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Abtasttheorem: Verständnisfragen
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:26 Mo 21.01.2008
Autor: Bastiane

Hallo zusammen!

In der Vorlesung haben wir folgendes aufgeschrieben:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Bei dem Satz weiß ich schon nicht, was der mir sagen soll!? Wofür ist der gut?
Und dann diese drei Fälle: das ist doch eigentlich nochmal genau das Abtasttheorem - wenn [mm] T=\frac{1}{\Omega} [/mm] gilt, ist das Signal rekonstruierbar, wenn T noch kleiner ist, erst recht, und wenn T größer ist, dann entstehen Alias-Effekte. Aber was steht da noch? Oder wieso ist das über den Satz da drüber ausgedrückt (zumindest das erste)?

[Dateianhang nicht öffentlich]

Und diese lange Rechnung ist wohl nur dafür da, um das Fazit zu zeigen, oder? Aber was genau besagt dieses Fazit? Irgendwie verstehe ich überhaupt nicht, was das Ganze mir sagen soll... [kopfkratz]

In einem Skript finde ich im Anschluss daran noch folgende Folie:

[Dateianhang nicht öffentlich]

Wie kommt man auf diese Zeichnung? Was das aussagen soll, verstehe ich glaube ich: die Frequenzen, die größer als [mm] $|\Omega|$ [/mm] sind, werden quasi "reingeklappt", so dass kleinere Frequenzen darstellen als sie eigentlich sind, und man sie nicht von den originalen kleineren Frequenzen unterscheiden kann, und das ist dann genau der Alias-Effekt. Aber wie man auf die Zeichnung kommt, ist mir ein Rätsel...

Wäre super, falls da jemand ein bisschen bescheid wüsste und mir das ein bisschen mit eigenen Worten erklären könnte. :-)

Viele Grüße
Bastiane
[cap]




Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: png) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Abtasttheorem: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:52 Do 24.01.2008
Autor: rainerS

Hallo Bastiane!

Es geht hier darum herauszufinden, was passiert, wenn man mit zu kleiner Frequenz abtastet. Ich mache mir das immer an Hand der Digitalisierung analoger Musik klar: wenn die Musik Frequenzen bis 20kHz enthält, was passiert, wenn ich nur mit 15kHz abtaste?

> Und diese lange Rechnung ist wohl nur dafür da, um das
> Fazit zu zeigen, oder? Aber was genau besagt dieses Fazit?
> Irgendwie verstehe ich überhaupt nicht, was das Ganze mir
> sagen soll... [kopfkratz]

Die entscheidende Aussage ist der Zusammenhang zwischen der Funktion [mm]\hat{g}(\omega)[/mm] und der Funktion [mm]\hat{f}(\omega)[/mm]. [mm]\hat{g}[/mm] ist die Fouriertransformierte von [mm]f(k*T)[/mm], der abgetasteten Funktion. [mm]\hat{f}[/mm] ist die Fouriertransformierte des ursprünglichen Signals.

Die Fouriertransformierte [mm]\hat{f}[/mm] gibt das Frequenzspektrum der Originalfunktion an, also welche Frequenzen überlagert wurden, um das Signal zu erzeugen. Die Funktion f enthält Frequenzen bis hoch zu [mm]\Omega'[/mm] ([mm]\Omega'[/mm]-bandgbeschränkt). Die abgetastete Funktion enthält nur Frequenzen bis zu [mm]\Omega<\Omega'[/mm].

Mit anderen Worten: die Frequenzen oberhalb von [mm]\Omega[/mm] gehen bei der Abtastung verloren; die Abtastung wirkt wie ein Tiefpass.

Was aber passiert mit den Anteilen des Signals mit Frequenzen oberhalb von [mm]\Omega[/mm]? Die verschwinden ja nicht einfach, sondern sie werden durch die Abtastung nicht korrekt erfasst. Die Antwort gibt dir die Formel

[mm] \hat{g}(\omega) = \begin{cases} \hat{f}(\omega-2\Omega) + \hat{f}(\omega) + \hat{f}(\omega+2\Omega) & |\omega|\le\Omega \\ 0 & \text{sonst} \end{cases} [/mm]

Der mittlere Summand [mm]\hat{f}(\omega)[/mm] ist klar, das ist der Anteil des Signals, der korrekt abgetastet wird.

