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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - All. ch. Restsatz verstanden?
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All. ch. Restsatz verstanden?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:33 Mo 23.09.2019
Autor: Boogie2015

Guten Abend, vor kurzem habe ich die Algebra Klausur geschrieben. Doch bis dahin habe ich es leider nicht geschafft, den allgemeinen chinesischen Restsatz für Ringe zu verstehen.  Deswegen habe ich mich heute noch  mal damit beschäftigt, um das nachzuholen. Ich habe versucht, diesen all. Restsatz erst einmal auf den chinesischen Restsatz für ganze Zahlen zurückzuführen. Ich boffe, das passt.

Doch davor formuliere ich der Übersichtshalber den allgemeinen chinesischen Restsatz für Ringe und den chinesischen Restsatz für ganze Zahlen.




Chinesischer Restsatz für ganze Zahlen


Seien [mm] $n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{r} \in \mathbb{N}\setminus \{0 \}$ [/mm] paarweise teilerfremd (i.e. [mm] $ggT(n_{i}, n_{j} [/mm] ) = [mm] 1\; \forall [/mm] i [mm] \neq [/mm] j) und [mm] $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{r} \in \mathbb{Z}$, [/mm] dann ist das Kongruenzgleichungssystem


$x [mm] \equiv a_{1}\; mod\; n_{1}$ [/mm]

$x [mm] \equiv a_{2}\; mod\; n_{2}$ [/mm]

[mm] $\vdots$ [/mm]

$x [mm] \equiv a_{r}\; mod\; n_{r}$ [/mm]

lösbar. Die Lösung ist eindeutig modulo $n := [mm] n_{1} \cdot n_{2} \cdot \ldots \cdot n_{r}$ [/mm]


Allgemeiner Chinesischer Restsatz für beliebige Ringe



Sei $(R, +, [mm] \cdot)$ [/mm] ein kommutativer Ring mit Eins und [mm] $I_{1}, I_{2}, \ldots, I_{r}$ [/mm] paarweise koprime Ideale.

Dann ist [mm] $\varphi: [/mm] R [mm] \rightarrow R/I_{1} \times R/I_{2} \times \ldots \times R/I_{r}, [/mm] a [mm] \mapsto [/mm] ([a], [a], [mm] \ldots, [/mm] [a]) = (a + [mm] I_{1}, [/mm] a + [mm] I_{2}, \ldots, [/mm] a + [mm] I_{r} [/mm] ) surjektiv.

Es gilt [mm] $Ker(\varphi) [/mm] = [mm] I_{1} \cap I_{2} \cap \ldots \cap I_{r} [/mm] = [mm] I_{1} \cdot I_{2} \cdot \ldots \cdot I_{r} [/mm]  $



Insbesondere gilt [mm] $R/I_{1} \cap \ldots \cap I_{r} \cong R/I_{1} \times \ldots \times R/I_{r}$ [/mm]



Nun versuche ich den allgemeinen chinesischen Restsatz für beliebige Ringe auf den Ring $(Z, +, [mm] \cdot)$ [/mm] anzuwenden und hoffentlich komme ich auf den chinesischen Restsatz für ganze Zahlen.




_______________________________________________________________________________________________________________


Sei [mm] $(\mathbb{Z} [/mm] +, [mm] \cdot)$ [/mm] ein kommutativer Ring mit Eins und [mm] $I_{1} [/mm] = [mm] \langle [/mm] 2 [mm] \rangle [/mm] = 2 [mm] \mathbb{Z}$, $I_{2} [/mm] = [mm] \langle [/mm] 3 [mm] \rangle [/mm] = 3 [mm] \mathbb{Z}$, $I_{3} [/mm] = [mm] \langle [/mm] 5 [mm] \rangle [/mm] = 5 [mm] \mathbb{Z}$ [/mm]


[mm] $I_{1}, I_{2}$ [/mm] und [mm] $I_{3}$ [/mm] sind paarweise koprim, denn



[mm] $I_{1} [/mm] + [mm] I_{2} [/mm] = 2 [mm] \mathbb{Z} [/mm] + 3 [mm] \mathbb{Z} [/mm] = ggT(2,3) [mm] \mathbb{Z} [/mm] = 1 [mm] \mathbb{Z} [/mm] = [mm] \mathbb{Z}$ [/mm]

