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Einfacher Ausdruck Reihe: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:40 So 08.01.2017
Autor: maria1994

Aufgabe
Bestimmen Sie bitte einen einfachen Ausdruck für [mm] \summe_{k=n}^{2n} \bruch{1}{2^{k}} [/mm]

Mein einfacher Ausdruck lautet [mm] Sn=\bruch{1}{2^{n}} \bruch{1-0,5^n}{1-0,5^n} [/mm]

Ich habe das über die geometrische Reihe gebildet. Ist die Lösung so richtig?

Was wäre wenn die Aufgabenstellung [mm] \summe_{k=n}^{2n} \bruch{1}{2^{k+1}} [/mm] lauten würde, wäre das dann nicht das gleiche Ergebnis?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Danke!

        
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Einfacher Ausdruck Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:53 So 08.01.2017
Autor: hippias


> Bestimmen Sie bitte einen einfachen Ausdruck für
> [mm]\summe_{k=n}^{2n} \bruch{1}{2^{k}}[/mm]
>  Mein einfacher Ausdruck
> lautet [mm]Sn=\bruch{1}{2^{n}} \bruch{1-0,5^n}{1-0,5^n}[/mm]
>  
> Ich habe das über die geometrische Reihe gebildet. Ist die
> Lösung so richtig?

Nein, sie ist nicht richtig. Aber ich vermute, dass Dir nur Schreibfehler unterlaufen sind.

>
> Was wäre wenn die Aufgabenstellung [mm]\summe_{k=n}^{2n} \bruch{1}{2^{k+1}}[/mm]
> lauten würde, wäre das dann nicht das gleiche Ergebnis?

Wiederum: nein. Es gilt nämlich [mm] $\summe_{k=n}^{2n} \bruch{1}{2^{k+1}}= \frac{1}{2}\summe_{k=n}^{2n} \bruch{1}{2^{k}}= \frac{1}{2}\cdot$ [/mm] das gesuchte Ergebnis.

>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>  
> Danke!


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Einfacher Ausdruck Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:02 So 08.01.2017
Autor: maria1994

Kannst du mir erklären was der Fehler ist oder wie der richtige Lösungsweg aussieht?

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Einfacher Ausdruck Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:09 So 08.01.2017
Autor: Diophant

Hallo,

ich gehe einmal davon aus, dass dir die geometrische Reihe soweit vertraut ist?

Wenn [mm] S_n [/mm] die n. Partialsumme einer solchen geometrischen Reihe ist (und die Darstellung von [mm] S_n [/mm] setzte ich als bekannt voraus), dann gilt doch schlicht und einfach:

[mm] \sum_{k=n}^{2n}q^n=S_{2n}-S_{n-1} [/mm]

Das musst du auf deine Reihe anwenden. Deine Zusatzvermutung hat hippias ja bereits widerlegt (und an seiner Rechnung siehst du auch, wie du da vorgehen musst, falls dies Teil einer Übungaufgabe ist).


Gruß, Diophant

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Einfacher Ausdruck Reihe: Lösungsweg
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:51 Mi 11.01.2017
Autor: maria1994

Hallo liebe Mitglieder,

könnt Ihr mir vllt die Lösung Schritt für Schritt erklären und mir zeigen, ich habe es selber nicht geschafft.

Grüße und danke für eure Hilfe

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Einfacher Ausdruck Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:17 Mi 11.01.2017
Autor: chrisno

Berechne
a = $ [mm] \summe_{k=0}^{2n} \bruch{1}{2^{k}} [/mm] $
und
b = $ [mm] \summe_{k=0}^{n-1} \bruch{1}{2^{k}} [/mm] $

Wenn Du a berechnest, dann hast Du mehr Glieder in der Summe, als bei
$ [mm] \summe_{k=n}^{2n} \bruch{1}{2^{k}} [/mm] $

Diese musst Du alle wieder subtrahieren. Dafür wird die Summe b berechnet.


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Einfacher Ausdruck Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:57 Do 12.01.2017
Autor: X3nion

>Hallo liebe Mitglieder,

> könnt Ihr mir vllt die Lösung Schritt für Schritt erklären und mir zeigen, ich
> habe es selber nicht geschafft.

Hallo maria1994 und [willkommenmr]

Das beste wäre, wenn du deinen Lösungsweg posten würdest, denn dann können wir diesen Schritt für Schritt durchgehen und überprüfen ;-)


Ein kleiner Trick noch zur geometrischen Reihe, den du dir unbedingt merken solltest, solltest du ihn noch nicht kennen: Es ist [mm] \frac{1}{2^{k}} [/mm] = [mm] \frac{1^{k}}{2^{k}}, [/mm] und daraus ergibt sich dann durch Anwendung der Potenzgesetze ein Ausdruck innerhalb der Summe, sodass du die geometrische Reihe anwenden kannst.

