Ableitungen/Normale/Tangente < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:34 So 13.01.2008 | | Autor: | Sand |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung [mm] f(x)=-x^3 [/mm] +3; X [mm] \in [/mm] R.
Für welchen Punkt des Schaubildes von f geht die Normale durch den Punkt p(-5/0)?
(Eine Lösung genügt) |
Ja ich komm einfach nich drauf, wie ich des lösen soll ...
wär sehr dankbar für einen Lösungsweg und eine Lösung ...
Dankeschön ...
lg
Sandy
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Lautet die Aufgabe wirklich so? Dafür dürfte es unendlich viele Lösungen geben...
(Vorausgesetzt, es ist die Normale zu einer Tangente an f(x) = [mm] -x^{3}+3 [/mm] gemeint und die Normale kann bei jedem beliebigen Punkt angelegt werden)
Was muss man machen:
Zunächst Ableitung von f berechnen. Diese Ableitung gibt die Steigung einer Tangente an einer beliebigen Stelle x an.
Die Normale zu einer Geraden (in diesem Fall die Tangente) hat die Steigung [mm] m_{1} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{m_{2}} [/mm] falls [mm] m_{2} [/mm] die Steigung der Geraden (in diesem Fall die Tangente) ist.
Man hat nun schon die Steigung der Normalen gegeben (in Abhängigkeit von x).
Die Normale muss außerdem noch durch den Punkt P(-5|0) gehen. Man hat also eine Steigung und einen Punkt, das reicht, um eine Gerade eindeutig anzugeben.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:43 So 13.01.2008 | | Autor: | Sand |
Danke Erstmal...
aber irgendwie versteh ich folgendes nicht:
wenn man die Ableitung der Funktion [mm] f(x)=-x^3 [/mm] +3 bildet, dann ist das ja [mm] -3x^2 [/mm] und somit -75...
Aber warum ist die Ableitung dieser Funktion, also die Steigung dieser Funktion, auch gleichzeitig die Steigung der Tangente? Wie kommst du darauf? Das versteh ich irgendwie nicht...
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich habe die Funktion gezeichnet und den Punkt (1; 2) gewählt,
[Dateianhang nicht öffentlich]
[mm] f(x)=-x^{3}+3
[/mm]
[mm] f'(x)=-3x^{2}
[/mm]
[mm] f'(1)=-3*1^{2}
[/mm]
f'(1)=-3
somit ist -3 der Anstieg an der Stelle x=1, du könntest also für jede beliebige Stelle den Anstieg ausrechnen, z. B. f'(2)=-24,
die Tangente an den Punkt (1; 2) habe ich grün gezeichnet, die Normale ist blau gezeichnet,
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
Edit: berichtigte Version
Hallo,
deine Funktion ist $f(x) = [mm] -x^3+3$, [/mm] deine Ableitung $f'(x) = [mm] -3*x^2$.
[/mm]
Also lautet deine Normalengleichung
[mm] $\bruch{y-y_1}{x-x_1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3*x_{1}^2}$
[/mm]
Die Variablen mit einer 1 als Index gehören zur Funktion f(x); die Variablen ohne Index gehören zur Normalen.
Jetzt hast Du ja einen Punkt auf der Geraden (Normalen) gegeben: (-5/0); den setzt Du nun in deine Normalengleichung ein:
[mm] $\bruch{0-y_1}{-5-x_1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{3*x_{1}^2}$
[/mm]
[mm] $-y_1 [/mm] = [mm] \bruch{-5-x_1}{3*x_{1}^2}$
[/mm]
So, und von deinem unbekannten Punkt [mm] (x_1/y_1) [/mm] weisst Du, dass er auf f(x) liegt, also kannst Du schreiben:
[mm] $-(-x_1^3+3) [/mm] = [mm] \bruch{-5-x_1}{3*x_{1}^2}$
[/mm]
Das ist umgeformt:
[mm] $x^5-3*x^2+\bruch{1}{3}*x+\bruch{5}{3} [/mm] = 0$
Wenn ihr einen graphischen Taschenrechner habt, kannst Du die Gleichung leicht lösen. Ansonsten müsstest Du ein Näherungsverfahren anwenden, wie z. B. das Newtonverfahren oder die Regula falsi.
Die drei Lösungen (Die Gleichung hat nur drei reelle Lösungen) sind dann:
[mm] x_1 [/mm] = -0,662783... und [mm] x_2 [/mm] = 1,084579... [mm] x_3 [/mm] = 1
LG, Martinius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:10 So 13.01.2008 | | Autor: | Steffi21 |
Hallo Martinius, du hast die dritte Lösung [mm] x_3=1 [/mm] vergessen, diese Stelle hatte ich in meiner Lösung verwendet, da sie sofort erkennbar ist, ohne Newton, es war ja nur eine Normale gefragt, Steffi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:28 So 13.01.2008 | | Autor: | Sand |
Hey, ehm vielen Dank für eure Lösungen... hab es nun doch noch mit einem anderen Verfahren noch rausbekommen, aber durch eure Beiträge hab ich dann auch noch was gelernt, also danke ;)
lg Sandy
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:42 Mo 14.01.2008 | | Autor: | Martinius |
Hallo Steffi,
Du hast recht: die Gleichung hat 3 Lösungen! Ich hatte eine übersehen. Danke für den Hinweis.
LG, Martin
|
|
|
|