[mm] $I_{1} [/mm] + [mm] I_{3} [/mm] = 2 [mm] \mathbb{Z} [/mm] + 5 [mm] \mathbb{Z} [/mm] = ggT(2,5) [mm] \mathbb{Z} [/mm] = 1 [mm] \mathbb{Z} [/mm] = [mm] \mathbb{Z}$ [/mm]

[mm] $I_{2} [/mm] + [mm] I_{3} [/mm] = 3 [mm] \mathbb{Z} [/mm] + 5 [mm] \mathbb{Z} [/mm] = ggT(3,5) [mm] \mathbb{Z} [/mm] = 1 [mm] \mathbb{Z} [/mm] = [mm] \mathbb{Z}$ [/mm]


Nach dem allgemeinen chinesischen Restsatz ist die Abbildung  [mm] $\varphi: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/2 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/5 \mathbb{Z}, [/mm] a [mm] \mapsto ([a]_{2}, [a]_{3}, [a]_{5}) [/mm] = (a + 2 [mm] \mathbb{Z}, [/mm] a + 3 [mm] \mathbb{Z}, [/mm]  a + 5 [mm] \mathbb{Z} [/mm] ) $ surjektiv.


Was bedeutet die Surjektivität für uns?

Dass jedes $y [mm] \in \mathbb{Z}/2 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/5 \mathbb{Z}$ [/mm] mindestens ein Urbild hat.


Das heißt, es gibt mindestens ein $x [mm] \in \mathbb{Z}$, [/mm] so dass für alle $a [mm] \in \mathbb{Z}$ [/mm] gilt:


$x [mm] \equiv a\; mod\; [/mm] 2$

$x [mm] \equiv a\; mod\; [/mm] 3$

$x [mm] \equiv a\; [/mm] mod [mm] \; [/mm] 5$



Das heißt, dass das Kongruenzgleichungssystem lösbar ist, richtig?


Und aus diesem Grund müssen die [mm] $n_{i}$ [/mm] paarweise teilerfremd sein, sonst wären die Ideale nicht paarweise koprim, stimmts?



Hier wäre [mm] $Ker(\varphi) [/mm] = [mm] I_{1} \cap I_{2} \cap I_{3} [/mm] = 2 [mm] \mathbb{Z} \cap [/mm] 3 [mm] \mathbb{Z} \cap [/mm] 5 [mm] \mathbb{Z} [/mm] = kgV(2,3,5) [mm] \mathbb{Z} [/mm] = 30 [mm] \mathbb{Z}$ [/mm]


Nun weiß ich hier aber nicht genau, welchen Kern sie meinen. Alle Elemente, die auf das Nullelement von [mm] $\mathbb{Z}/2 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/5 [/mm] $ abgebildet werden, oder alle Elemente, die auf das Einselement abgebildet werden?


In diesem Fall ist $30 [mm] \mathbb{Z}$ [/mm] die Menge aller Zahlen, die auf das Nullelement von [mm] $\mathbb{Z}/2 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/5 [/mm] $  abgebildet werden. Aber warum betrachtet man nicht das selbe auch für das Einselement?



Und hiermit bin ich erst einmal fertig. Habe ich diesen allgemeinen chinesischen Restsatz richtig angewandt, oder habe ich an einer Stelle irgend einen Denkfehler? Freue mich über jeden Input :-)



Mfg, Boogie

        
Bezug
All. ch. Restsatz verstanden?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:33 Di 24.09.2019
Autor: hippias


