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| Aufgabe | | Berechne den Abstand des Punktes P(4;1) von der Gerade 4x-3y=7! |
Hallo an alle!
Mein Ergebniss ist falsch und ich finde keinen Fehler.Könnte mir bitte jemand helfen?
Ich soll es mit Vektoren rechnen deshalb habe ich erstmal eine Parametergleichung formuliert:
[mm] \vec{r}=\vektor{0\\ -\bruch{7}{3}}+t\vektor{3\\4}
[/mm]
Dann habe ich die Formel: [mm] |\vec{x}|=|\vec{r_1}-\vec{r_0}+\bruch{\vec{a}(\vec{r_0}-\vec{r_1})}{|\vec{a}|^2}*\vec{a}|
[/mm]
verwendet gibt es hier für [mm] R^2 [/mm] irgend eine Vereinfachung?
Einsetzen:
[mm] |\vec{x}|=|\vektor{0\\ -\bruch{7}{3}}-\vektor{4\\1}+\bruch{\vektor{3\\4}(\vektor{4\\1}-\vektor{0\\ -\bruch{7}{3}})}{17}*\vektor{3\\4}|
[/mm]
[mm] |\vec{x}|=|\vektor{-4\\-\bruch{10}{3}}+\bruch{\vektor{3\\4}*\vektor{4\\ \bruch{10}{3}}}{17}*\vektor{3\\4}|
[/mm]
[mm] |\vec{x}|=|\vektor{-4\\-\bruch{10}{3}}+\bruch{12+\bruch{40}{3}}{17}*\vektor{3\\4}|
[/mm]
[mm] |\vec{x}|=|\vektor{-4\\-\bruch{10}{3}}+\vektor{\bruch{228}{51}\\ \bruch{304}{51}}|
[/mm]
Vielen Dank!
Gruß
Angelika
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:26 So 05.10.2008 | | Autor: | abakus |
> Berechne den Abstand des Punktes P(4;1) von der Gerade
> 4x-3y=7!
> Hallo an alle!
>
> Mein Ergebniss ist falsch und ich finde keinen
> Fehler.Könnte mir bitte jemand helfen?
> Ich soll es mit Vektoren rechnen deshalb habe ich erstmal
> eine Parametergleichung formuliert:
>
> [mm]\vec{r}=\vektor{0\\ -\bruch{7}{3}}+t\vektor{3\\4}[/mm]
>
> Dann habe ich die Formel:
> [mm]|\vec{x}|=|\vec{r_1}-\vec{r_0}+\bruch{\vec{a}(\vec{r_0}-\vec{r_1})}{|\vec{a}|^2}*\vec{a}|[/mm]
>
> verwendet gibt es hier für [mm]R^2[/mm] irgend eine Vereinfachung?
Ja. Schreibe die gegebene Gerade in die Form y=mx+n um. Wenn dein Richtungsvektor stimmt, dann ist m=4/3. Dann hat eine Senkrechte zu g (kürzester Abstand steht senkrecht) den Anstieg -3/4. Lege durch den gegebenen Punkt eine Gerade mit diesem Anstieg und ermittle den Schnittpunkt. Dann Abstand zweier Punkte berechnen.
ODER
Stelle einen Vektor auf, der vom Punkt P zu einem beliebigen Geradenpunkt (x|y) führt. Bilde das Skalarprodukt davon mit dem Richtungsvektor der Geraden und setze es Null. Der Punkt (x|y) der Geraden, dessen Koordinaten diese Gleichung erfüllen, hat den kürzesten Abstand zu P.
Gruß Abakus
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> Einsetzen:
>
> [mm]|\vec{x}|=|\vektor{0\\ -\bruch{7}{3}}-\vektor{4\\1}+\bruch{\vektor{3\\4}(\vektor{4\\1}-\vektor{0\\ -\bruch{7}{3}})}{17}*\vektor{3\\4}|[/mm]
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> [mm]|\vec{x}|=|\vektor{-4\\-\bruch{10}{3}}+\bruch{\vektor{3\\4}*\vektor{4\\ \bruch{10}{3}}}{17}*\vektor{3\\4}|[/mm]
>
> [mm]|\vec{x}|=|\vektor{-4\\-\bruch{10}{3}}+\bruch{12+\bruch{40}{3}}{17}*\vektor{3\\4}|[/mm]
>
> [mm]|\vec{x}|=|\vektor{-4\\-\bruch{10}{3}}+\vektor{\bruch{228}{51}\\ \bruch{304}{51}}|[/mm]
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß
>
> Angelika
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Danke Abakus!
Dennoch bleibt mir noch eine Frage zu deinen 2. Vorschlag:
[mm] \vektor{x-4\\y-1}*\vektor{3\\4}=0
[/mm]
$(x-4)*3+(y-1)*4=0$
Die Gleichung hat doch noch zwei Variablen?Könntest du mir diesen Vorschlag noch genauer erklären?
Vielen Dank!
Gruß
Angelika
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:48 Mo 06.10.2008 | | Autor: | weduwe |
vereinfachung:
am einfachsten geht es in R2 mit der HNF der geraden:
[mm] g:\frac{4x-3y-7}{\sqrt{4^2+3^2}}=0
[/mm]
[mm] d(P,g)=\frac{4\cdot 4-3\cdot 1 -7}{5}=\frac{6}{5}
[/mm]
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Danke für eure Mühe!
Ich verstehe leider gar nichts mehr....![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Was ist HNF?
Hat das überhaupt etwas mit dem Lösungsweg mithilfe von Vektoren zu tun?Ich würde es nämlich gerne mit Vektoren lösen.Trotzdem interessiert mich dein Vorschlag, wenn du mir verrätst wofür HNF steht.
Danke!
Gruß
Angelika
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Hallo, eine Skizze für dich, die Gerade durch A und P hat den Anstieg [mm] -\bruch{3}{4}, [/mm] da sie senkrecht auf der Geraden [mm] f_1(x)=\bruch{4}{3}x-\bruch{7}{3} [/mm] steht, also [mm] f_2(x)=-\bruch{3}{4}x+n, [/mm] dein n bekommst du über das Einsetzen von P, dann kannst du über Gleichsetzen von [mm] f_1(x) [/mm] und [mm] f_2(x) [/mm] den Punkt A berechnen, Ziel ist der Betrag von [mm] \overrightarrow{PA}
[/mm]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 Di 07.10.2008 | | Autor: | abakus |
> Danke Abakus!
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> Dennoch bleibt mir noch eine Frage zu deinen 2. Vorschlag:
>
> [mm]\vektor{x-4\\y-1}*\vektor{3\\4}=0[/mm]
>
> [mm](x-4)*3+(y-1)*4=0[/mm]
>
> Die Gleichung hat doch noch zwei Variablen?Könntest du mir
> diesen Vorschlag noch genauer erklären?
Hallo,
x und y sind die Koordinaten eines Punktes, der auf der gegebenen Geraden liegt. Die Geradengleichung liefert einen zweiten Zusammenhang zwischen x und y, so hast du zwei Gleichungen mit zwei Variablen.
Gruß Abakus
>
> Vielen Dank!
>
> Gruß
>
> Angelika
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HNF