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Polynomdivision Potenzreihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:08 Do 08.04.2010
Autor: MontBlanc

Aufgabe
Ermitteln Sie die Potenzreihenentwicklung von tan(x) durch Polynomdivision der Potenzreihen von sin(x) und cos(x).

Hallo,

ich zweifle gerade an meinem Verstand. Ich kriege es einfach nicht auf die Reihe diese Polynomdivision durchzuführen, also:

sin(x):cos(x)=tan(x)

[mm] \left(x-\bruch{x^3}{3!}+\bruch{x^5}{5!}-...\right):\left(1-\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^4}{4!}-...\right) [/mm]

Gut ich würde jetzt normalerweise anfangen ddie höchste Potenz von x zu teilen, also eigentlich [mm] \bruch{x^5}{5!}:\bruch{x^4}{4!} [/mm] dann rückmultiplizieren und abziehen.
In dem mir vorliegenden Buch machen Sie das aber irgendwie anders, es schaut aus, als ob sie zuerst durch 1 dividieren, dann steht dort:

[mm] \left(x-\bruch{x^3}{3!}+\bruch{x^5}{5!}-...\right):\left(1-\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^4}{4!}-...\right)=x+\bruch{x^3}{3}+\bruch{2}{15}*x^5 [/mm]
[mm] -\left(x-\bruch{x^3}{2!}+\bruch{x^5}{4!}\right) [/mm]
_______________
    [mm] \bruch{x^3}{3}-\bruch{x^5}{30} [/mm]
   [mm] -\left(\bruch{x^3}{3}-\bruch{x^5}{6}\right) [/mm]
     _______________
        [mm] \bruch{2}{15}*x^5..., [/mm] etc.

Was haben die da gemacht ? Ich kriegs selbst nicht hin. Was passiert nach der ersten Division durch 1 ? ich komme noch auf [mm] \bruch{x^3}{3}-\bruch{x^5}{30} [/mm] danach gehts nicht mehr... Ich hätte dort normalerweise durch [mm] x^4 [/mm] dividiert, aber das scheint falsch zu sein...

Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte... Ich verzweifle gerade ein wenig.

LG

        
Bezug
Polynomdivision Potenzreihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:09 Do 08.04.2010
Autor: Fawkes

Hi,

> [mm]\bruch{x^5}{5!}:\bruch{x^4}{4!}[/mm] dann rückmultiplizieren
> und abziehen.

was man bei Polynomdivision nicht immer machen muss, ist direkt mit dem höchsten Exponenten anzufangen. Beginne am besten immer am Anfang.
Hier ist der Anfang als x so wie es in der Lösung schon richtig gemacht wurde...

>  In dem mir vorliegenden Buch machen Sie das aber irgendwie
> anders, es schaut aus, als ob sie zuerst durch 1
> dividieren, dann steht dort:

wieso durch 1?
Gehen wir die Rechnung am besten mal Schrittweise durch:

[mm] \left(x-\bruch{x^3}{3!}+\bruch{x^5}{5!}-...\right):\left(1-\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^4}{4!}-...\right)=x+\bruch{x^3}{3}+\bruch{2}{15}*x^5 [/mm]
[mm] -\left(x-\bruch{x^3}{2!}+\bruch{x^5}{4!}\right) [/mm] (*)
  _______________
    [mm] \bruch{x^3}{3}-\bruch{x^5}{30} [/mm] (**)
   [mm] -\left(\bruch{x^3}{3}-\bruch{x^5}{6}\right) [/mm] (***)
       _______________
     [mm] \bruch{2}{15}*x^5..., [/mm] etc. (****)

(*) Folgt aus [mm] \left(1-\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^4}{4!}-...\right)*x=\left(x-\bruch{x^3}{2!}+\bruch{x^5}{4!}\right) [/mm]

(**) Folgt aus [mm] \left(x-\bruch{x^3}{3!}+\bruch{x^5}{5!}-...\right)-\left(x-\bruch{x^3}{2!}+\bruch{x^5}{4!}\right)=\left(x-x-\bruch{x^3}{3!}+\bruch{x^3}{2!}+\bruch{x^5}{5!}-\bruch{x^5}{4!}-...\right) [/mm]
[mm] =\left(x^3(-\bruch{1}{1*2*3}+\bruch{1}{1*2})+\bruch{x^5}{5!}-\bruch{x^5}{4!}-...\right)=\left(x^3(-\bruch{1}{1*2*3}+\bruch{3}{1*2*3})+\bruch{x^5}{5!}-\bruch{x^5}{4!}-...\right) [/mm]
[mm] =\left(x^3(\bruch{3-1}{1*2*3})+\bruch{x^5}{5!}-\bruch{x^5}{4!}-...\right)=\left(x^3(\bruch{2}{1*2*3})+\bruch{x^5}{5!}-\bruch{x^5}{4!}-...\right) [/mm]
[mm] =\left(x^3(\bruch{1}{3})+\bruch{x^5}{5!}-\bruch{x^5}{4!}-...\right)=\left((\bruch{x^3}{3})+\bruch{x^5}{5!}-\bruch{x^5}{4!}-...\right)=...=\bruch{x^3}{3}-\bruch{x^5}{30} [/mm]
Für die ... musst du das ganze für [mm] x^5 [/mm] dann noch einmal genau nach dem Schema für [mm] x^3 [/mm] machen und schon hast du das gewünschte.

(***) Folgt aus [mm] \left(1-\bruch{x^2}{2!}+\bruch{x^4}{4!}-...\right)*\bruch{x^3}{3}=\left(\bruch{x^3}{3}-\bruch{x^5}{6}\right) [/mm]

Jetzt genauso wie bei (**) verfahren und schon folgt (****)


> Was haben die da gemacht ? Ich kriegs selbst nicht hin. Was
> passiert nach der ersten Division durch 1 ? ich komme noch
> auf [mm]\bruch{x^3}{3}-\bruch{x^5}{30}[/mm] danach gehts nicht
> mehr... Ich hätte dort normalerweise durch [mm]x^4[/mm] dividiert,
> aber das scheint falsch zu sein...
>  
> Wäre super, wenn mir jemand helfen könnte... Ich
> verzweifle gerade ein wenig.
>  
> LG

Gruß Fawkes

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