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Forum "Rationale Funktionen" - Ableitung Gebrochenr. Funktion
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Ableitung Gebrochenr. Funktion: Ausklammern Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:36 So 25.08.2013
Autor: jennifer.obermeyer

Aufgabe
Hier die Stammfunktion:
x²-a² / x²+a²

Hier nun der erste Rechenschritt zur Ableitung:
2x(x²+a²)-(x²-a²)*2   /    (x²+a²)²

Nun würde ich ausklammern und mit dem Nenner kürzen, der Lösungsweg sagt leider etwas anderes....????

Es ist mir nicht klar warum nicht ausgeklammert werden darf.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Ableitung Gebrochenr. Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:47 So 25.08.2013
Autor: MathePower

Hallo jennifer.obermeyer,


[willkommenmr]


Über ein freundliches "Hallo" freuen wir uns auch.


> Hier die Stammfunktion:
>  x²-a² / x²+a²


Die lautet korrekt: [mm]\bruch{x^{2}-a^{2}}{x^{2}+a^{2}}[/mm]


>  Hier nun der erste Rechenschritt zur Ableitung:
>  2x(x²+a²)-(x²-a²)*2   /    (x²+a²)²
>  


Das stimmt nicht ganz:

[mm]\bruch{2x*\left(x^{2}+a^{2}\right)-\left(x^{2}-a^{2}\right)*2\red{x}}{\left(x^{2}+a^{2}\right)^{2}}[/mm]


> Nun würde ich ausklammern und mit dem Nenner kürzen, der
> Lösungsweg sagt leider etwas anderes....????
>  
> Es ist mir nicht klar warum nicht ausgeklammert werden
> darf.
>  


Bevor Du ausklammern kannst, musst Du hier zuerst ausmultiplizieren.


> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>


Ebenso freuen wir uns über einen Gruss.

Gruss
MathePower  

Bezug
                
Bezug
Ableitung Gebrochenr. Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:57 So 25.08.2013
Autor: jennifer.obermeyer

Dankeschön :), genau dies verät mein Lösungsweg auch... an dieser Stelle muss ausmultipliziert werden! Leider weiß ich jetzt immer noch nicht mehr... ich hätte gerne eine Regel dazu.

Ich habe erst gestern meine erste Ableitung gemacht, daher fehlt es nicht an den Formeln, sondern eher an grundlegenden Regeln.

Bevor ausgeklammert werden kann, muss ausmultipliziert werden!

Nehmen wir aber mal an die Ableitung sieht so aus:

>  2x(x²+a²)³-(x²-a²)*2X   /    (x²+a²)²

...dann muss aufgrund des Exponenten³ erst ausgeklammert werden?



  







Bezug
                        
Bezug
Ableitung Gebrochenr. Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:16 So 25.08.2013
Autor: MathePower

Hallo jennifer.obermeyer,

> Dankeschön :), genau dies verät mein Lösungsweg auch...
> an dieser Stelle muss ausmultipliziert werden! Leider weiß
> ich jetzt immer noch nicht mehr... ich hätte gerne eine
> Regel dazu.
>  
> Ich habe erst gestern meine erste Ableitung gemacht, daher
> fehlt es nicht an den Formeln, sondern eher an
> grundlegenden Regeln.
>
> Bevor ausgeklammert werden kann, muss ausmultipliziert
> werden!
>  


Dazu gibt es keine allgemeine Regel.


> Nehmen wir aber mal an die Ableitung sieht so aus:
>  >  2x(x²+a²)³-(x²-a²)*2X   /    (x²+a²)²
>  
> ...dann muss aufgrund des Exponenten³ erst ausgeklammert
> werden?
>


Naürlich kannst Du zuerst den gemeinsamen Faktor 2x ausklammern,
bevor Du weiterrechnest.


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Ableitung Gebrochenr. Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:50 So 25.08.2013
Autor: jennifer.obermeyer

Das meinte ich nicht, ich versuche es jetzt mal ausführlicher darzustellen:

Beispiel 1
Stammfunktion:
[mm] \bruch{3x^2-8x}{(x-2)^2} [/mm]

[mm] u=3x^2-8x [/mm]
u´=6x-8
[mm] v=(x-2)^2 [/mm]
v´=2(x-2)1

[mm] \bruch{(6x-8)(x-2)^2-(3x^2-8x)2(x-2)}{(x-2)^4} [/mm]

im nächsten Schritt wird nun ausgeklammert, bevor ausmultiplitziert wird... genau das ist es was ich bei der anderen Aufgabe nicht verstehe


[mm] \bruch{(x-2)((6x-8)(x-2)-(3x^2-8x)2}{(x-2)^4} [/mm]


Bezug
                                        
Bezug
Ableitung Gebrochenr. Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:56 So 25.08.2013
Autor: MathePower

