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| Aufgabe | | Prüfe auf Konvergenz: [mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel[2]{k²-1}} [/mm] |
Hallo,
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
Ich hab mal ne Frage zum obenstehenden.
Wenn ich die Aufgabe auf Konvergenz prüfe und ich benutze das Quotientenkriterium geht das für k->unendlich gegen 1 und somit ist das Quotkirt nicht zu benutzen oder?
Wenn ich dann versuche, das ganze so umzustellen, dass ich das Minorantenkriterium benutzen kann, bekomme ich ein Problem.
Am Ende steht dann da:
[mm] \bruch{1}{\wurzel[2]{1-\bruch{1}{k²}}}*\bruch{1}{k²}
[/mm]
somit vergleiche ich mit [mm] \bruch{1}{k²}, [/mm] welches gegen [mm] (1/6)*Pi^2 [/mm] konvergiert, und stelle fest, dass der koeffizient immer >=1 ist.
Das Minorantenkriterum besagt aber, dass
[mm] \bruch{1}{\wurzel[2]{1-\bruch{1}{k²}}}*\bruch{1}{k²} [/mm] <= [mm] \bruch{1}{k²} [/mm] sein müsste, damit es funktioniert...
Kann ich jetzt im Umkehrschluss sagen, dass es divergiert?? Oder muss ich es anders untersuchen. Wie würdet ihr an die Aufgabe rangehen??
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Mi 23.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Prüfe auf Konvergenz: [mm]\summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{\wurzel[2]{k²-1}}[/mm]
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> Hallo,
> (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.)
> Ich hab mal ne Frage zum obenstehenden.
> Wenn ich die Aufgabe auf Konvergenz prüfe und ich benutze
> das Quotientenkriterium geht das für k->unendlich gegen 1
> und somit ist das Quotkirt nicht zu benutzen oder?
> Wenn ich dann versuche, das ganze so umzustellen, dass ich
> das Minorantenkriterium benutzen kann, bekomme ich ein
> Problem.
> Am Ende steht dann da:
> [mm]\bruch{1}{\wurzel[2]{1-\bruch{1}{k²}}}*\bruch{1}{k²}[/mm]
> somit vergleiche ich mit [mm]\bruch{1}{k²},[/mm] welches gegen
> [mm](1/6)*Pi^2[/mm] konvergiert, und stelle fest, dass der
> koeffizient immer >=1 ist.
> Das Minorantenkriterum besagt aber, dass
> [mm]\bruch{1}{\wurzel[2]{1-\bruch{1}{k²}}}*\bruch{1}{k²}[/mm] <=
> [mm]\bruch{1}{k²}[/mm] sein müsste, damit es funktioniert...
> Kann ich jetzt im Umkehrschluss sagen, dass es
> divergiert?? Oder muss ich es anders untersuchen. Wie
> würdet ihr an die Aufgabe rangehen??
>
> Danke
Ziehe k (also Wurzel aus [mm] k^2) [/mm] aus der Wurzel raus.
Du erhälst [mm]\summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{k*\wurzel[2]{1-\bruch{1}{k^2}}[/mm].
Das kannst du mit [mm]\summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{k}[/mm] vergleichen.
Gruß Abakus
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oh mann bin ich blöd....
Ich hatte ja den richtigen weg, aber dann bin ich am Mathe der 7. Klasse gescheitert. Ich hab auch das k² aus der Wurzel gezogen aber dann blieb es als k² stehen und nicht als k.... Wieder ne Stunde meines Lebens vergeudet....
Danke dir!!
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