Von den beiden von hippias definierten Ausdrücken a = [mm] \summe_{k=0}^{2n} \bruch{1}{2^{k}} [/mm] und b = [mm] \summe_{k=0}^{n-1} \bruch{1}{2^{k}} [/mm] kannst du nach Umformen von [mm] \frac{1}{2^{k}} [/mm] sofort mittels der geometrischen Reihe deren Wert berechnen, denn beide Summen beginnen mit k=0 und enden mit natürlichen Zahlen (so wie die geometrische Reihe eben). Nur dass halt einmal 2n und einmal n-1 der höchste Index ist, aber das stört die geometrische Reihe ja nicht, die ja mit allen natürlichen Zahlen arbeiten möchte :-)

Viele Grüße,
X3nion

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Einfacher Ausdruck Reihe: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:17 So 15.01.2017
Autor: maria1994


[mm] \bruch{1-0,5^{2n+1}}{1-0,5} [/mm] - [mm] \bruch{1-0,5^n}{1-0,5} [/mm]

Passt die Lösung so? Ich habe nämlich andere Indizes raus :/

Bezug
                
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Einfacher Ausdruck Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:32 So 15.01.2017
Autor: Diophant

Hallo,

>

> [mm]\bruch{1-0,5^{2n+1}}{1-0,5}[/mm] - [mm]\bruch{1-0,5^n}{1-0,5}[/mm]

>

> Passt die Lösung so? Ich habe nämlich andere Indizes raus
> :/

Nein. Ja (Sorry, ich hatte mich verlesen). Es ist

[mm] \sum_{k=n}^{2n} \frac{1}{2^k}=\sum_{k=n}^{2n} \left(\frac{1}{2}\right)^k= \sum_{k=0}^{2n}\left(\frac{1}{2}\right)^k- \sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{2}\right)^k= \frac{1- \frac{1}{2^{2n+1}}}{ \frac{1}{2}}-\frac{1- \frac{1}{2^{n}}}{ \frac{1}{2}}=2*\left(1- \frac{1}{2^{2n+1}}-1+ \frac{1}{2^{n}}\right)= \frac{1}{2^{n-1}}- \frac{1}{2^{2n}} [/mm]


Gruß, Diophant

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Einfacher Ausdruck Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:56 So 15.01.2017
Autor: X3nion

[mm] \sum_{k=n}^{2n} \frac{1}{2^k}=\sum_{k=n}^{2n} \left(\frac{1}{2}\right)^k= \sum_{k=0}^{2n}\left(\frac{1}{2}\right)^k- \sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{1}{2}\right)^k= \frac{1- \frac{1}{2^{2n+1}}}{ \frac{1}{2}}-\frac{1- \frac{1}{2^{n}}}{ \frac{1}{2}}=2*\left(1- \frac{1}{2^{2n+1}}-1+ \frac{1}{2^{n}}\right)= \frac{1}{2^{n-1}}- \frac{1}{2^{2n}} [/mm]


Hallo maria1994,

die Schreibweise von Diophant ist nur eine leicht andere, dein Ausdruck stimmt, denn [mm] \bruch{1-0,5^{2n+1}}{1-0,5} [/mm] - [mm] \bruch{1-0,5^n}{1-0,5} [/mm] = [mm] \frac{1- \frac{1}{2^{2n+1}}}{ \frac{1}{2}}-\frac{1- \frac{1}{2^{n}}}{ \frac{1}{2}}. [/mm]

Zur Übung könntest du dir noch klarmachen, wieso die Gleichheit gilt, denn Potenzgesetze braucht man oft bei Reihen :-)

Schlussendlich kann man dann den Ausdruck

[mm] \frac{1- \frac{1}{2^{2n+1}}}{ \frac{1}{2}}-\frac{1- \frac{1}{2^{n}}}{ \frac{1}{2}} [/mm]

noch elegant vereinfachen zu

[mm] \frac{1}{2^{n-1}}- \frac{1}{2^{2n}} [/mm]

so wie Diophant es gemacht hat.

Viele Grüße,
X3nion

Bezug
                        
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Einfacher Ausdruck Reihe: Danksagung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:09 So 15.01.2017
Autor: maria1994

Vielen Dank für die Hilfe!

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