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endliche Körper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:48 Fr 09.04.2010
Autor: physicus

Hallo zusammen!
Ich habe mir gerade etwas über endliche Körper angeschaut und verstehe folgenden Isomorphismus nicht ganz:

Ich kann ja [mm] \IF_{4}[/mm] als Zerfällungskörper vom Polynom [mm] X^4-X [/mm] über [mm] \IF_{2}[/mm] auffassen.
Es gilt:

[mm] X^4-X = X(X-1)(X^2+X+1) [/mm]

wobei die Nullstellen von [mm] X, X-1[/mm] gerade die Elemente von [mm] \IF_{2}[/mm] sind. Ich könnte jetzt [mm] \IF_{2}[/mm] durch Adjunktion einer Nullstelle erweitern um so eine explizite Form für [mm] \IF_{4}[/mm] zu erhalten. Also so was: Sei [mm] \alpha[/mm] eine Nullstelle von [mm] X^2+X+1[/mm] dann gilt:

[mm]\IF_{4} = \IF_{2}(\alpha)[/mm]

Wieso aber gilt folgender Isomorphismus:

[mm] \IF_{4} \cong \IF_{2}[X]/(X^2+X+1)[/mm]

Ich weiss, dass [mm] X^2+X+1[/mm] irreduzibel über [mm] \IF_{2}[/mm] ist. Mir ist auch bewusst, dass es es unter gewiesen Umständen einen Isomorphismus geben kann, welcher einen K-Homomorphismus fortsetzt. Allerdings sind hier diese Bedingungen ja nicht gegeben. Wieso gilt also dieser Iso?
Ich danke euch für die Hilfe!  


        
Bezug
endliche Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:02 Fr 09.04.2010
Autor: Arralune

Nimm [mm]\IF_{4}=\IF_2[\alpha][/mm] als Beschreibung für den Körper [mm]\IF_4[/mm] und betrachte den Ringhomomorphismus
[mm]\varphi \colon \IF_2[X] \to \IF_2[\alpha]\;;\;X\mapsto\alpha[/mm].

Was ist der Kern von [mm]\varphi[/mm]. Wie erhältst du daraus den von dir gewünschten Isomorphismus?

Bezug
                
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endliche Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:12 Fr 09.04.2010
Autor: physicus

Ah ich seh's!

Der Kern ist das Polynom: [mm] X^2+X+1[/mm]. Dann krieg ich den Iso indem ich den Homomorphiesatz anwende. Oder?

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endliche Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:16 Fr 09.04.2010
Autor: Arralune

genau.

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endliche Körper: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:35 Fr 09.04.2010
Autor: physicus

Super danke!

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Bezug
endliche Körper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:24 Sa 10.04.2010
Autor: physicus

Ich habe das Gefühl, dass ich das ganze noch nicht so durchblicke:

[mm]\IF_{9}[/mm] können wir als Zerfällungskörper vom Polynom [mm] X^9-X [/mm] über [mm] \IF_{3}[/mm] auffassen.

[mm] X^9-X = X(X-1)(X+1)(X^2+1)(X^2+X-1)(X^2-X-1) [/mm]

über [mm] \IF_{3} [/mm] haben [mm] X(X-1)(X+1) [/mm] Nullstellen und [mm] (X^2+X-1) (X^2-X-1) [/mm] sind irreduzibel. Nun wenn ich jetzt einfach einen Zerfällungskörper konstruieren möchte, würde ich ja wie folgt vorgehen:

Ich wähle nun eines dieser 3 irreduziblen Polynome, sagen wir: [mm] X^2+1[/mm]. Dann bilde ich den Faktorring (ist ein Körper, da [mm] (X^2+1)[/mm] maximales Ideal ist):

[mm]\IF_{3}[X]/(X^2+1) [/mm]. Nach dem Verfahren von Kronecker hat [mm] X^2+1[/mm] eine Nullstelle, nämlich [mm] \pi{(X)} [/mm] wobei [mm] \pi [/mm] die kanonische Projektion ist. Ich würde dieses Verfahren solange wiederholen, bis die Polynome vollkommen zerfallen. Andererseits weiss ich dass ein Zerfällungskörper L gerade aus den Nullstellen meines Polynoms durch Adjunktion gebildet wird. Die Nullstellen der drei irreduziblen Polynome sind:

[mm] \alpha = i [/mm]
[mm] \beta = \bruch{1}{2}(-1- \wurzel{5}) [/mm]
[mm] \gamma = \bruch{1}{2}(1- \wurzel{5}) [/mm]

und natürlich jeweils noch [mm] -\alpha[/mm], [mm] -\beta[/mm], [mm] -\gamma[/mm]. Also würde folgendes Resultat folgen:

[mm]\IF_{9} \cong L = \IF_{3}(\alpha, \beta, \gamma) [/mm]

Angeblich gilt aber:

[mm]\IF_{9} \cong L' = \IF_{3}(\alpha)[/mm]

Aber wie kann das sein? Das würde ja bedeuten, dass ich [mm] \beta [/mm] und [mm] \gamma [/mm] in [mm] \IF_{3}(\alpha)[/mm] konstruieren könnte. Das kann ich doch aber nicht?

