www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Folgen und Reihen" - Alternierende Reihe
Alternierende Reihe < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Alternierende Reihe: Konvergenz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:28 Do 08.04.2010
Autor: Pacapear

Hallo zusammen!

Ich habe hier folgende Reihe: [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^n [/mm]

Das ist doch eine alternierende Reihe, oder?

[mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^n=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^n*1=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^n*a_n [/mm] mit [mm] a_n=1 [/mm] für alle n.

Diese Reihe soll nicht konvergieren.

Ich weiß nicht wie ich das zeigen soll.

Oft wendet man ja bei alternierenden Reihen das Leibnitz-Kriterium an, aber [mm] (a_n)=(1) [/mm] ist ja keine monoton fallende reelle Nullfolge, also kann ich das nicht benutzen, oder?

Oder divergiert eine gegebene alternierende Reihe, wenn [mm] (a_n) [/mm] keine monoton fallende reelle Nullfolge ist?

Ich hab auch mal das Quotientenkriterium versucht, aber da komme ich nur auf 1, also kann ich keine Aussage machen.

Wie kann ich sonst die Konvergenz dieser Reihe prüfen?

LG Nadine

        
Bezug
Alternierende Reihe: notwendiges Kriterium
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:31 Do 08.04.2010
Autor: Roadrunner

Hallo Nadine!


Es ist für die Reihenkonvergenz ein notwendiges Kriterium, dass [mm] $a_n$ [/mm] eine Nullfolge ist.

Ist dies für Deine Reihe erfüllt? Wenn nicht, folgt daraus unmittelbar die Divergenz.


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                
Bezug
Alternierende Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:53 Do 08.04.2010
Autor: Pacapear

Hallo Roadrunner!



> Es ist für die Reihenkonvergenz ein notwendiges Kriterium,
> dass [mm]a_n[/mm] eine Nullfolge ist.

Achso, also wenn eine Reihe konvergiert, dann muss die zugrunde liegende Reihe auf jeden Fall eine Nullfolge sein?

Also meine Reihe ist ja $ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^n=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^n\cdot{}1=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^n\cdot{}a_n [/mm] $.

Muss ich jetzt nur [mm] (a_n)=(1) [/mm] betrachten, oder auch noch das [mm] (-1)^n? [/mm]



> Ist dies für Deine Reihe erfüllt? Wenn nicht, folgt
> daraus unmittelbar die Divergenz.

Also [mm] (a_n)=(1) [/mm] ist keine Nullfolge.

Also divergiert die Reihe.

Richtig so?



LG Nadine

Bezug
                        
Bezug
Alternierende Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:59 Do 08.04.2010
Autor: Leopold_Gast

Ich finde es völlig unangemessen, mit solch scharfen Geschützen auf diese harmlose Reihe loszugehen. Wieso schaust du dir nicht einfach die Partialsummen an. Das sagt doch schon alles ...

Bezug
                        
Bezug
Alternierende Reihe: kleine Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:11 Do 08.04.2010
Autor: Roadrunner

Hallo Nadine!


> Achso, also wenn eine Reihe konvergiert, dann muss die
> zugrunde liegende Reihe Folge auf jeden Fall eine Nullfolge sein?

Siehe meine Korrektur im Text.

  

> Also meine Reihe ist ja
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^n=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^n\cdot{}1=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^n\cdot{}a_n [/mm].
>  
> Muss ich jetzt nur [mm](a_n)=(1)[/mm] betrachten, oder auch noch das
> [mm](-1)^n?[/mm]

Beides zusammen.
  

> Also [mm](a_n)=(1)[/mm] ist keine Nullfolge.
>  
> Also divergiert die Reihe.
>  
> Richtig so?

[ok]


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                                
Bezug
Alternierende Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:55 Do 08.04.2010
Autor: Pacapear

Hallo Roadrunner!

> > Also meine Reihe ist ja
> >
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^n=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^n\cdot{}1=\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^n\cdot{}a_n [/mm].
> >  

> > Muss ich jetzt nur [mm](a_n)=(1)[/mm] betrachten, oder auch noch das
> > [mm](-1)^n?[/mm]

> Beides zusammen.

> > Also [mm](a_n)=(1)[/mm] ist keine Nullfolge.
> >  

> > Also divergiert die Reihe.
> >  

> > Richtig so?

> [ok]

Das versteh ich jetzt nicht so ganz.

Erst sagst du, ich muss sowohl das [mm](a_n)=(1)[/mm] als auch das [mm] (-1)^n [/mm] für die Nullfolge betrachten.

Und unten, wo ich nur [mm](a_n)=(1)[/mm] betrachte, sagst du, es sei richtig.

[haee]

Also eine alternierende Reihe ist ja von der Form [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n*a_n. [/mm]

Was ist nun die Folge, die der Reihe zugrunde liegt?

Ist es [mm] (-1)^n*a_n [/mm] oder ist es nur [mm] a_n [/mm] ?

Weil eigentlich ist doch [mm] a_n [/mm] immer die Folgenvorschrift...

LG Nadine


Bezug
                                        
Bezug
Alternierende Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:00 Do 08.04.2010
Autor: angela.h.b.