Hallo jennifer.obermeyer,


> Das meinte ich nicht, ich versuche es jetzt mal
> ausführlicher darzustellen:
>  
> Beispiel 1
>  Stammfunktion:
>  [mm]\bruch{3x^2-8x}{(x-2)^2}[/mm]
>  
> [mm]u=3x^2-8x[/mm]
>  u´=6x-8
>  [mm]v=(x-2)^2[/mm]
>  v´=2(x-2)1
>  
> [mm]\bruch{(6x-8)(x-2)^2-(3x^2-8x)2(x-2)}{(x-2)^4}[/mm]
>  
> im nächsten Schritt wird nun ausgeklammert, bevor
> ausmultiplitziert wird... genau das ist es was ich bei der
> anderen Aufgabe nicht verstehe
>  
>
> [mm]\bruch{(x-2)((6x-8)(x-2)-(3x^2-8x)2}{(x-2)^4}[/mm]
>  


Hier wurde x-2 zur Rechenerleichterung ausgeklammert,
da es in beiden Summanden auftritt.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
Ableitung Gebrochenr. Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:01 So 25.08.2013
Autor: jennifer.obermeyer

Genau, warum war das in meinem Beispiel nicht möglich, dort tritt es doch auch in beiden Summanden auf?

Bezug
                                                        
Bezug
Ableitung Gebrochenr. Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:10 So 25.08.2013
Autor: Thomas_Aut

Hallo,

Prinzipiell befinde ich die Frage etwas konfus gestaltet.
Wieso sollte, nur weil man bei irgendwelchen Ausdrücken etwas herausheben, ausklammern, kürzen etc. kann das in deinem Beispiel auch unbedingt erforderlich/möglich sein?
MathePower hat dir ja bereits gesagt:
Multipliziere den Ausdruck , welcher dir vorliegt, einmal aus und dann sieh weiter ob man etwas ausklammern, rausheben usw. kann.

Gruß thomas

Bezug
                                                                
Bezug
Ableitung Gebrochenr. Funktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:02 So 25.08.2013
Autor: jennifer.obermeyer

Ich verstehe es einfach nicht!

Ausmultiplizieren dann ausklammern:
Im zweiten Beispiel kann ich bevor ich ausklammere die 2(x-2) ausmultiplizieren, ist das dann richtig?

Bezug
                                                                        
Bezug
Ableitung Gebrochenr. Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:46 So 25.08.2013
Autor: M.Rex


> Ich verstehe es einfach nicht!

>

> Ausmultiplizieren dann ausklammern:
> Im zweiten Beispiel kann ich bevor ich ausklammere die
> 2(x-2) ausmultiplizieren, ist das dann richtig?

Das macht doch keinen Sinn.
Du hast $ [mm] \bruch{(6x-8)(x-2)^2-(3x^2-8x)2(x-2)}{(x-2)^4} [/mm] $
Wenn du 2(x-2) im hinteren Teil des Zählers ausmultiplizierst, löst du doch gerade den Faktor (x-2), den du hinterher ausklammern und kürzen willst, auf.

Du hast also:
$ [mm] \bruch{(6x-8)(x-2)^2-(3x^2-8x)2(x-2)}{(x-2)^4} [/mm] $
(x-2) ausklammern
$ [mm] \bruch{(x-2)\cdot((6x-8)(x-2)-2(3x^2-8x))}{(x-2)^4} [/mm] $
Nun kannst du kürzen
$ [mm] \bruch{(6x-8)(x-2)-2(3x^2-8x)}{(x-2)^3} [/mm] $
Jetzt, da du im hinteren Teil des Zählers den Faktor x-2 nicht mehr kürzen kannst, multipliziere aus, beachte dabei die Minusklammer

Schau dir zu dem Thema mal folgende Links an:
http://www.strobl-f.de/m7.html
(Kapitel 7/3, 7/4 und 7/10)
http://www.strobl-f.de/m8.html
(Kapitel 8/6, 8/7 und 8/8)
http://www.strobl-f.de/m9.html
Kapitel 9/2

Marius

Bezug
                                                
Bezug
Ableitung Gebrochenr. Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:37 So 25.08.2013
Autor: abakus


> Hallo jennifer.obermeyer,

>
>

> > Das meinte ich nicht, ich versuche es jetzt mal
> > ausführlicher darzustellen:
> >
> > Beispiel 1
> > Stammfunktion:
> > [mm]\bruch{3x^2-8x}{(x-2)^2}[/mm]
> >
> > [mm]u=3x^2-8x[/mm]
> > u´=6x-8
> > [mm]v=(x-2)^2[/mm]
> > v´=2(x-2)1
> >
> > [mm]\bruch{(6x-8)(x-2)^2-(3x^2-8x)2(x-2)}{(x-2)^4}[/mm]
> >
> > im nächsten Schritt wird nun ausgeklammert, bevor
> > ausmultiplitziert wird... genau das ist es was ich bei der
> > anderen Aufgabe nicht verstehe

