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Forum "Fourier-Transformation" - Anfangs-Randwertproblem
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Anfangs-Randwertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:03 Sa 06.12.2014
Autor: Teryosas

Aufgabe
Lösen Sie das folgende Anfangs-Randwertproblem für die Wärmeleitungsgleichung
[mm] \bruch{\partial u}{\partial t}(x,t)=\bruch{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t) [/mm] für 0 [mm] \le x\le \pi [/mm] , [mm] t\ge [/mm] 0

[mm] u(0,t)=u(\pi [/mm] ,t)=0 für [mm] t\ge [/mm] 0                  u(x,0)=cos(x) für [mm] 0\le x\le \pi [/mm]


Hey,
bin mir gerade etwas unschlüssig bei dem was rauskommt.

Also zuerst einmal weiß ich das ohne Anfangsbedingung es heißt u(x,t)= [mm] \summe_{n=1}^{\infty}b_{n}cos(nx)*e^{-1n^2*t} [/mm] für [mm] 0\le x\le \pi [/mm] , [mm] t\ge [/mm] 0

Dann gilt beim Zeitpunkt t=0

[mm] u(x,0)=\summe_{n=1}^{\infty}b_{n}cos(nx) [/mm] =^! cos(x) für [mm] 0\le x\le \pi [/mm]

somit ist [mm] b_{1}=1 [/mm] glaube ich. Welchen Wert aber hat dann [mm] b_{n} [/mm] für welchen n? Meine Vermutung wäre [mm] n\ge [/mm] 2 mit [mm] b_{n}=1 [/mm] ? stimmt das oder irre ich mich?
Bzw hab ich iwo sowieso nen Fehler drin?

        
Bezug
Anfangs-Randwertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:59 Sa 06.12.2014
Autor: MathePower

Hallo Teryosas,

> Lösen Sie das folgende Anfangs-Randwertproblem für die
> Wärmeleitungsgleichung
>  [mm]\bruch{\partial u}{\partial t}(x,t)=\bruch{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t)[/mm]
> für 0 [mm]\le x\le \pi[/mm] , [mm]t\ge[/mm] 0
>  
> [mm]u(0,t)=u(\pi[/mm] ,t)=0 für [mm]t\ge[/mm] 0                  
> u(x,0)=cos(x) für [mm]0\le x\le \pi[/mm]
>  
> Hey,
>  bin mir gerade etwas unschlüssig bei dem was rauskommt.

>

> Also zuerst einmal weiß ich das ohne Anfangsbedingung es
> heißt u(x,t)=
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}b_{n}cos(nx)*e^{-1n^2*t}[/mm] für [mm]0\le x\le \pi[/mm]
> , [mm]t\ge[/mm] 0

>


Das ist eine Lösung bei der die Anfangsbedingung schon verbaut ist.

Insbesondere stimmt die Lösung für
die oben angegebene Anfangsbedingung nicht.

  

> Dann gilt beim Zeitpunkt t=0
>  
> [mm]u(x,0)=\summe_{n=1}^{\infty}b_{n}cos(nx)[/mm] =^! cos(x) für
> [mm]0\le x\le \pi[/mm]
>  
> somit ist [mm]b_{1}=1[/mm] glaube ich. Welchen Wert aber hat dann
> [mm]b_{n}[/mm] für welchen n? Meine Vermutung wäre [mm]n\ge[/mm] 2 mit
> [mm]b_{n}=1[/mm] ? stimmt das oder irre ich mich?
> Bzw hab ich iwo sowieso nen Fehler drin?


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Anfangs-Randwertproblem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:06 Sa 06.12.2014
Autor: Teryosas


