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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:10 Do 27.12.2007 | | Autor: | anna_h |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie die 5. und 12. Ableitung von [mm] y=\wurzel{4+x^{5}} [/mm] |
Ich soll diese Aufgabe lösen.
Jetzt sagt mir mein Herz ich soll den Satz von Leibniz anwenden. Aber mein Prof sagt wir sollen eine Reihe entwickeln und dann damit weiterarbeiten. Kann mir jemand helfen?
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> Bestimmen Sie die 5. und 12. Ableitung von
> [mm]y=\wurzel{4+x^{5}}[/mm]
> Ich soll diese Aufgabe lösen.
Hallo,
sollst Du die Ableitung in einem bestimmten Punkt berechnen? Im Punk x=0 vielleicht?
> Jetzt sagt mir mein Herz ich soll den Satz von Leibniz
> anwenden. Aber mein Prof sagt
Tja, in diesem Widerstreit zwischen Herz und Prof siegt meist der Prof.
Leibniz ist doch für die Ableitung eines Produktes v. Funktionen, oder?
Das haben wir hier ja nicht.
> wir sollen eine Reihe
> entwickeln und dann damit weiterarbeiten. Kann mir jemand
> helfen?
Ich könnte mir vorstellen, daß Ihr mit der binomischen Reihe arbeiten sollt.Könnte das sein?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 Do 27.12.2007 | | Autor: | anna_h |
Ich habe [mm] a_{n}=\bruch{f^{n}(0)}{n!} [/mm] als Notiz im Skript gefunden. Kann damit aber nicht viel anfangen. Soll ich die Funktion in eine Potenzreihe umformen und dann das 5. Glied mit 5! multiplizieren? Ich weis auch nicht woher diese Fromel kommt.
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> Ich habe [mm]a_{n}=\bruch{f^{n}(0)}{n!}[/mm] als Notiz im Skript
> gefunden. Kann damit aber nicht viel anfangen.
Hallo,
das dürfte sich im Dunstkreis der Taylorentwicklung angefunden haben.
Das sind ja die Koeffizienten der Taylorentwicklung im Punkt Null.
> Soll ich die
> Funktion in eine Potenzreihe umformen und dann das 5. Glied
> mit 5! multiplizieren?
Ja, ich vermute, daß Du genau das tun sollst.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Fr 28.12.2007 | | Autor: | anna_h |
Ich kann ja umschreiben [mm] y=\wurzel{4+x^{5}}=(4+x^{5})^{\bruch{1}{2}} [/mm] (0der hoch -0,5(bin mir nicht ganz sicher))
da habe ich folgende Potenzreihe gefunden:
[mm] (1+x^{5})=1+\bruch{1}{2}x-\bruch{1*1}{2*4}x^{2}+\bruch{1*1*3}{2*4*6}x^{3}-\bruch{1*1*3*5}{2*4*6*8}x^{4}+...
[/mm]
jetzt wollte ich für x [mm] x^{5} [/mm] einsetzen. Weiss aber nicht was ich mit der plus 4 machen soll.
Oder ist alles falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:08 Fr 28.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Anna!
> Ich kann ja umschreiben [mm]y=\wurzel{4+x^{5}}=(4+x^{5})^{\bruch{1}{2}}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> (0der hoch -0,5(bin mir nicht ganz sicher))
So wie oben, ist es richtig!
> da habe ich folgende Potenzreihe gefunden:
> [mm](1+x^{5})=1+\bruch{1}{2}x-\bruch{1*1}{2*4}x^{2}+\bruch{1*1*3}{2*4*6}x^{3}-\bruch{1*1*3*5}{2*4*6*8}x^{4}+...[/mm]
Du meinst hier wohl eher:
[mm] $$\wurzel{1+z} [/mm] \ = \ [mm] (1+z)^{\bruch{1}{2}} [/mm] \ = \ [mm] 1+\bruch{1}{2}*z-\bruch{1}{2*4}*z^2+\bruch{1*3}{2*4*6}*z^3-+...$$
[/mm]
Setze nun $z \ = \ [mm] 3+x^5$ [/mm] ein.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:03 Fr 28.12.2007 | | Autor: | Somebody |
> Hallo Anna!
>
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> > Ich kann ja umschreiben
> [mm]y=\wurzel{4+x^{5}}=(4+x^{5})^{\bruch{1}{2}}[/mm]
>
>
>
>
> > (0der hoch -0,5(bin mir nicht ganz sicher))
>
> So wie oben, ist es richtig!
