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Forum "Fourier-Transformation" - Amplituden/Spektrum aus Werten
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Amplituden/Spektrum aus Werten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:54 Mo 29.12.2008
Autor: leuchtturmwaerter

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Hallo liebe Foren-Nutzer,

ich schreibe eine Facharbeit, in der ich Töne eines Synthezisers auf die Amplituden der Obertöne untersuchen möchte.
Dazu wollte ich die Fourieranalyse verwenden. Nachdem ich mich mithilfe verschiedener Quellen (Fachliteratur, Wikipedia und andere Internetseiten) mit dem Thema vertraut gemacht habe, bin ich etwas verwirrt, deswegen meine Frage.
Wie kann ich die Fourierreihe einer Funktion f(t) aus ihren Messwerten bestimmen?
Bei der Fouierreihe berechnen sich ja die Fourierkoeffizienten als Integral der gesuchten Funktion f(t) mal einem Kosinus. Aber da ich die Funktion ja noch nicht kenne, kann ich die Fourierkoeffizienten gar nicht ausrechnen, oder?
Oder setzt die Fourierreihe voraus, dass man die Funktion f(t) schon kennt?
Wie muss ich dann vorgehen.
Ich wäre sehr froh, wenn mir jemand einen Hinweis geben könnte, der das Thema etwas klarer für mich macht.



        
Bezug
Amplituden/Spektrum aus Werten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:14 Mo 29.12.2008
Autor: rainerS

Hallo!

Erstmal herzlich [willkommenvh]

> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Hallo liebe Foren-Nutzer,
>  
> ich schreibe eine Facharbeit, in der ich Töne eines
> Synthezisers auf die Amplituden der Obertöne untersuchen
> möchte.
> Dazu wollte ich die Fourieranalyse verwenden. Nachdem ich
> mich mithilfe verschiedener Quellen (Fachliteratur,
> Wikipedia und andere Internetseiten) mit dem Thema vertraut
> gemacht habe, bin ich etwas verwirrt, deswegen meine
> Frage.
>  Wie kann ich die Fourierreihe einer Funktion f(t) aus
> ihren Messwerten bestimmen?
>  Bei der Fouierreihe berechnen sich ja die
> Fourierkoeffizienten als Integral der gesuchten Funktion
> f(t) mal einem Kosinus. Aber da ich die Funktion ja noch
> nicht kenne, kann ich die Fourierkoeffizienten gar nicht
> ausrechnen, oder?
>  Oder setzt die Fourierreihe voraus, dass man die Funktion
> f(t) schon kennt?

Im Prinzip ja. ;-)

Um die Fourierkoeffizienten einer Funktion zu berechnen, musst du die Funktion kennen. Das heisst nicht unbedingt, dass du f(t) als mathematischen Ausdruck hinschreiben musst; es heisst nur, dass du die Amplitude f(t) für jeden Zeitpunkt t angeben kannst.

Für deine Fragestellung ergibt sich eine Vereinfachung, wenn du nicht beliebig hohe Obertöne analysieren willst. Das []Nyquist-Shannonsche Abtasttheorem sagt folgendes: wenn der höchste Oberton, den du noch durch Fourieranalyse mitnehmen willst, die Frequenz [mm] $f_{\text{max}}$ [/mm] hat, so reicht es, die Funktion f(t) mit einer Frequenz [mm] $2*f_{\text{max}}$ [/mm] abzutasten, also ihre Werte an einer endlichen Anzahl von Stellen [mm] $t_0$, $t_1$, \dots [/mm] zu kennen, deren Abstand genau [mm] $\bruch{1}{2*f_{\text{max}}}$ [/mm] ist.

(Übrigens ist das der Grund, warum für Musik-CDs eine Abtastfrequenz von 44,1kHz festgelegt ist: damit hat der höchste mögliche Oberton eine Frequenz von 22,05kHz und ist jenseits des Hörvermögens der meisten Menschen.)

Damit wird aus dem Integral für die Berechnung der Fourierkoeffizienten eine endliche Summe; du musst eine Diskrete Fouriertransformation durchführen. Dafür gibt es jede Menge Algorithmen und fertige Programme im Netz, schau mal []hier!

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
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