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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:55 Sa 23.11.2013 | | Autor: | drahmas |
| Aufgabe | Gegeben sind die Ebene e und zwei Punkte A und B
e: x = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\lambda [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}+ \mu [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] |
Hallo,
a) Weisen Sie nach, dass der Punkt A auf der Ebene liegt.
Ich habe die folgende Ebene:
e: x = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\lambda [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}+ \mu [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
und suche zunächst den Abstand es Punktes A=(4/-1/-4).
Ich habe versucht mit der Formel [mm] d=\bruch{|\vec{n}*(\vec{r_A}-\vec{r_1})|}{|\vec{n}|} [/mm] zu rechnen. Leider funktioniert das aber nicht.
Ich suche mir zunächst einen Normalvektor der Ebene.
[mm] \vec{n_e}=\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm]
Für [mm] |\vec{n}*(\vec{r_A}-\vec{r_1})| [/mm] gilt [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} 4-1 \\ -1-1 \\ -4-1 \end{pmatrix} [/mm]
Wobei ich den Punkt A [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ -4 \end{pmatrix} [/mm] und einen Punkt der Ebene [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] eingesetzt und entsprechend subtrahiert habe. Ich erhalte als Skalarprodukt 9+4+5 = 18.
So ergibt sich:
[mm] d=\bruch{|\vec{n}*(\vec{r_A}-\vec{r_1})|}{|\vec{n}|}=\bruch{|18|}{\wurzel{3^2+2^2+1}}=\bruch{9\wurzel{14}}{7}
[/mm]
Eigentlich sollte das Ergebnis 0 sein. Warum stimmt das jedoch nicht?
Besten Dank 
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Hallo drahmas,
> Gegeben sind die Ebene e und zwei Punkte A und B
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> e: x = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\lambda[/mm] *
> [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}+ \mu[/mm] *
> [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
> Hallo,
>
> a) Weisen Sie nach, dass der Punkt A auf der Ebene liegt.
>
> Ich habe die folgende Ebene:
>
> e: x = [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\lambda[/mm] *
> [mm]\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}+ \mu[/mm] *
> [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
>
> und suche zunächst den Abstand es Punktes A=(4/-1/-4).
>
> Ich habe versucht mit der Formel
> [mm]d=\bruch{|\vec{n}*(\vec{r_A}-\vec{r_1})|}{|\vec{n}|}[/mm] zu
> rechnen. Leider funktioniert das aber nicht.
>
> Ich suche mir zunächst einen Normalvektor der Ebene.
>
> [mm]\vec{n_e}=\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Für [mm]|\vec{n}*(\vec{r_A}-\vec{r_1})|[/mm] gilt [mm]\begin{pmatrix} 3 \\ -2 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
> * [mm]\begin{pmatrix} 4-1 \\ -1-1 \\ -4-1 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Wobei ich den Punkt A [mm]\begin{pmatrix} 4 \\ -1 \\ -4 \end{pmatrix}[/mm]
> und einen Punkt der Ebene [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
> eingesetzt und entsprechend subtrahiert habe. Ich erhalte
> als Skalarprodukt 9+4+5 = 18.
>
> So ergibt sich:
>
> [mm]d=\bruch{|\vec{n}*(\vec{r_A}-\vec{r_1})|}{|\vec{n}|}=\bruch{|18|}{\wurzel{3^2+2^2+1}}=\bruch{9\wurzel{14}}{7}[/mm]
>
> Eigentlich sollte das Ergebnis 0 sein. Warum stimmt das
> jedoch nicht?
>
Der berechnete Normalenvektor [mm]\vec{n_e}[/mm] stimmt nicht ganz:
[mm]\vec{n_e}=\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ \blue{+}2 \\ \blue{+}1 \end{pmatrix}[/mm]
> Besten Dank
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Sa 23.11.2013 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke für deine Antwort.
Aha, okay. So funktionierts.
Ich dachte jedoch immer, dass Kreuzprodukt würde mittels
[mm] \begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_y*b_z - a_z * b_y \\ - (a_z*b_x - a_x*b_z) \\ a_x*b_y - a_y*b_x \end{pmatrix} [/mm] berechnet werden?
Oder liege ich da falsch?
Danke noch mal und schöne Grüße.
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Hallo drahmas,
> Hallo,
>
> danke für deine Antwort.
> Aha, okay. So funktionierts.
> Ich dachte jedoch immer, dass Kreuzprodukt würde mittels
>
> [mm]\begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_y*b_z - a_z * b_y \\ - (a_z*b_x - a_x*b_z) \\ a_x*b_y - a_y*b_x \end{pmatrix}[/mm]
> berechnet werden?
>
> Oder liege ich da falsch?
>
Das Kreuzprodukt wird so berechnet:
[mm]\begin{pmatrix} a_x \\ a_y \\ a_z \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_x \\ b_y \\ b_z \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} a_y*b_z - a_z * b_y \\ \blue{a_z*b_x - a_x*b_z} \\ a_x*b_y - a_y*b_x \end{pmatrix}[/mm]
> Danke noch mal und schöne Grüße.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:55 Sa 23.11.2013 | | Autor: | drahmas |
Okay, dann erklärt sich mein Fehler von selbst. Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 Sa 23.11.2013 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Gegeben sind die Ebene e und zwei Punkte A und B
>
> e: x = [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\lambda [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}+ \mu [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}
[/mm]
> Hallo,
>
> a) Weisen Sie nach, dass der Punkt A=(4/-1/-4)auf der Ebene liegt.
Man muss nicht unbedingt den Abstand berechnen, sondern es reicht Werte für [mm] \lambda [/mm] und [mm] \mu [/mm] zu finden,
s.d. [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}+\lambda [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 3 \end{pmatrix}+ \mu [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}=A [/mm] gilt.
Und das ist relativ einfach. Es ergeben sich folgende Gleichungen
[mm] 1-\lambda=4
[/mm]
[mm] 1-\mu=-1
[/mm]
Dann muss noch überprüft werden, ob [mm] 1+3\lambda+2\mu=-4 [/mm] ergibt
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:58 Sa 23.11.2013 | | Autor: | drahmas |
Auch das ist gut zu wissen, ebenfalls Danke für die Antwort.
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