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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Abl.-Regeln bei Richtungsabl.
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Abl.-Regeln bei Richtungsabl.: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:36 Do 21.04.2016
Autor: nightsusi

Aufgabe
Sei [mm] D\subset R^n [/mm] offen, [mm] a\in [/mm] D, [mm] v\in R^n, [/mm] und seinen f,g:D->R Funktion, sodass die Richtungsableitung [mm] D_{v}f(a) [/mm]  und [mm] D_{v}g(a) [/mm] existieren. Zeigen Sie, dass die Richtungsableitungen die Summen-, Produkt- und Quotientenregel wie im eindim. Fall erfüllen, d.h. die Richtungsableitungen
[mm] D_{v}(f+g)(a), D_{v}(fg)(a) [/mm] und [mm] D_{v}(f/g)(a) [/mm] existieren und es gilt:

[mm] D_{v}(f+g)(a)=D_{v}(f)(a)+D_{v}(g)(a) [/mm]

[mm] D_{v}(fg)(a)=D_{v}(f)(a)*g(a)+D_{v}(g)(a)*f(a) [/mm]

[mm] D_{v}(f/g)(a) =\bruch{D_{v}(f)(a)*g(a)-D_{v}(g)(a)*f(a)}{g(a)^2} [/mm]

Guten Morgen zusammen, vielleicht kann mir jemand bei der obigen Aufgabe helfen:

In der Vorlesung haben wir definiert:
[mm] D_{v}(f)(a)=\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(a+tv)-f(a)}{t} [/mm] heißt Richtungsableitung von f im Punkt a in Richtung v.

Demnach kann ich doch für die Summenregel sagen:

[mm] D_{v}(f+g)(a) [/mm]
[mm] =\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{(f+g)(a+tv)-(f+g)(a)}{t} [/mm]
[mm] =\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(a+tv)+g(a+tv)-(f(a)+g(a))}{t} [/mm]
=...
[mm] =\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(a+tv-f(a)}{t}+\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{g(a+tv-f(a)}{t} [/mm]
[mm] =D_{v}f(a)+D_{v}g(a) [/mm]

Gilt ähnliches auch für die Produktregel?
[mm] D_{v}(fg)(a) [/mm]
[mm] =\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{(fg)(a+tv)-(fg)(a)}{t} [/mm]
[mm] =\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(a+tv)*g(a+tv)-f(a)*f(g)}{t} [/mm]
[mm] =\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(a+tv)*g(a+tv)-f(a)*g(a+tv)+f(a)*g(a+tv)-f(a)*f(g)}{t} [/mm]
[mm] =\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{g(a+tv)*(f(a+tv)-f(a))+f(a)*(g(a+tv)-g(a))}{t} [/mm]
=...
[mm] =g(a)*D_{v}(f)(a)+f(a)*D_{v}(g)(a) [/mm]

Analog dazu müsse es doch auch mit der Quotientenregel gehen, oder hab ich da einen großen Denkfehler?

Danke für Eure Antworten und Denkanstöße! :-)

        
Bezug
Abl.-Regeln bei Richtungsabl.: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:47 Do 21.04.2016
Autor: fred97


> Sei [mm]D\subset R^n[/mm] offen, [mm]a\in[/mm] D, [mm]v\in R^n,[/mm] und seinen
> f,g:D->R Funktion, sodass die Richtungsableitung [mm]D_{v}f(a)[/mm]  
> und [mm]D_{v}g(a)[/mm] existieren. Zeigen Sie, dass die
> Richtungsableitungen die Summen-, Produkt- und
> Quotientenregel wie im eindim. Fall erfüllen, d.h. die
> Richtungsableitungen
> [mm]D_{v}(f+g)(a), D_{v}(fg)(a)[/mm] und [mm]D_{v}(f/g)(a)[/mm] existieren
> und es gilt:
>  
> [mm]D_{v}(f+g)(a)=D_{v}(f)(a)+D_{v}(g)(a)[/mm]
>  
> [mm]D_{v}(fg)(a)=D_{v}(f)(a)*g(a)+D_{v}(g)(a)*f(a)[/mm]
>  
> [mm]D_{v}(f/g)(a) =\bruch{D_{v}(f)(a)*g(a)-D_{v}(g)(a)*f(a)}{g(a)^2}[/mm]
>  
> Guten Morgen zusammen, vielleicht kann mir jemand bei der
> obigen Aufgabe helfen:
>  
> In der Vorlesung haben wir definiert:
> [mm]D_{v}(f)(a)=\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(a+tv)-f(a)}{t}[/mm]
> heißt Richtungsableitung von f im Punkt a in Richtung v.
>  
> Demnach kann ich doch für die Summenregel sagen:
>  
> [mm]D_{v}(f+g)(a)[/mm]
>  [mm]=\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{(f+g)(a+tv)-(f+g)(a)}{t}[/mm]
>  
> [mm]=\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(a+tv)+g(a+tv)-(f(a)+g(a))}{t}[/mm]
>  
> =...
>  [mm]=\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(a+tv-f(a)}{t}+\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{g(a+tv-f(a)}{t}[/mm]
>  
> [mm]=D_{v}f(a)+D_{v}g(a)[/mm]
>  
> Gilt ähnliches auch für die Produktregel?
>  [mm]D_{v}(fg)(a)[/mm]
>  [mm]=\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{(fg)(a+tv)-(fg)(a)}{t}[/mm]
>  
> [mm]=\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(a+tv)*g(a+tv)-f(a)*f(g)}{t}[/mm]
>  
> [mm]=\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{f(a+tv)*g(a+tv)-f(a)*g(a+tv)+f(a)*g(a+tv)-f(a)*f(g)}{t}[/mm]
>  
> [mm]=\limes_{t\rightarrow 0}\bruch{g(a+tv)*(f(a+tv)-f(a))+f(a)*(g(a+tv)-g(a))}{t}[/mm]
>  
> =...
>  [mm]=g(a)*D_{v}(f)(a)+f(a)*D_{v}(g)(a)[/mm]
>  
> Analog dazu müsse es doch auch mit der Quotientenregel
> gehen, oder hab ich da einen großen Denkfehler?
>  
> Danke für Eure Antworten und Denkanstöße! :-)

Du hast alles richtig gemacht. Du hättest Dir aber viel Arbeit ersparen können, wenn Du das Folgende beherzigst.

Da D offen ist, gibt es ein r>0 mit: a+tv [mm] \in [/mm] D für alle t [mm] \in [/mm] I:=(-r,r). Definiert man nun die Funktion [mm] \phi:I \to \IR [/mm] durch [mm] \phi(t):=f(a+tv), [/mm]  so gilt:

    $D_vf(a) $ existiert  [mm] \gdw \quad \phi [/mm] ist in t=0 differenzierbar.

    In diesem Fall ist dann [mm] D_vf(a)=\phi'(0). [/mm]

FRED


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