> Also eine alternierende Reihe ist ja von der Form
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n*a_n.[/mm]
>  
> Was ist nun die Folge, die der Reihe zugrunde liegt?
>  
> Ist es [mm](-1)^n*a_n[/mm] oder ist es nur [mm]a_n[/mm] ?
>  
> Weil eigentlich ist doch [mm]a_n[/mm] immer die Folgenvorschrift...

Hallo,

die der Reihe zugrundeliegende Folge ist [mm] (-1)^na_n. [/mm]

Du hast allerdings erkannt, daß die Reihe alternierend ist, und die der alternierenden Reihe [mm] \summe(-1)^na_n [/mm] zugrundeliegende Folge ist [mm] a_n. [/mm]

Und nach dem Leibnizkriterium mußt Du nun die Reihe [mm] a_n [/mm] einer genaueren Untersuchung unterziehen.

Gruß v. Angela






Bezug
                                                
Bezug
Alternierende Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:08 Fr 09.04.2010
Autor: Pacapear

Hallo Angela!



> die der Reihe zugrundeliegende Folge ist [mm](-1)^na_n.[/mm]

Alles klar.



> Du hast allerdings erkannt, daß die Reihe alternierend
> ist, und die der alternierenden Reihe zugrundeliegende
> Folge ist [mm]\summe(-1)^na_n.[/mm]

Äh....

Wieso ist die der alternierenden Reihe zugrundeliegende Folge plötzlich die alternierende Reihe selbst [haee]



> Und nach dem Leibnizkriterium mußt Du nun die Reihe [mm]a_n[/mm]
> einer genaueren Untersuchung unterziehen.

Leibnitz-Kriterium hab ich doch in meiner ersten Frage versucht, aber das ging ja nicht...



Zu dem Ansatz von Roadrunner:

Ich will prüfen, ob die der Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n*1 [/mm] zugrunde liegende Folge eine Nullfolge ist.

Was ist die der Reihe zugrunde liegende Folge?

Ist es [mm] (-1)^n*1 [/mm] ?

Oder ist es nur 1?

Beides sind keine Nullfolgen, die eine ist und bleibt 1, die andere wechselt zwischen 0 und 1, von daher wärs egal.

Aber wissen würd ichs trotzdem gern, denn dieses Prinzip lässt sich ja bestimmt öfters anwenden.



LG Nadine

Bezug
                                                        
Bezug
Alternierende Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:15 Fr 09.04.2010
Autor: angela.h.b.


> Hallo Angela!
>  
>
>
> > die der Reihe zugrundeliegende Folge ist [mm](-1)^na_n.[/mm]
>  
> Alles klar.
>  
>
>
> > Du hast allerdings erkannt, daß die Reihe [mm] \summe (-1)^na_n [/mm] alternierend
> > ist, und die der alternierenden Reihe zugrundeliegende
> > Folge ist [mm]\red{a_n}.[/mm]
>  
> Äh....
>
> Wieso ist die der alternierenden Reihe zugrundeliegende
> Folge plötzlich die alternierende Reihe selbst [haee]

Ist korrigiert, das sollte natürlich [mm] a_n [/mm] heißen.

>  
>
>
> > Und nach dem Leibnizkriterium mußt Du nun die Reihe [mm]a_n[/mm]
> > einer genaueren Untersuchung unterziehen.
>  
> Leibnitz-Kriterium hab ich doch in meiner ersten Frage
> versucht, aber das ging ja nicht...

Ich habe mich auf keine konkrete Folge bezogen.

>  
>
>
> Zu dem Ansatz von Roadrunner:
>  
> Ich will prüfen, ob die der Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n*1[/mm] zugrunde liegende Folge eine
> Nullfolge ist.
>  
> Was ist die der Reihe zugrunde liegende Folge?
>  
> Ist es [mm](-1)^n*1[/mm] ?
>  
> Oder ist es nur 1?
>  
> Beides sind keine Nullfolgen, die eine ist und bleibt 1,
> die andere wechselt zwischen 0 und 1, von daher wärs
> egal.
>  
> Aber wissen würd ichs trotzdem gern, denn dieses Prinzip
> lässt sich ja bestimmt öfters anwenden.

Du versteigst Dich gerade in absolute Nebensächlichkeiten.

Wirklich entscheidend ist, daß Du das Trivialkriterium kennen mußt:

[mm] \summe b_n [/mm] konvergiert ==> [mm] b_n [/mm] ist Nullfolge.

(Das ist ja auch so ziemlich das erste, was man über die Konvergenz von Reihen lernt.)

Darauf kommt es an, und das ist das Kriterium, welches hier verwendet wird.

Und wie Du selbst merkst, sind

[mm] "(-1)^na_n [/mm] ist Nullfolge" und [mm] "a_n [/mm] ist Nullfolge" äquivalente Aussagen, also ist es völlig schnuppe, was Du nun nimmst.