> Guten Abend, vor kurzem habe ich die Algebra Klausur
> geschrieben. Doch bis dahin habe ich es leider nicht
> geschafft, den allgemeinen chinesischen Restsatz für Ringe
> zu verstehen.  Deswegen habe ich mich heute noch  mal damit
> beschäftigt, um das nachzuholen. Ich habe versucht, diesen
> all. Restsatz erst einmal auf den chinesischen Restsatz
> für ganze Zahlen zurückzuführen. Ich boffe, das passt.
>  
> Doch davor formuliere ich der Übersichtshalber den
> allgemeinen chinesischen Restsatz für Ringe und den
> chinesischen Restsatz für ganze Zahlen.
>  
>
>
>
> Chinesischer Restsatz für ganze Zahlen
>
> Seien [mm]$n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{r} \in \mathbb{N}\setminus \{0 \}$[/mm]
> paarweise teilerfremd (i.e. [mm]$ggT(n_{i}, n_{j}[/mm] ) = [mm]1\; \forall[/mm]
> i [mm]\neq[/mm] j) und [mm]$a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{r} \in \mathbb{Z}$,[/mm]
> dann ist das Kongruenzgleichungssystem
>
>
> [mm]x \equiv a_{1}\; mod\; n_{1}[/mm]
>  
> [mm]x \equiv a_{2}\; mod\; n_{2}[/mm]
>  
> [mm]\vdots[/mm]
>  
> [mm]x \equiv a_{r}\; mod\; n_{r}[/mm]
>  
> lösbar. Die Lösung ist eindeutig modulo [mm]n := n_{1} \cdot n_{2} \cdot \ldots \cdot n_{r}[/mm]
>  
>
> Allgemeiner Chinesischer Restsatz für beliebige Ringe
>
>
> Sei [mm](R, +, \cdot)[/mm] ein kommutativer Ring mit Eins und [mm]I_{1}, I_{2}, \ldots, I_{r}[/mm]
> paarweise koprime Ideale.
>  
> Dann ist [mm]$\varphi:[/mm] R [mm]\rightarrow R/I_{1} \times R/I_{2} \times \ldots \times R/I_{r},[/mm]
> a [mm]\mapsto[/mm] ([a], [a], [mm]\ldots,[/mm] [a]) = (a + [mm]I_{1},[/mm] a + [mm]I_{2}, \ldots,[/mm]
> a + [mm]I_{r}[/mm] ) surjektiv.
>  
> Es gilt [mm]Ker(\varphi) = I_{1} \cap I_{2} \cap \ldots \cap I_{r} = I_{1} \cdot I_{2} \cdot \ldots \cdot I_{r} [/mm]
>  
>
>
> Insbesondere gilt [mm]R/I_{1} \cap \ldots \cap I_{r} \cong R/I_{1} \times \ldots \times R/I_{r}[/mm]
>  
>
>
> Nun versuche ich den allgemeinen chinesischen Restsatz für
> beliebige Ringe auf den Ring [mm](Z, +, \cdot)[/mm] anzuwenden und
> hoffentlich komme ich auf den chinesischen Restsatz für
> ganze Zahlen.
>  
>
>
>
> _______________________________________________________________________________________________________________
>  
>
> Sei [mm](\mathbb{Z} +, \cdot)[/mm] ein kommutativer Ring mit Eins
> und [mm]I_{1} = \langle 2 \rangle = 2 \mathbb{Z}[/mm],  [mm]I_{2} = \langle 3 \rangle = 3 \mathbb{Z}[/mm],
> [mm]I_{3} = \langle 5 \rangle = 5 \mathbb{Z}[/mm]
>  
>
> [mm]I_{1}, I_{2}[/mm] und [mm]I_{3}[/mm] sind paarweise koprim, denn
>  
>
>
> [mm]I_{1} + I_{2} = 2 \mathbb{Z} + 3 \mathbb{Z} = ggT(2,3) \mathbb{Z} = 1 \mathbb{Z} = \mathbb{Z}[/mm]
>  
> [mm]I_{1} + I_{3} = 2 \mathbb{Z} + 5 \mathbb{Z} = ggT(2,5) \mathbb{Z} = 1 \mathbb{Z} = \mathbb{Z}[/mm]
>  
> [mm]I_{2} + I_{3} = 3 \mathbb{Z} + 5 \mathbb{Z} = ggT(3,5) \mathbb{Z} = 1 \mathbb{Z} = \mathbb{Z}[/mm]
>  
>
> Nach dem allgemeinen chinesischen Restsatz ist die
> Abbildung  [mm]\varphi: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/2 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/5 \mathbb{Z}, a \mapsto ([a]_{2}, [a]_{3}, [a]_{5}) = (a + 2 \mathbb{Z}, a + 3 \mathbb{Z}, a + 5 \mathbb{Z} )[/mm]
> surjektiv.
>  
>
> Was bedeutet die Surjektivität für uns?
>  
> Dass jedes [mm]y \in \mathbb{Z}/2 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/5 \mathbb{Z}[/mm]
> mindestens ein Urbild hat.
>  
>
> Das heißt, es gibt mindestens ein [mm]x \in \mathbb{Z}[/mm], so
> dass für alle [mm]a \in \mathbb{Z}[/mm] gilt:
>  
>
> [mm]x \equiv a\; mod\; 2[/mm]
>  
> [mm]x \equiv a\; mod\; 3[/mm]
>  
> [mm]x \equiv a\; mod \; 5[/mm]
>  
>
>
> Das heißt, dass das Kongruenzgleichungssystem lösbar ist,
> richtig?

