Abgeschlossenheit in Vekotrräu < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:00 Do 16.03.2006 | | Autor: | AriR |
(frage zuvor nicht gestellt)
Hi Leute, aus was ergibt sich, dass Vektorräume abgeschlossen sind bzgl. der Skalarenmultiplikation und der auf sie definierten Addition?
Ich habe mir gerade zB nochmal den Beweis angeguckt, warum Bild(f) ein Untervektorraum ist [mm] (f:V\to [/mm] W linear).
sei wBild(f), v das zugehörige Urbild, [mm] k\in [/mm] Körper
Zu zeigen: [mm] k*w\in [/mm] Bild(f)
[mm] k*w=k*f(v)=f(k*v)\in [/mm] Bild(f)
ich weiß nicht mehr genau, warum jetzt genau k*v wieder in V liegen muss.
Wäre nett, wenn mir das einer beantworten könnte =)
Gruß Ari
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Hallo und guten Mittag Ari,
ok, setzen wir uns und fangen an:
Per definitionem heisst [mm] (V,+,\cdot) [/mm] ein k-Vektorraum (wobei [mm] +\colon V\times V\to [/mm] V und [mm] \cdot\colon k\times V\to [/mm] V),
wenn die entsprechenden Axiome gelten.
Ansonsten spräche man gar nicht von einem Vektorraum. Dass nun irgendein explizit gegebenes Tupel [mm] (V,+,\cdot)
[/mm]
k-Vektorraum ist, muss man halt im Einzelfall stets beweisen.
Deine Frage ist ja auch die nach Untervektorräumen.
Seien also (ich mach jetzt mal die ausführliche Notation, Deine Schreibweise ist im Grunde nur eine
Abkürzung davon)
[mm] (U,+_U,\cdot_U) [/mm] und [mm] (V,+_V,\cdot_V) [/mm]
k-Vektorräume, und sei [mm] f\colon V\to [/mm] U eine lineare Abbildung, d.h. ein Vektorraumhomomorphismus.
Dann ist f(V) ein Untervektorraum von U, d.h. abgeschlossen unter +_U und [mm] \cdot_U.
[/mm]
den Beweis hast Du geschrieben, und dass man
fuer [mm] a\in [/mm] k
[mm] a\cdot_U f(v)=f(a\cdot_V [/mm] v) schreiben kann, ist genau eine der definierenden Eigenschaften
von k-Vektorraumhomomorphismen.
Viele Gruesse,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:13 Do 16.03.2006 | | Autor: | AriR |
jo aber warum genau ist [mm] k*v\in [/mm] V wenn [mm] v\in [/mm] V ist??
kannst du das vielleicht bitte nochmal erläutern?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:24 Do 16.03.2006 | | Autor: | mathiash |
Hallo nochmal,
wenn V ein K-Vektorraum ist (jetzt bezeichne ich also mit K den Koerper und nicht mehr mit k),
und gemaess Deiner Notation [mm] k\in [/mm] K, dann ist, weil [mm] \cdot_V\colon K\times V\to [/mm] V ist, [mm] k\cdot_V [/mm] v ebenfalls ein Element von V.
Diese ist ja genau eine der K-Vektorraum-Eigenschaften von V.
Gruss,
Mathias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:27 Do 16.03.2006 | | Autor: | AriR |
jo danke du hast recht..
dann habe ich noch eine kleine frage wenn du noch kurz zeit hast und zwar, wenn man die VR-Axiome überprüft für eine bestimmte menge, dann müsste doch demnach auch eigentlich immer die abgeschlossenheit bzgl. der Verknüpfungen + und * überprüfen oder nicht? Ich hab shcon sehr oft gesehen, dass dies nicht gemacht wurde, aber das ist doch eigentlich auch nötig oder nicht?
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Hallo nochmal,
ja, Du hast recht, das ist streng genommen stets nötig. Nur wird es in vielen Fällen weggelassen, weil man dann der
Meinung ist, das sei eh klar an der Stelle.
Gruss,
Mathias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:37 Do 16.03.2006 | | Autor: | AriR |
dann mal wieder vielen dank an dich.. warst wie immer eine riesen hilfe =)
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