> Hallo Teryosas,
>  
> > Lösen Sie das folgende Anfangs-Randwertproblem für die
> > Wärmeleitungsgleichung
>  >  [mm]\bruch{\partial u}{\partial t}(x,t)=\bruch{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t)[/mm]
> > für 0 [mm]\le x\le \pi[/mm] , [mm]t\ge[/mm] 0
>  >  
> > [mm]u(0,t)=u(\pi[/mm] ,t)=0 für [mm]t\ge[/mm] 0                  
> > u(x,0)=cos(x) für [mm]0\le x\le \pi[/mm]
>  >  
> > Hey,
>  >  bin mir gerade etwas unschlüssig bei dem was
> rauskommt.
>  >
>  
> > Also zuerst einmal weiß ich das ohne Anfangsbedingung es
> > heißt u(x,t)=
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}b_{n}cos(nx)*e^{-1n^2*t}[/mm] für [mm]0\le x\le \pi[/mm]
> > , [mm]t\ge[/mm] 0
>  >
>  
>
> Das ist eine Lösung bei der die Anfangsbedingung schon
> verbaut ist.
>  
> Insbesondere stimmt die Lösung für
> die oben angegebene Anfangsbedingung nicht.
>  
>
> > Dann gilt beim Zeitpunkt t=0
>  >  
> > [mm]u(x,0)=\summe_{n=1}^{\infty}b_{n}cos(nx)[/mm] =^! cos(x) für
> > [mm]0\le x\le \pi[/mm]
>  >  
> > somit ist [mm]b_{1}=1[/mm] glaube ich. Welchen Wert aber hat dann
> > [mm]b_{n}[/mm] für welchen n? Meine Vermutung wäre [mm]n\ge[/mm] 2 mit
> > [mm]b_{n}=1[/mm] ? stimmt das oder irre ich mich?
> > Bzw hab ich iwo sowieso nen Fehler drin?
>
>
> Gruss
>  MathePower

Und wie ginge es richtig?
Komm mit dem Thema leider nicht so ganz klar :/

Bezug
                        
Bezug
Anfangs-Randwertproblem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:09 Sa 06.12.2014
Autor: MathePower

Hallo Teryosas,

> > Hallo Teryosas,
>  >  
> > > Lösen Sie das folgende Anfangs-Randwertproblem für die
> > > Wärmeleitungsgleichung
>  >  >  [mm]\bruch{\partial u}{\partial t}(x,t)=\bruch{\partial^2 u}{\partial x^2}(x,t)[/mm]
> > > für 0 [mm]\le x\le \pi[/mm] , [mm]t\ge[/mm] 0
>  >  >  
> > > [mm]u(0,t)=u(\pi[/mm] ,t)=0 für [mm]t\ge[/mm] 0                  
> > > u(x,0)=cos(x) für [mm]0\le x\le \pi[/mm]
>  >  >  
> > > Hey,
>  >  >  bin mir gerade etwas unschlüssig bei dem was
> > rauskommt.
>  >  >
>  >  
> > > Also zuerst einmal weiß ich das ohne Anfangsbedingung es
> > > heißt u(x,t)=
> > > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}b_{n}cos(nx)*e^{-1n^2*t}[/mm] für [mm]0\le x\le \pi[/mm]
> > > , [mm]t\ge[/mm] 0
>  >  >
>  >  
> >
> > Das ist eine Lösung bei der die Anfangsbedingung schon
> > verbaut ist.
>  >  
> > Insbesondere stimmt die Lösung für
> > die oben angegebene Anfangsbedingung nicht.
>  >  
> >
> > > Dann gilt beim Zeitpunkt t=0
>  >  >  
> > > [mm]u(x,0)=\summe_{n=1}^{\infty}b_{n}cos(nx)[/mm] =^! cos(x) für
> > > [mm]0\le x\le \pi[/mm]
>  >  >  
> > > somit ist [mm]b_{1}=1[/mm] glaube ich. Welchen Wert aber hat dann
> > > [mm]b_{n}[/mm] für welchen n? Meine Vermutung wäre [mm]n\ge[/mm] 2 mit
> > > [mm]b_{n}=1[/mm] ? stimmt das oder irre ich mich?
> > > Bzw hab ich iwo sowieso nen Fehler drin?
> >
> >
> > Gruss
>  >  MathePower
>
> Und wie ginge es richtig?
>  Komm mit dem Thema leider nicht so ganz klar :/


Der Ansatz

[mm]u\left(x,t\right)=V\left(x\right)*W\left(t\right)[/mm]

wird in die homogene Wärmeleitungsgleichung. eingesetzt.

Hier ermittelst Du zunächst die allgemeinen Lösungen.

Dann, da es hier um die homogene Wärmeleitungsgleichung geht,
kannst Du in Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen sinnvolle
Lösungen ermitteln.


Gruss
MathePower

Bezug
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