>
>
> > da habe ich folgende Potenzreihe gefunden:
> >
> [mm](1+x^{5})=1+\bruch{1}{2}x-\bruch{1*1}{2*4}x^{2}+\bruch{1*1*3}{2*4*6}x^{3}-\bruch{1*1*3*5}{2*4*6*8}x^{4}+...[/mm]
>
> Du meinst hier wohl eher:
> [mm]\wurzel{1+z} \ = \ (1+z)^{\bruch{1}{2}} \ = \ 1+\bruch{1}{2}*z-\bruch{1}{2*4}*z^2+\bruch{1*3}{2*4*6}*z^3-+...[/mm]
>
> Setze nun [mm]z \ = \ 3+x^5[/mm] ein.
>
Ist dies wirklich eine gute Idee? - Anna möchte doch gewisse Ableitungen von $x$ bestimmen. In diesem Falle hätte sie nur unnötig viel Ärger mit den Potenzen von $z$, also den Potenzen von [mm] $3+x^5$, [/mm] die in der Reihenentwicklung ständen. Warum nicht so umformen
[mm]f(x)=\sqrt{4+x^5}=2\sqrt{1+\frac{x^5}{4}}=2\sqrt{1+\left(\frac{x}{\sqrt[5]{4}}\right)^5}=2\sum_{n=0}^\infty \frac{\binom{\frac{1}{2}}{n}}{\sqrt[5]{4}^n}x^{5n}=\sum_{n=0}^\infty 2\frac{\binom{\frac{1}{2}}{n}}{\sqrt[5]{4}^n}x^{5n}[/mm]
Hier hat man direkt Potenzen von $x$ und kann somit die $5n$-ten Ableitungen von $f$, durch Vergleich mit den Koeffizenten der Taylorreihe von $f$, direkt ablesen (die anderen sind $0$).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 So 30.12.2007 | | Autor: | anna_h |
Ich habe noch eine allgemeine Frage. Die Formel mit der ich das ausrechnen will [mm] [f^{n}=a_{n}*n!], [/mm] heist das das ich bis zum Gliednummer n rechnen muss (n Glieder) oder bis zu dem Glied mit der Potenz [mm] x^{n}. [/mm]
Die Idee von Somebody ist mir nicht ganz klar und übersteigt meine mathematischen Fähigkeiten. Das müsste jemand genauer erklären. Aber ich denke das geht auch mit meiner Formel ( aus dem Skriptum)
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> Ich habe noch eine allgemeine Frage. Die Formel mit der ich
> das ausrechnen will [mm][f^{n}=a_{n}*n!],[/mm] heist das das ich bis
> zum Gliednummer n rechnen muss (n Glieder) oder bis zu dem
> Glied mit der Potenz [mm]x^{n}.[/mm]
Hallo,
letzteres.
> Die Idee von Somebody ist mir nicht ganz klar und
> übersteigt meine mathematischen Fähigkeiten.
Zunächst mal macht er einfache Umformungen (ausklammern) und kommt dann mit der von mir eingangs erwähnten binomischen Reihe - ob das dran war, weißt nur Du.
> jAber ich denke das geht auch mit
> meiner Formel ( aus dem Skriptum)
Tja, von Deiner "Formel" teilst Du ja nur Fragmente mit, aber ich sehe mal hell:
Wenn Du die Potenzreihenentwicklung der Funktion vorliegen hast, ist der Faktor [mm] a_n [/mm] vor [mm] x^n [/mm] gleich [mm] \bruch{f'(0)}{n!}.
[/mm]
So weit, so gut.
Damit hast Du aber das Problem, daß Du f erstmal als Potenzreihe brauchst, überhaupt noch nicht gelöst.
Nimmst Du Loddars Reihe, so mußt Du diese erst noch nach Potenzen v. x (!) sortieren, ich bin mir nicht sicher, ob das ganz geschwind geht.
Genau dieses Problem umgeht Somebody, indem der die Funktion so umformt, daß er mit der binomischen Reihe anrücken kann und somit direkt die Potenzreihenentwicklung vorliegen hat.
Fazit: Du solltest unbedingt herausfinden, ob bei Euch die binomische Reihe dran war, und wenn das der Fall war, solltest Du diese auch verwenden. Es spart Dir Zeit und Mühe.
Gruß v. Angela
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