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Forum "Analysis des R1" - 1. Semester Mathematik
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1. Semester Mathematik: Aufg. 3
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 05:07 Do 23.10.2014
Autor: unfaehik

Aufgabe
Zeigen Sie mit Hilfe des Prinzips der vollständigen Induktion: Für eine n-elementige Menge X gilt [mm] |P(X)|=2^n. [/mm]





Zu 3: Mein Anfang würde so aussehen: n=0
|P(X)|=1 weil da nur die leere Menge ist. [mm] 2^n=1 [/mm]
dann
n→n+1
Ab hier steck ich fest. Ich weiß warum [mm] 2^n [/mm] richtig ist, allerdings kann ich nicht zeigen wieso.

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/1-Semster-Mathematik
und
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=547365

 

        
Bezug
1. Semester Mathematik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:19 Do 23.10.2014
Autor: Fulla

Hallo unfaehik!


> Zeigen Sie mit Hilfe des Prinzips der vollständigen
> Induktion: Für eine n-elementige Menge X gilt [mm]|P(X)|=2^n.[/mm]

> Zu 3: Mein Anfang würde so aussehen: n=0
> |P(X)|=1 weil da nur die leere Menge ist. [mm]2^n=1[/mm]
> dann
> n→n+1
> Ab hier steck ich fest. Ich weiß warum [mm]2^n[/mm] richtig ist,
> allerdings kann ich nicht zeigen wieso.

Zunächstmal solltest du die Induktionsvoraussetzung aufschreiben. (Sei die Behauptung bereits für ein n bewiesen... Also dürfen wir verwenden, dass [mm]|X|=n\quad |P(X)|=2^n[/mm])
Versuche zu beschreiben, wie sich die Mächtigkeit von $P(X)$ ändert, wenn X ein Element mehr bekommt.

Lieben Gruß,
Fulla

Bezug
                
Bezug
1. Semester Mathematik: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:52 Do 23.10.2014
Autor: unfaehik

Soo, das würde ich dann so beantworten.
|X| = n
|P(X)| = [mm] 2^n [/mm]
Wir setzten n = 0
|X| = 0
|P(X)| = 1 wegen der leeren Menge.
[mm] 2^0 [/mm] = 1
Das heißt wenn wir |X| = n+1 setzen dann ist |P(X)| = 2^(n+1). Dabei gibt es n+1 Element mehr bei der Menge X:
X = { [mm] e_n_+_1 [/mm] }
usw.

Jedes Element wird aufgeschrieben dann werden alle Elemente miteinander kombiniert. So kommt das [mm] 2^n [/mm] zustande.

Wäre es so richtig beantwortet ?

Bezug
                        
Bezug
1. Semester Mathematik: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:58 Do 23.10.2014
Autor: sissile

Hallo unfaehik,
Der Induktionanfang passt.

Die Induktionsvoraussetzung ist: Für |X|=n ist [mm] |P(X)|=2^n [/mm]
In Worten:Wenn X genau n Elemente hat, dann hat die Potenzmenge [mm] 2^n [/mm] Elemente.

Im Induktionsschritt musst du von n-> n+1 kommen, also was ist zuzeigen?
ZZ.: Für |X|=n+1 ist [mm] |P(X)|=2^{n+1} [/mm]

Unsere Menge X hat nun n+1 Elemente, also ein Element mehr als in der Induktionsvoraussetzung. Du teilst die Potenzmenge von X auf in die Menge der Potenzmengen die das (n+1)-te Element enthalten, und in jene die das (n+1)-te Element nicht enthalten.
Ich nenne, das (n+1)-te Element [mm] s_{n+1} [/mm]
[mm] |P(X)|=|\{S:S\subset X \wedge s_{n+1} \in S\} \cup \{S:S\subset X \wedge s_{n+1} \not\in S\}| [/mm]
Nun "zählst" du jeweils die Anzahl der Mengen, wobei dir die Induktionsvoraussetzung hilft.

Liebe Grüße,
sissi

Bezug
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