Gruß v. Angela

>  
>
>
> LG Nadine


Bezug
                                                        
Bezug
Alternierende Reihe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:59 Fr 09.04.2010
Autor: abakus


> Hallo Angela!
>  
>
>
> > die der Reihe zugrundeliegende Folge ist [mm](-1)^na_n.[/mm]
>  
> Alles klar.
>  
>
>
> > Du hast allerdings erkannt, daß die Reihe alternierend
> > ist, und die der alternierenden Reihe zugrundeliegende
> > Folge ist [mm]\summe(-1)^na_n.[/mm]
>  
> Äh....
>
> Wieso ist die der alternierenden Reihe zugrundeliegende
> Folge plötzlich die alternierende Reihe selbst [haee]
>  
>
>
> > Und nach dem Leibnizkriterium mußt Du nun die Reihe [mm]a_n[/mm]
> > einer genaueren Untersuchung unterziehen.
>  
> Leibnitz-Kriterium hab ich doch in meiner ersten Frage
> versucht, aber das ging ja nicht...
>  
>
>
> Zu dem Ansatz von Roadrunner:
>  
> Ich will prüfen, ob die der Reihe
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n*1[/mm] zugrunde liegende Folge eine
> Nullfolge ist.
>  
> Was ist die der Reihe zugrunde liegende Folge?
>  
> Ist es [mm](-1)^n*1[/mm] ?
>  
> Oder ist es nur 1?
>  
> Beides sind keine Nullfolgen, die eine ist und bleibt 1,
> die andere wechselt zwischen 0 und 1, von daher wärs
> egal.
>  
> Aber wissen würd ichs trotzdem gern, denn dieses Prinzip
> lässt sich ja bestimmt öfters anwenden.
>  
>
>
> LG Nadine

Hallo,
die Partialsummenfolge  [mm](\summe_{k=1}^{n}(-1)^n*1)[/mm] besitzt zwei Häufungspunkte.
[mm] s_1=-1 [/mm]
[mm] s_2=-1+1=0 [/mm]
[mm] s_3=-1+1-1=-1 [/mm]
[mm] s_4=-1+1-1+1=0 [/mm]
...
Damit kann sie nicht konvergieren.
Gruß Abakus


Bezug
                                                                
Bezug
Alternierende Reihe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:41 Fr 09.04.2010
Autor: Pacapear

Hallo zusammen!

Alles klar, ich denke, ich habs verstanden :)

LG Nadine

Bezug
        
Bezug
Alternierende Reihe: Doch noch eine Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:17 Fr 09.04.2010
Autor: Pacapear

Hallo zusammen!

Ich hab doch noch eine kurze Frage.

In meinem Buch ist folgende Reihe eine alternierende Reihe: [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}*a_k [/mm]

Bei []Wikipedia sehen alternierende Reihen wie folgt aus: [mm] \summe_{n=1}^{\infty}(-1)^n*a_n [/mm]

Ist das nicht fest definiert, wie eine alternierende Reihe aussieht?

Bei den beiden Definitionen sind ja die Vorzeichen genau getauscht.

Einmal sind die ungeraden Summanden positiv und einmal die geraden.

Meine Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n [/mm] entspricht glaub ich eher der oberen Variante, wenn ich einen Indexshift durchführe, oder?

[mm] \summe_{k=1}^{\infty}(-1)^{k-1}*a_k \rightarrow \summe_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}*a_{k+1} [/mm]

Ich hab immer riesengroße Schwierigkeiten, wenn die Notationen überall anders sind, das verwirrt mich dann immer alles total.

Kann vielleicht jemand ein bisschen entwirren?

LG Nadine

Bezug
                
Bezug
Alternierende Reihe: dasselbe
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:22 Fr 09.04.2010
Autor: Roadrunner

Hallo Nadine!


Hoffentlich entwas Entwirrung Deinerseits ... ;-)


Beide Defintionen sind quasi identisch. Man kann eine Version in die andere überführen, indem man schlicht und ergreifend $(-1)_$ ausklammert.

Ein derartiger konstanter Faktor verändert nichts an der Eigenschaft der Konvergenz u.ä.


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                        
Bezug
Alternierende Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:05 Fr 09.04.2010
Autor: Pacapear

Hallo Roadrunner!

> Beide Defintionen sind quasi identisch. Man kann eine
> Version in die andere überführen, indem man schlicht und
> ergreifend [mm](-1)_[/mm] ausklammert.
>  
> Ein derartiger konstanter Faktor verändert nichts an der
> Eigenschaft der Konvergenz u.ä.

Ok, das verstehe ich.

Aber trotzdem haben doch beide Definitionen immer noch genau gegensätzliche Vorzeichen.

Ist das egal?

LG Nadine

Bezug
                                
Bezug
Alternierende Reihe: nicht relevant
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:12 Fr 09.04.2010
Autor: Roadrunner

Hallo Nadine!


> Aber trotzdem haben doch beide Definitionen immer noch
> genau gegensätzliche Vorzeichen.
>  
> Ist das egal?

Letztendlich ja.


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                                        
Bezug
Alternierende Reihe: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:26 Fr 09.04.2010
Autor: Pacapear

Hallo Roadrunner!

Vielen Dank für deine Antworten!

LG Nadine

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Folgen und Reihen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de