www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Funktionsgrenzwertbestimmung
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Funktionsgrenzwertbestimmung

Wie bestimme ich den Grenzwert einer Funktion für $ x\to\pm\infty $?

Das Ziel ist immer das Gleiche:
Schreibe den Funktionsterm derart, dass du es "sehen" kannst, was für $ x \rightarrow \pm \infty $ passiert.

Der Weg dahin hängt aber von der Art des Funktionsterms ab.

Beispiel: ganzrationale Funktionen (was ich hier jetzt aufschreibe, überlegt man sich nur einmal, danach "weiß" man es)


$ f(x) = x^3-6x^2+9x $

Das kannst du etwa so schreiben:

$ x^3-6x^2+9x=x^3\cdot{}\left(1-\bruch{6}{x}+\bruch{9}{x^2} \right) $

Da die Klammer gegen 1 konvergiert (setze probeweise "große Zahlen" wie 10, 100,.. ein), bestimmt also einzig und allein der Summand mit dem höchsten Exponenten (im Originalterm) über das Verhalten gegen $ \pm \infty. $

So kommst du ganz leicht zu einem Kriterium für ganzrationale Funktionen:

  1. Unterscheidung zwischen geradem und ungeradem Grad (bei $ x^4 $ geht es beide Male in die gleiche Richtung, bei $ x^3 $ einmal so und einmal so)
  2. Unterscheidung zwischen dem Vorzeichen vor diesem Summand $ (-3x^4 $ führt ja dazu, dass das in beide Richtungen gegen $ -\infty $ abhaut)

Bei gebrochen-rationalen Funktionen macht man das ähnlich (vielleicht kommt dir das von den Folgen bekannt vor):
Beispiel:

$ f(x)=\bruch{-4x^7+x^5+8x-14}{x^9+1} $

Du klammerst die höchste überhaupt auftretende Potenz von x im Nenner und im Zähler aus und kürzt:

$ f(x)=\bruch{x^9\cdot{}\left( \bruch{-4}{x^2}+\bruch{8}{x^8}-\bruch{14}{x^9} \right)}{x^9(1+\bruch{1}{x^9})} $

Dann siehst du, was passiert: Zähler geht gegen 0, Nenner gegen 1 und fertig.
Daraus kannst du dir dann auch ein einfaches Kriterium für gebrochen-rationale Funktionen machen, wenn du es einmal durchgerechnet hast:

  1. Ist der Exponent oben größer, haut es gegen $ \pm \infty $ ab (hängt dann wie bei den ganzrationalen vom Vorzeichen ab).
  2. Ist der Exponent unten größer (wie im Beispiel), geht es gegen 0.
  3. Ist der max. Exponent oben und unten gleich, geht es gegen eine feste Zahl, nämlich gerade den Quotienten der Koeffizienten davon.

Steht etwa sowas da:

$ f(x)=\bruch{-4x^7+x^5+8x-14}{2x^7+1} $

dann geht das

$ \bruch{-4}{2}=-2. $

Tauchen Exponentialfunktionen auf, gibt es kein so ganz einheitliches Vorgehen mehr, da braucht man in der Regel nur folgendes Wissen:
Beispiel: sei $ f(x)=\bruch{e^x}{x} $:

  1. Die Exponentialfunktion wächst bzw. fällt für $ x \to\pm \infty $ stärker als jede Potenz von x, ist also Grenzwert bestimmend.
  2. Die Exponentialfunktion geht für $ x\to-\infty $ schneller gegen 0 als $ \bruch{1}{x} $ gegen $ -\infty $ geht.

    $ \lim_{x\to-\infty}\bruch{e^x}{x}\rightarrow -0 \text{    und    } \lim_{x\to+\infty}\bruch{e^x}{x}\rightarrow +\infty $

Ähnliches gilt natürlich für Logarithmen.
Wurzeln sind ja im wesentlichen auch nur Potenzen von x $ (\wurzel{x} =x^{\bruch{1}{2}}) $ kannst du also auch ähnlich argumentieren.
Sinus und Cosinus sind immer beschränkt, das Verhalten des Tangens ist auch klar.

Bei Kombinationen von denen hilft es dir eigentlich am meisten, immer nach dem Verhalten der Einzelnen zu schauen und dann Grundwissen zu benutzen.

Beispiel:

$ f(x)=\bruch{sin(x)}{\wurzel{x^2}} $


$ \sin(x) $ bleibt immer zwischen -1 und 1, spielt also für die Grenzwerte keine Rolle. Entscheidend ist also das Verhalten von $ \wurzel{x^2} $ und das ist dir bekannt.

Letzte Änderung: Mi 24.06.2009 um 11:03 von informix
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext

^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de