Genau das gleiche für [mm] \beta [/mm] und [mm] \gamma [/mm]. Am Schluss steht folgende Isomorphiekette:

[mm]\IF_{9} \cong \IF_{3}[X]/(X^2+1) \cong \IF_{3}[X]/(X^2+X-1) \cong \IF_{3}[X]/(X^2-X-1) [/mm]

und mit der Antwort auf die vorherige Frage würde das ja bedeuten:

[mm]\IF_{9} \cong \IF_{3}(\beta) \cong \IF_{3}(\gamma) [/mm]

Wo steckt mein Fehler?
Ich danke euch wirklich für eure Hilfe!

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endliche Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:57 So 11.04.2010
Autor: Arralune

Doch genau das kannst du. Es handelt sich hierbei um eine Besonderheit endlicher Körper.

Zunächst mal müssen wir uns die Nullstellen [mm]\beta[/mm] und [mm]\gamma[/mm] näher anschauen. Du hast da einen [mm]\sqrt{5}[/mm]-Faktor drinnen, was natürlich etwas seltsam ist, da es im [mm]\IF_3[/mm] gar keine [mm]5[/mm] gibt. Wir sollten deshalb besser direkt mit dem Polynom arbeiten, als mit dem Wurzelsymbol. (Das gleiche gilt für das [mm]i[/mm]: die Notation ist zwar möglich aber eher ungewöhnlich, da [mm]i[/mm] eben eine komplexe Zahl ist.)

Die Elemente aus [mm]\IF_3[\alpha[/mm] haben die Form [mm]a+b\cdot \alpha[/mm] und es gilt [mm](a+b\alpha)+(c+d\alpha)=(a+c)+(b+d)\alpha[/mm] sowie [mm](a+b\alpha)\cdot(c+d\alpha)=(ac-bd)+(ad+bc)\alpha[/mm]. Mit ein bisschen Rumprobieren findet man: [mm]1+\alpha[/mm] und [mm]1+2\alpha[/mm] sind die Nullstellen von [mm]X^2+X-1[/mm] und auch die [mm]\gamma[/mm] kann man finden.

Der Witz liegt hierbei in der Endlichkeit der ganzen Geschichte: [mm]\IF_3[\alpha][/mm] hat 9 Elemente. Die multiplikative Gruppe hat also [mm]8[/mm] Elemente, die multiplikative Ordnung jedes Elements ist also ein Teiler von 8. Das heißt aber, dass jedes Element, außer 0, Nullstelle des Polynoms [mm]X^8-1[/mm] ist und damit jedes Element Nullstelle von [mm]X^9-X[/mm] ist. Also zerfällt [mm]X^9-X[/mm] bereits in diesem Schritt.

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endliche Körper: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:50 So 11.04.2010
Autor: physicus

Hallo Arralune!

Du hilfst mir wirklich weiter! Danke für deine Bemühungen. Zu 100% versteh ich deinen Eintrag allerdings noch nicht:

1. [mm] \IF_{9}^{\*} = \IZ_{8} [/mm] welcher 8 Elemente hat, alle ausser der 0.


> Der Witz liegt hierbei in der Endlichkeit der ganzen
> Geschichte: [mm]X^9-X[/mm] hat 9 Nullstellen und [mm]\IF_3[\alpha][/mm] hat 9
> Elemente. Die multiplikative Gruppe hat also [mm]8[/mm] Elemente,
> die multiplikative Ordnung jedes Elements ist also ein
> Teiler von 8. Das heißt aber, dass jedes Element außer 0
> Nullstelle des Polynoms [mm]X^8-1[/mm] ist und damit jedes Element
> Nullstelle von [mm]X^9-X[/mm] ist. Also zerfällt [mm]X^9-X[/mm] bereits in
> diesem Schritt.

