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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Ableitungen=0
Ableitungen=0 < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Ableitungen=0: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:16 Sa 24.01.2009
Autor: Englein89

Hallo,

ich habe noch ein Beispiel für die Berechnung der stationären Punkte von Ableitungen.

Die Ableitungen lauten

[mm] 3x^2-12y=0 [/mm]
-12x+12y=0

Wie komme ich auf noch mehr "Nullstellen" als (0,0)?

        
Bezug
Ableitungen=0: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:32 Sa 24.01.2009
Autor: schachuzipus

Hallo Englein,

> Hallo,
>  
> ich habe noch ein Beispiel für die Berechnung der
> stationären Punkte von Ableitungen.
>  
> Die Ableitungen lauten
>  
> [mm]3x^2-12y=0[/mm]
>  -12x+12y=0
>  
> Wie komme ich auf noch mehr "Nullstellen" als (0,0)?

Stur ausrechnen! Wie löst du denn üblicherweise ein Gleichungssystem?

Du kannst versuchen, eine Gleichung nach einer Variablen aufzulösen und dann in die andere Gleichung einsetzen

Nützlich ist auch immer, zu schauen, dass du möglichst viel faktorisierst, denn wenn du ein Produkt hast, kannst du sagen, dass das =0 ist, genau dann, wenn (mindestens) einer der Faktoren =0 ist

So auch hier

Aus $-12x+12y=0$ ergibt sich [mm] $-12\cdot{}(x-y)=0$, [/mm] also $x=y$

(bzw. direkt die 12x auf die andere Seite bringen und durch 12 teilen ...)

Damit in die andere partielle Abl. reingehen:

[mm] $3x^2-12y=0\Rightarrow 3x^2-12x=0\Rightarrow 3x\cdot{}(x-4)=0$ [/mm] ..

Nun du wieder ...

LG

schachuzipus


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Ableitungen=0: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:28 So 25.01.2009
Autor: Englein89



>  
> Aus [mm]-12x+12y=0[/mm] ergibt sich [mm]-12\cdot{}(x-y)=0[/mm], also [mm]x=y[/mm]
>  
> (bzw. direkt die 12x auf die andere Seite bringen und durch
> 12 teilen ...)
>  
> Damit in die andere partielle Abl. reingehen:
>  
> [mm]3x^2-12y=0\Rightarrow 3x^2-12x=0\Rightarrow 3x\cdot{}(x-4)=0[/mm]
> ..
>  

Dann habe ich, dass x=4/3 oder x=0, vorher sagten wir x=y, also müsste ich doch die Punkte

(4/3,0) und (0, 4/3) haben, oder nicht? Aber die Lösung ist angeblich nur (0,0).

Ich verstehs nicht :(

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Ableitungen=0: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:31 So 25.01.2009
Autor: Loddar

Hallo Englein!


$x \ = \ [mm] \bruch{4}{3}$ [/mm] ist falsch. Das muss $x \ = \ 4$ heißen.

Dass nur $(x;y) \ = \ (0;0)$ als Lösung verbleibt, kann daran liegen, dass der andere Punkt z.B. kein Extremum (sondern nur ein Sattelpunkt) ist ... ahbe ich jetzt aber nicht nachgerechnet.


Gruß
Loddar


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Ableitungen=0: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:35 So 25.01.2009
Autor: Englein89


> [mm]x \ = \ \bruch{4}{3}[/mm] ist falsch. Das muss [mm]x \ = \ 4[/mm]
> heißen.

Warum?

[mm] 3x^2-4x=0 [/mm]
x(3x-4)=0
x=0 oder 3x=4 <=> x=4/3 oder nicht?

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Ableitungen=0: andere Gleichung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:37 So 25.01.2009
Autor: Loddar

Hallo Englein!


Oben hieß die Gleichung aber noch:
[mm] $$3x^2-12y [/mm] \ = \ 0$$
[mm] $$\Rightarrow [/mm] \ \ [mm] 3x^2-12x [/mm] \ = \ 3x*(x-4) \ = \ 0$$

Gruß
Loddar


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Bezug
Ableitungen=0: anderes Bsp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:51 So 25.01.2009
Autor: Englein89

Achso, okay, stimmt.

Aber dann hab ich hier wieder so einen Klops:

Die Ableitungen sind

[mm] 4x(x^2+y)+4y-1=0 [/mm]
[mm] 2(x^2+y)+4x=0 [/mm]

Ich kann die zweite Gleichung nach [mm] y=-x^2-2x [/mm] umstellen, aber in die erste Gleichung eingesetzt habe ich dann

[mm] -12x^2-8x-1=0 [/mm]

Mit pq komme ich nicht voran, ich teile durch -12, habe dann

[mm] x^2+8/12x+1/12, [/mm] aber unter der Wurzel bleibt dann ein Wert, den ich nicht auf Anhieb berechnen kann.

Es soll herauskommen aus dieser Gleichung dass x=-1/6 und y=-1/2, aber das krieg ich doch im Kopf nicht hin. Und es fehlen ja noch Werte.

Ach, warum ist denn das so kompliziert..

Bezug
                                                        
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Ableitungen=0: Bruchrechnung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:55 So 25.01.2009
Autor: Loddar

Hallo Englein!


Das wenig Bruchrechnung solltest du aber wirklich noch hinkriegen. Zumal die Wurzel am ende auch "aufgeht".


Gruß
Loddar


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