Ja; ist aber witzlos, denn es gilt sogar viel schärfer, dass es für beliebige [mm] $a_{i}\in \mathbb{Z}$ [/mm] ein [mm] $x\in \mathbb{Z}$ [/mm] existiert, sodass

[mm]x \equiv a_{1}\; mod\; 2[/mm]  

[mm]x \equiv a_{2}\; mod\; 3[/mm]
  
[mm]x \equiv a_{3}\; mod \; 5[/mm]

gilt.

Es ist ja nicht sofort offensichtlich, dass die Elemente von [mm] $\mathbb{Z}/2 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/5 \mathbb{Z}$ [/mm] alle von der selben ganzen Zahl als Tupel von Resklassen erzeugt werden. Beispielsweise ist [mm] $(1+2\mathbb{Z}, 2+3\mathbb{Z}, -2+5\mathbb{Z})$ [/mm] ein solches Ringelement, d.h. [mm] $a_{1}=1$, $a_{2}= [/mm] 2$ und [mm] $a_{3}=-2$. [/mm] Der chinesische Restsatz ichert die Existenz eines [mm] $x\in \mathbb{Z}$ [/mm] so, dass [mm] $(1+2\mathbb{Z}, 2+3\mathbb{Z}, -2+5\mathbb{Z})= (x+2\mathbb{Z}, x+3\mathbb{Z}, x+5\mathbb{Z})$ [/mm] gilt.  Im übrigen hast Du es oben ja auch richtig geschrieben.

>  
>
> Und aus diesem Grund müssen die [mm]n_{i}[/mm] paarweise
> teilerfremd sein, sonst wären die Ideale nicht paarweise
> koprim, stimmts?

Das ist nicht gut gesagt: Es wird hier nicht aus der Surjektivität bzw. Lösbarkeit auf die Koprimitivität geschlossen, sondern umgekehrt.

Es wäre aber eine nette Übung herauszufinden, ob aus der Surjektivität von [mm] $\varphi:R\to R/I_{1}\times\ldots R/I_{n}$ [/mm] folgt, dass die [mm] $I_{j}$ [/mm] paarweise koprim sind.

>  
>
>
> Hier wäre [mm]Ker(\varphi) = I_{1} \cap I_{2} \cap I_{3} = 2 \mathbb{Z} \cap 3 \mathbb{Z} \cap 5 \mathbb{Z} = kgV(2,3,5) \mathbb{Z} = 30 \mathbb{Z}[/mm]
>  
>
> Nun weiß ich hier aber nicht genau, welchen Kern sie
> meinen. Alle Elemente, die auf das Nullelement von
> [mm]\mathbb{Z}/2 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/5[/mm]
> abgebildet werden, oder alle Elemente, die auf das
> Einselement abgebildet werden?
>  
>
> In diesem Fall ist [mm]30 \mathbb{Z}[/mm] die Menge aller Zahlen,
> die auf das Nullelement von [mm]\mathbb{Z}/2 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/3 \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/5[/mm]
>  abgebildet werden.

Dies beantwortet Deine Frage aus den vorherigen Absatz. Nach Definition ist der Kern eines Ringhomomorphismus das Urbild der Null.

> Aber warum betrachtet man nicht das
> selbe auch für das Einselement?

Das kannst Du gerne machen. Du wirst feststellen, dass mit dieser Menge nicht viel - ohne Verrenkungen - anzufangen ist. Ausserdem hat nicht jeder Ring ein Einselement.

>  
>
>
> Und hiermit bin ich erst einmal fertig. Habe ich diesen
> allgemeinen chinesischen Restsatz richtig angewandt, oder
> habe ich an einer Stelle irgend einen Denkfehler? Freue
> mich über jeden Input :-)

s.o.

>  
>
>
> Mfg, Boogie  


Bezug
                
Bezug
All. ch. Restsatz verstanden?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:41 So 29.09.2019
Autor: Boogie2015

Entschuldigung, wenn ich mich erst so spät melde. Unter der Woche hatte ich nicht so viel Zeit, zu antworten, da ich für Antworten mir meistens mehr als eine Stunde nehme.

Ich bedanke mich erst einmal für deine Antwort. Dadurch haben sich einige Fragen geklärt.

Nachdem ich mich heute morgen wieder damit beschäftigt habe, interessiert es mich, wie man die Surjektivität von der Abbildung [mm] $\varphi$ [/mm] beweisen kann. Denn ich weiß nicht, woran es liegt, dass [mm] $\varphi$ [/mm] surjektiv ist  (Klar, weil die Ideale koprim sind, aber mir fehlt die Intuition dazu).

