 0^{+}}\frac{\sin(x)}{x^2}\not=\lim_{x\to 0^{-}}\frac{\sin(x)}{x^2}. [/mm]

> 2) Hier darf ich einmal Hospital anweden. Da Nenner und
> Zähler 0 werden.
>  ist dann  [mm]\bruch{1}{x}[/mm] / 1

Falsch. Es ist

      [mm] $(1-x)'=-1\$. [/mm]

> Und das ist für [mm]\limes_{n\rightarrow\0}[/mm]  = 1

Hier auch überall genauer arbeiten!

> 3)Hier darf ich einmal Hospital anweden. Da Nenner und
> Zähler 0 werden.
>  Die Ableitung ist dann [mm]\bruch{- \bruch{1}{1+x^{2}}}{-e^{-x}}[/mm]
>
> Hier darf ich noch einmal Hospital anweden. Da Nenner und
> Zähler 0 werden.
>  
> [mm]\bruch{ \bruch{-2x}{x^{4}+2x^{3}+1}}{e^{-x}}[/mm]
>
> Jetzt kann ich Hosputal nicht mehr anwenden. Wie kann ich
> weiter umformen um zum Grenzwert zu gelangen?

Tipp: Der Grenzwert ist nicht endlich. ;-)

> 4) [mm]x^{x}[/mm] habe ich als [mm]\bruch{x^{x2}}{x^{x}}[/mm] umgeformt.
>  Dann kann ich Hospital anwenden.
>  
> Als Ableitung bleibt bei mir 2*(x*x) übrig. Der Limes
> gegen Null ist dann Null.

Dazu hat dir Abakus schon was gesagt.


Gruß
DieAcht

Bezug
                
Bezug
Anwendung von l' Hospital: Frage und Anmerkung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:17 So 04.01.2015
Autor: Tiger87

Bei der 2) hab ich tatsächlich die Aufgabenstellung falsch abgeschrieben. *schäm*

[mm] \limes_{x\rightarrow\1} \bruch{ln(x)}{x-1} [/mm]

Ist dann mein Lösungweg korrekt?


Zu 3)
[mm] \bruch{-2x}{x^{4}+2x^{2}+1} [/mm] wird für x gegen [mm] \infty [/mm] = [mm] -\infty [/mm]

[mm] e^{-x} [/mm] wird für x gegen [mm] \infty [/mm] = 0

Also verstehe ich dich richtig, dass es keinen Grenzwert gibt?

zu 4)

Warum ist 0 * [mm] -\infty [/mm] = [mm] -\infty [/mm] ?





Bezug
                        
Bezug
Anwendung von l' Hospital: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:16 So 04.01.2015
Autor: abakus


>

> zu 4)

>

> Warum ist 0 * [mm]-\infty[/mm] = [mm]-\infty[/mm] ?

>
Das hat keiner behauptet.
Im Übrigen:
Wenn du das Verhalten des Exponenten x*ln(x) für x gegen Null betrachten willst, kannst du diesen Term umschreiben in [mm]\frac{x}{ \frac{1}{ln(x)} }[/mm] oder in  [mm]\frac{ln(x)}{ \frac{1}{ \frac{1}{ x}}}[/mm] , je nachdem, wie es für l'Hospital günstiger ist.

Bezug
                
Bezug
Anwendung von l' Hospital: Aufgabe 3)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:40 So 04.01.2015
Autor: Tiger87

Ich habe die Folge in einen Grenwertberechner eingegeben und dort kommt für den limes 0 raus.

Ich habe nur leider keine Ahnung wie man dahin kommt.

Bezug
                        
Bezug
Anwendung von l' Hospital: zu 3.) vereinfachen (edit.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:15 So 04.01.2015
Autor: Loddar

Hallo Tiger!


Bevor doch nach der erstmaligen Anwendung von Herrn de l'Hospital ein weiteres Mal diesen Herrn bemühst, solltest Du umformen bzw. vereinfachen:

[mm] $\bruch{-\bruch{1}{1+x^2}}{-e^{-x}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{e^x}{1+x^2}$ [/mm]

Nun ist das weitere Rechnen viel einfacher.


Gruß
Loddar

Bezug
                                
Bezug
Anwendung von l' Hospital: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:46 So 04.01.2015
Autor: DieAcht

Hallo Loddar!


> [mm]\bruch{-\bruch{1}{1+x^2}}{e^{-x}} \ = \ \bruch{e^x}{1+x^2}[/mm]

Du meinst

      [mm] \bruch{-\bruch{1}{1+x^2}}{e^{-x}}=-\bruch{e^x}{1+x^2}. [/mm]


Gruß
DieAcht

Bezug
                                        
Bezug
Anwendung von l' Hospital: Minuszeichen verschlust
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:12 Mo 05.01.2015
Autor: Loddar

Hallo DieAcht!


> Du meinst [mm]\bruch{-\bruch{1}{1+x^2}}{e^{-x}}=-\bruch{e^x}{1+x^2}.[/mm]

Nicht ganz. Ich hatte ein Minsuzeichen verschlust und meinte:  [mm]\bruch{-\bruch{1}{1+x^2}}{\red{-}e^{-x}} \ = \ \bruch{e^x}{1+x^2}[/mm]


Aber danke fürs Aufpassen. Oben habe ich es nunmehr korrigiert.


Gruß
Loddar

Bezug
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