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Lineare Abbildungen: Aufgabe 4
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:59 Mi 11.01.2017
Autor: Selman

Aufgabe
Wir wissen bereits, dass die Abbildung

f : [mm] \IC \to \IC [/mm]
mit
a + bi [mm] \mapsto [/mm] a−bi

[mm] \IR-linear [/mm] ist (also eine lineare Abbildung, wenn wir [mm] \IC [/mm] als [mm] \IR-Vektorraum [/mm] auffassen).

-Waehlen Sie Basen B und B' von [mm] \IC [/mm] (als [mm] \IR-Vektorraum) [/mm] und bestimmen Sie  
M B,B'(f).

-Begruenden Sie, warum f ein Isomorphismus ist



Kann mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen, besonders bei der zweiten Aufgabe. Kann mir vielleicht jemand erklären was ein Isomorphismus ist und dementsprechend auch wieso f ein Isomorphismus ist erklären?

Ich danke im voraus
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Lineare Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:58 Do 12.01.2017
Autor: angela.h.b.


> Wir wissen bereits, dass die Abbildung

>

> f : [mm]\IC \to \IC[/mm]
> mit
> a + bi [mm]\mapsto[/mm] a−bi

>

> [mm]\IR-linear[/mm] ist (also eine lineare Abbildung, wenn wir [mm]\IC[/mm]
> als [mm]\IR-Vektorraum[/mm] auffassen).

Hallo,

[willkommenmr].

Die Abbildung f bildet also jede komplexe Zahl auf die konjugiert-komplexe ab.

>

> -Waehlen Sie Basen B und B' von [mm]\IC[/mm] (als [mm]\IR-Vektorraum)[/mm]

[mm] \IC [/mm] als VR über [mm] \IR [/mm] hat die Dimension 2.
Als Basis des Startraumes könnte man B:=(1,i) verwenden,
und da der Zielraum derselbe ist, kannst Du hier ebenfalls B':=(1,i) verwenden.

> und bestimmen Sie
> M B,B'(f).

Hierzu mußt Du nun die Bilder der beiden Basisvektoren von B bestimmen, also f(1) und f(i) und sie als Koordinatenvektor bzgl. B' schreiben.
Diese Koordinatenvektoren sind die Spalten der gesuchten Matrix.

>

> -Begruenden Sie, warum f ein Isomorphismus ist

>
>

> Kann mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen, besonders
> bei der zweiten Aufgabe. Kann mir vielleicht jemand
> erklären was ein Isomorphismus ist und dementsprechend
> auch wieso f ein Isomorphismus ist erklären?

Für die Beantwortung Frage, was ein Isomorphismus ist, bist eigentlich Du selbst zuständig, nämlich durch Nachschlagen in Deiner Mitschrift, in einem schlauen Buch - oder halt im Internet. So geht studieren...
Aber ich sage es Dir trotzdem:
eine lineare Abbildung heißt Isomorphismus, wenn sie injektiv und surjektiv ist.
Dies mußt Du also prüfen.

(Vielleicht hattet Ihr aber auch dieses: eine lineare Abbildung zwischen zwei Vektorräumen der Dimension n ist ein Isomorphismus, wenn ihre Darstellungsmatrix den Rang n hat.)

LG Angela


>

> Ich danke im voraus
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

>

Bezug
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