Ich habe deswegen versucht, das ganze nochmal formal anzugehen:

______________________________________________________________________________________________________________________



Geben ist der kommutative unitäre Ring $(R, +, [mm] \cdot) [/mm] = [mm] (\mathbb{Z}, [/mm] +, [mm] \cdot)$ [/mm] und seine paarweise koprimen Ideale

[mm] $I_{1} [/mm] := [mm] \langle n_{1} \rangle [/mm] = [mm] n_{1} \mathbb{Z}$ [/mm]
[mm] $I_{2} [/mm] := [mm] \langle n_{2} \rangle [/mm] = [mm] n_{2} \mathbb{Z}$ [/mm]

[mm] $\vdots$ [/mm]

[mm] $I_{r} [/mm] := [mm] \langle n_{r} \rangle [/mm] = [mm] n_{r} \mathbb{Z}$ [/mm]


Es ist klar, dass [mm] $n_{1}, n_{2}, \ldots, n_{r}$ [/mm] paarweise teilerfremd sein müssen, damit die Ideale [mm] $I_{1}, I_{2}, \ldots, I_{r}$ [/mm] koprim sind.



Nach dem allgemeinen chinesischen Restsatz ist die Abbildung

[mm] $\varphi: \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}/n_{1} \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/n_{2} \mathbb{Z} \times \ldots \times \mathbb{Z}/n_{r} \mathbb{Z}, [/mm] a [mm] \mapsto ([a]_{1}, [a]_{2}, \ldots, [a]_{r}) [/mm] = (a + [mm] n_{1} \mathbb{Z}, [/mm] a + [mm] n_{2} \mathbb{Z}, \ldots, [/mm]   a + [mm] n_{r} \mathbb{Z} [/mm] )$
surjektiv.


Ich weiß aber nicht intuitiv, warum diese Abbildung surjektiv ist. Wie kann man hier die Surjektivität beweisen?
Ich habe es  vorhin versucht zu beweisen, aber leider ohne Erfolg.

Freue mich erneut über eine Rückmeldung!

Liebe Grüße, Boogie



Bezug
                        
Bezug
All. ch. Restsatz verstanden?: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:56 Mo 30.09.2019
Autor: hippias

Naja, man findet Beweise dieser Aussage in vielen Büchern. Meiner Meinung nach entscheidend ist, dass aus den Voraussetzungen folgt, dass für jedes $j$ auch [mm] $n_{j}$ [/mm] und [mm] $n_{j'}:= \prod_{i=1, i\neq j}^{r} n_{i}$ [/mm] teilerfremd sind.

Denn so gibt es [mm] $x_{j},y_{j}$ [/mm] mit $1= [mm] x_{j}n_{j}+ y_{j}n_{j'}$, [/mm] sodass [mm] $\varphi$ [/mm] die Zahl [mm] $e_{j}:= y_{j}n_{j'}=1-x_{j}n_{j}$ [/mm] auf das Tupel [mm] $([e_{j}]_{n_{1}},\ldots,[e_{j}]_{n_{r}})$ [/mm] abbildet. Nun gilt aber [mm] $[e_{j}]_{n_{j}}= [1-x_{j}n_{j}]_{n_{j}}= [1]_{n_{j}}$ [/mm] und für [mm] $k\neq [/mm] j$ folgt [mm] $[e_{j}]_{n_{k}}= [y_{j}n_{j'}]_{n_{k}}=[0]_{n_{k}}$, [/mm] da nach Definition [mm] $n_{j'}$ [/mm] von [mm] $n_{k}$ [/mm] für [mm] $k\neq [/mm] j$ geteilt wird. Salopp gesagt ist [mm] $e_{j}^{\varphi}$ [/mm] der $j$-te Standardbasisvektor.

Mit diesen [mm] $e_{j}$, $j=1,\ldots, [/mm] r$, folgt nun die Surjektivität von [mm] $\varphi$, [/mm] denn für beliebige [mm] $a_{j}$ [/mm] folgt [mm] $(\sum_{j=1}^{r} a_{j}e_{j})^{\varphi}= ([a_{j}]_{n_{1}},\ldots,[a_{j}]_{n_{r}})$. [/mm] Bei dieser Gleichung habe ich ein paar Rechenschritte bewusst ausgelassen.

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