Für [mm]|\omega|\le\Omega[/mm] liegt ja [mm] \omega-2\Omega [/mm] zwischen [mm]-3\Omega[/mm] und [mm]-\Omega[/mm], und [mm] \omega+2\Omega [/mm] zwischen [mm]\Omega[/mm] und [mm]3\Omega[/mm]. Es handelt sich also um die Anteile des Signals mit Frequenzen zwischen [mm]\Omega[/mm] und [mm]3\Omega[/mm]. Da f [mm]\Omega'[/mm]-bandbeschränkt und [mm]\Omega'<3\Omega[/mm] ist, geht es hier um die Frequenzen zwischen [mm]\Omega[/mm] und [mm]\Omega'[/mm].

Diese Anteile werden um [mm]\pm2\Omega[/mm] verschoben und zu [mm]\hat{f}(\omega)[/mm] dazuaddiert. Diese zu hohen Frequenzen erscheinen also im abgetasteten Signal [mm]\pm2\Omega[/mm] verschoben.

Genau das sagt die Zeichnung aus: die beiden "Schwänze" der Frequenzverteilung werden zu niedrigen Frequenzen verschoben.

Nimm eine Sinusschwingung von [mm]\Omega'=[/mm]20kHz, die du mit [mm]2\Omega=[/mm]15kHz abtastest. Die Aussage hier ist, dass sie in der abgetasteten Version aussieht wie eine Sinusschwingung von 5kHz. Eine Schwingung von 25kHz erscheint durch die Abtastung wie 10kHz.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
                
Bezug
Abtasttheorem: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:13 Fr 25.01.2008
Autor: Bastiane

Hallo Rainer!

Vielen Dank - ich glaube, jetzt ist mir einiges klar geworden. Auch zusammen mit deiner anderen Antwort. :-)
  

> > Und diese lange Rechnung ist wohl nur dafür da, um das
> > Fazit zu zeigen, oder? Aber was genau besagt dieses Fazit?
> > Irgendwie verstehe ich überhaupt nicht, was das Ganze mir
> > sagen soll... [kopfkratz]
>  
> Die entscheidende Aussage ist der Zusammenhang zwischen der
> Funktion [mm]\hat{g}(\omega)[/mm] und der Funktion [mm]\hat{f}(\omega)[/mm].
> [mm]\hat{g}[/mm] ist die Fouriertransformierte von [mm]f(k*T)[/mm], der
> abgetasteten Funktion. [mm]\hat{f}[/mm] ist die
> Fouriertransformierte des ursprünglichen Signals.

Ich habe das jetzt so verstanden, dass wir die Fouriertransformierten brauchen, um zu sehen, warum die Aliasing-Effekte entstehen, denn die Fouriertransformierten geben uns ja die enthaltenen Frequenzen an. Deswegen berechnen wir diese und stellen dann fest, warum einige Frequenzen "sich als andere ausgeben". :-)
Aber dass am Ende f(kT)=g(kT) ist, ist das nur ein Nebeneffekt? Oder soll das irgendwie zeigen, dass man zwar das Ausgangssignal f rekonstruieren könnte, es aber keine korrekte Rekonstruktion ist - aber das macht glaube ich auch irgendwie keinen Sinn. [kopfkratz]

Viele Grüße
Bastiane
[cap]

Bezug
                        
Bezug
Abtasttheorem: Original und Fälschung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:23 Fr 25.01.2008
Autor: rainerS

Hallo Bastiane!

>  Aber dass am Ende f(kT)=g(kT) ist, ist das nur ein
> Nebeneffekt? Oder soll das irgendwie zeigen, dass man zwar
> das Ausgangssignal f rekonstruieren könnte, es aber keine
> korrekte Rekonstruktion ist - aber das macht glaube ich
> auch irgendwie keinen Sinn. [kopfkratz]

Vorsicht! Du darfst nicht f(kT) mit der Funktion f(t) verwechseln. f(kT) ist das abgetastete Signal, denn kT nimmt nur endlich viele Werte an. Wenn du mit 15kHz abtastest, misst du den Wert der Funktion f jede fünfzehntausendstel Sekunde einmal. f(kT)=g(kT) sagt nur, dass die Werte von f und g zu diesen endlich vielen Zeiten übereinstimmen. Du kannst nur das Signal g(t) rekonstruieren, nicht aber f(t).

Anders ausgedrückt: f(kT)=g(kT)  weil sich f und g nur in den hohen Frequenzen oberhalb von [mm]\Omega[/mm] unterscheiden.

Viele Grüße
   Rainer

Bezug
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