Hallo Jennifer,
wenn dir dieser Schritt zu schwierig ist, dann schreiben wir einfach den Bruch mal als Differenz von zwei Brüchen mit gleichem Nenner:
[mm]\bruch{(6x-8)(x-2)^2-(3x^2-8x)2(x-2)}{(x-2)^4}=\bruch{(6x-8)(x-2)^2}{(x-2)^4}-\bruch{(3x^2-8x)2(x-2)}{(x-2)^4}[/mm]
Im letzten Bruch ist der Faktor (x-2) sowohl im Zähler als auch im Nenner vorhanden. Somit kann dieser Bruch zu [mm]\bruch{(3x^2-8x)2(x-2)}{(x-2)^4}=\bruch{(3x^2-8x)*2}{(x-2)^3}[/mm] gekürzt werden. Auch der vordere Bruch kann mit (x-2) gekürzt werden: [mm]\bruch{(6x-8)(x-2)^2}{(x-2)^4}=\bruch{(6x-8)(x-2)}{(x-2)^3}[/mm].
Somit gilt
 [mm]\bruch{(6x-8)(x-2)^2-(3x^2-8x)2(x-2)}{(x-2)^4}=\bruch{(6x-8)(x-2)}{(x-2)^3}-\bruch{(3x^2-8x)*2}{(x-2)^3}[/mm]

Da die beiden hinteren Brüche wieder gleichnamig sind, kann man sie zu [mm]\bruch{(6x-8)(x-2)-(3x^2-8x)*2}{(x-2)^3}[/mm] zusammenfassen. Es ist allerdings etwas umständlich, erst den Bruch zu zerlegen, dann die Einzelbrüche zu kürzen und danach die gekürzten Brüche wieder zu einem Bruch zusammenzufassen. Deshalb wurde in dem dir vorliegenden Beispiel SOFORT (x-2) aus der Differenz des Zählers ausgeklammert, um diesen Faktor mit einem Faktor (x-2) des Nenners zu kürzen.
JETZT ERST mach es Sinn, den Zähler durch Ausmultiplizieren und anschließendes Zusammenfassen noch etwas einfacher zu gestalten:
[mm] $(6x^2-12x-8x+16)-(6x^2-16x)$ [/mm] lässt sich noch etwas zusammenfassen.
Gruß Abakus

> >
> >
> > [mm]\bruch{(x-2)((6x-8)(x-2)-(3x^2-8x)2}{(x-2)^4}[/mm]
> >

>
>

> Hier wurde x-2 zur Rechenerleichterung ausgeklammert,
> da es in beiden Summanden auftritt.

>
>

> Gruss
> MathePower

Bezug
                                                        
Bezug
Ableitung Gebrochenr. Funktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:53 So 25.08.2013
Autor: jennifer.obermeyer

Super, vielen Dank für die ausführliche Antwort. Jetzt ist es ganz klar! :)

Bezug
        
Bezug
Ableitung Gebrochenr. Funktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:30 So 25.08.2013
Autor: Thomas_Aut

Hallo,
> Hier die Stammfunktion:
>  x²-a² / x²+a²

Es ist immer eine korrekte Schreibweise (auch aus Gründen der Höflichkeit und Lesbarkeit wünschenswert).
Deine Stammfunktion müsste wohl etwa eher :

[mm]F(x) = \frac{x^2-a^2}{x^2+a^2}[/mm] genauer: [mm]F(x) = \frac{x^2-a^2}{x^2+a^2}+ C[/mm] lauten.

>  Hier nun der erste Rechenschritt zur Ableitung:
>  2x(x²+a²)-(x²-a²)*2   /    (x²+a²)²

naja diese Regel scheint dir trotz Rechenf. bekannt zu sein.

Resultat lt. Quotientenregel:

[mm]\frac{2x*(x^2+a^2)-(x^2-a^2)*2x}{(x^2+a^2)^2}[/mm]

>  
> Nun würde ich ausklammern und mit dem Nenner kürzen, der
> Lösungsweg sagt leider etwas anderes....????

Was sagt der? was ist dein Ziel? - Die Ableitung steht da - sie zu vereinfachen ist reine Kosmetik.

>  
> Es ist mir nicht klar warum nicht ausgeklammert werden
> darf.
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  

Teile uns doch mit was mit:

[mm]\frac{2x*(x^2+a^2)-(x^2-a^2)*2x}{(x^2+a^2)^2}[/mm] geschehen soll ?



Gruß Thomas

Bezug
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