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Forum "Wahrscheinlichkeitsrechnung" - 100 reservierte Tische
100 reservierte Tische < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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100 reservierte Tische: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:26 Do 21.01.2021
Autor: Fulla

Aufgabe
100 Personen haben 100 Tische in einem Restaurant reserviert.

Zu Beginn ist das Buchungssystem defekt und die zuerst eintreffende Person wird an einem zufälligen Tisch platziert.

Danach funktioniert die Software wieder und die weiteren Personen werden der Reihe nach zu ihren gebuchten Tischen gebracht. Sollte dieser aber bereits besetzt sein, wird wieder ein zufälliger Tisch ausgewählt.

Du kommst als letzte(r) an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass du an dem Tisch sitzen kannst, den du auch reserviert hast?




Hallo zusammen,

ich bin über diese Aufgabe durch einen Dozenten der University of Oxford in den sozialen Medien aufmerksam geworden und dachte mir, ich teile sie mit Euch.

Die Lösung hat mich dann doch ein bisschen überrascht und ich bin gespannt auf Eure Lösungen.

Lieben Gruß
Fulla

        
Bezug
100 reservierte Tische: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:50 Do 21.01.2021
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

nettes Problem.

Ich komme auf [mm] $\frac{1}{2} [/mm] + [mm] \frac{98}{99\cdot 100} \approx 51\%$, [/mm] meine Simulationen zeigen aber eher, dass es vermutlich exakt [mm] \frac{1}{2} [/mm] ist… nun weiß ich nicht, was ich mehr trauen soll.

Meinen Mathematikkenntnissen oder meinen Programmierkünsten :D
Klar ist aber: Man bekommt entweder den ersten oder den letzten Tisch…

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
100 reservierte Tische: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:42 Do 21.01.2021
Autor: chrisno

https://www.mathekalender.de/index.php?page=problem&problemID=152

Bezug
                        
Bezug
100 reservierte Tische: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 01:57 So 21.02.2021
Autor: ms2008de

https://www.spiegel.de/wissenschaft/mensch/ohne-bordkarte-ins-flugzeug-raetsel-der-woche-a-1134962.html gleiches Problem mit schlüssiger Auflösung.  

Gruß ms2008de

Bezug
                                
Bezug
100 reservierte Tische: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 03:56 So 21.02.2021
Autor: Fulla

Danke ms2008de für den Link, das ist eine sehr schöne Formulierung des Problems.

Ich bin sicher, es gibt noch dutzende andere Varianten, aber die hier genannten (auch die weihnachtliche Version von chrisno) gefallen mir alle sehr gut.

Erstaunlich finde ich auch die unterschiedlichen Lösungswege bzw. -strategien.

Lieben Gruß
Fulla

Bezug
                
Bezug
100 reservierte Tische: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:31 Do 21.01.2021
Autor: Fulla


> Hiho,

>

> nettes Problem.

>

> Ich komme auf [mm]\frac{1}{2} + \frac{98}{99\cdot 100} \approx 51\%[/mm],
> meine Simulationen zeigen aber eher, dass es vermutlich
> exakt [mm]\frac{1}{2}[/mm] ist… nun weiß ich nicht, was ich mehr
> trauen soll.

>

> Meinen Mathematikkenntnissen oder meinen
> Programmierkünsten :D
> Klar ist aber: Man bekommt entweder den ersten oder den
> letzten Tisch…

>

> Gruß,
> Gono

Hallo Gono,
ja, die Wahrscheinlichkeit ist tatsächlich exakt [mm]\frac 12[/mm].
Und richtig ist auch, dass man entweder den ersten (von der ersten Person gebuchten) oder den letzten (den selbst gebuchten) Tisch bekommt.

Ich selbst habe da ein bisschen mit Kanonen auf Spatzen geschossen und einen allgemeinen Beweis für [mm]n[/mm] Tische geführt.
Als Wahrscheinlichkeit ergab sich da
    [mm]p=1-\frac 1n-\sum_{k=2}^{n-1}\frac{(n-k)!}{(n-k+2)!}=[/mm]

    [mm]=1-\frac 1n-\sum_{k=2}^{n-1}\frac{1}{(n-k+1)(n-k+2)}=\frac 12[/mm].

Mittels Induktion kann man das natürlich auch lösen.
Und hier wird noch ein anderer Ansatz gezeigt: https://www.youtube.com/watch?v=BsEcBJQU1nI (engl.)

Danke auch an Chrisno für den Link. Dass die Aufgabe nicht ganz neu ist, kann man sich denken, aber zumindest ich kannte sie noch nicht.

Lieben Gruß
Fulla

Bezug
        
Bezug
100 reservierte Tische: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:56 Fr 22.01.2021
Autor: Al-Chwarizmi

Wunderbares Beispiel für eine Aufgabe, die zunächst einen recht
komplexen Lösungsweg vermuten bzw. befürchten lässt und dann aber
doch eine ganz erstaunlich einfache Lösung hat.
Die nächsten Fragen sind dann vielleicht:

"Wie kann es sein, dass dies am Ende so einfach ist ?" ,

"Wie müsste man an das Problem herangehen, um seine
Einfachheit nicht erst nach langem Herumrechnen zu erkennen ?"

LG ,   Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
100 reservierte Tische: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:41 Sa 23.01.2021
Autor: statler

Hi!
> Wunderbares Beispiel für eine Aufgabe, die zunächst einen
> recht
>  komplexen Lösungsweg vermuten bzw. befürchten lässt und
> dann aber
> doch eine ganz erstaunlich einfache Lösung hat.

Stimmt genau!

>  Die nächsten Fragen sind dann vielleicht:  
> "Wie kann es sein, dass dies am Ende so einfach ist ?" ,
>
> "Wie müsste man an das Problem herangehen, um seine
>  Einfachheit nicht erst nach langem Herumrechnen zu
> erkennen ?"

Da war mein Ansatz, für 3 und 4 Tische mal ein Baumdiagramm zu erstellen, für 2 Tische konnte ich das im Kopf.
Und dann kam mir erst eine Vermutung und dann die Einsicht, daß man die Pfade bijektiv aufeinander abbilden kann, indem man 1 und n miteinander vertauscht.

LG Dieter


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