Damit meinst du doch nur, dass das Polynom [mm] X^9-X [/mm] über [mm]\IF_{9}[/mm] keine mehrfachen Wurzeln hat. (das braucht man ja auch im Beweis des Klassifikationssatzes über endliche Körper).
Jetzt zu meinem grössten Problem deines Artikels:

[mm] \IF_{3}[\alpha] [/mm] hat 9 Elemente, aber das reicht ja noch nicht aus, dass ich sagen kann, dass es gleich [mm] \IF_{9} [/mm]. Über den Klassifikationsatz von endlichen Körper erhalte ich, dass [mm] \IF_{9} [/mm] Zerfällungskörper des Polynoms [mm] X^9-X [/mm] über [mm] \IF_{3} [/mm] ist. Jetzt müsst ich doch zeigen, dass in [mm] \IF_{3}[\alpha] [/mm] die Nullstellen [mm] \beta[/mm] und [mm] \gamma [/mm] liegen. Dann wäre nämlich [mm] \IF_{3}[\alpha] [/mm] ebenfalls ein Zerfällungskörper des Polynoms mit 9 Elementen und somit (wieder nach Klassifikationssatz über endliche Körper) isomorph zu [mm] \IF_{9} [/mm].
Dass [mm] 1+\alpha [/mm] und [mm] 1+2\alpha [/mm] Nullstellen von [mm] X^2+X-1 [/mm] liegt in folgender Rechnung, oder:

[mm] (1+\alpha)^2+1+\alpha -1 = 1+2\alpha+\alpha^2+\alpha = 3\alpha [/mm]. Naja und 3 ist in [mm] \IF_{3} [/mm] ja Null. Also ist dein [mm] \beta= 1+\alpha [/mm] und [mm] -\beta = 1+2\alpha[/mm]. Dann machst du gleiches für für [mm] \gamma [/mm] und erhälst, dass man gamma auch als [mm] \alpha [/mm] darstellen kann. Richtig?

Entschuldige, wenn ich ein gerade auf dem Schlauch stehe. Vielleicht seh ich auch vor lauter Bäumen den Wald nicht mehr! Ich danke dir jedenfalls für deine Hilfe!

Bezug
                                                                
Bezug
endliche Körper: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:07 Mo 12.04.2010
Autor: SEcki


> > Der Witz liegt hierbei in der Endlichkeit der ganzen
> > Geschichte: [mm]X^9-X[/mm] hat 9 Nullstellen und [mm]\IF_3[\alpha][/mm] hat 9
> > Elemente. Die multiplikative Gruppe hat also [mm]8[/mm] Elemente,
> > die multiplikative Ordnung jedes Elements ist also ein
> > Teiler von 8. Das heißt aber, dass jedes Element außer 0
> > Nullstelle des Polynoms [mm]X^8-1[/mm] ist und damit jedes Element
> > Nullstelle von [mm]X^9-X[/mm] ist. Also zerfällt [mm]X^9-X[/mm] bereits in
> > diesem Schritt.
>
> Damit meinst du doch nur, dass das Polynom [mm]X^9-X[/mm] über
> [mm]\IF_{9}[/mm] keine mehrfachen Wurzeln hat.

Nein - oben steht (klar und deutlich): [m]\IF_3[\alpha][/m] ist Zerfällungskörper von [m]X^9-X[/m]

> [mm]\IF_{3}[\alpha][/mm] hat 9 Elemente, aber das reicht ja noch
> nicht aus, dass ich sagen kann, dass es gleich [mm]\IF_{9} [/mm].

1. Was heißt bei dir gleich?

2. Aus 9 Elementen folgt (Klassifikationssatz), dass es [m]\IF_9[/m] ist.

> Über den Klassifikationsatz von endlichen Körper erhalte
> ich, dass [mm]\IF_{9}[/mm] Zerfällungskörper des Polynoms [mm]X^9-X[/mm]
> über [mm]\IF_{3}[/mm] ist. Jetzt müsst ich doch zeigen, dass in
> [mm]\IF_{3}[\alpha][/mm] die Nullstellen [mm]\beta[/mm] und [mm]\gamma[/mm] liegen.

Mühsam, aber machbar.

> Dann wäre nämlich [mm]\IF_{3}[\alpha][/mm] ebenfalls ein
> Zerfällungskörper des Polynoms mit 9 Elementen und somit
> (wieder nach Klassifikationssatz über endliche Körper)
> isomorph zu [mm]\IF_{9} [/mm].

Jeder Körper mit 9 Elementen ist Zerfällungskörper von [m]X^9-X[/m] - das ist der Punkt.

SEcki

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