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stetigkeit und grenzwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:13 Mi 25.04.2018
Autor: gopro

Aufgabe
a:
Es seien A ⊆ C konvex und f : A → C differenzierbar mit beschr¨ankter Ableitung, d.h. es gibt c > 0 mit |f'(x)|≤ c f¨ur alle x ∈ A. Zeigen Sie, dass f gleichm¨aßig stetig ist, d.h. ∀ε > 0 ∃δ > 0∀x,y ∈ A : (|x−y| < δ ⇒|f(x)−f(y)| < ε).

b:Es sei f : (a,b) →R differenzierbar mit beschr¨ankter Ableitung . Zeigen Sie, dass f¨ur jede Folge (xn)n∈N ∈ (a,b)N mit xn → a der Grenzwert lim n→∞ f(xn) existiert. Hinweis: Cauchy-Bedingung.

c:Es sei g : [a,b] →R in a und b differenzierbar. Zeigen Sie: g(a) = min{g(x) : x ∈ [a,b]}⇒ g'(a) ≥ 0, g(b) = min{g(x) : x ∈ [a,b]}⇒ g'(b) ≤ 0.


hey

die aufgaben da oben sind echt voll theoretisch, verstehen tu ich sie nur hab ich kp wie ich die richtigen formulierungen finde

gp

        
Bezug
stetigkeit und grenzwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:05 Mo 30.04.2018
Autor: fred97


> a:
>  Es seien A ⊆ C konvex und f : A → C differenzierbar
> mit beschr¨ankter Ableitung, d.h. es gibt c > 0 mit
> |f'(x)|≤ c f¨ur alle x ∈ A. Zeigen Sie, dass f
> gleichm¨aßig stetig ist, d.h. ∀ε > 0 ∃δ > 0∀x,y
> ∈ A : (|x−y| < δ ⇒|f(x)−f(y)| < ε).

Bevor ich mich mit dieser Aufgabe beschäftige: ist C= [mm] \IC [/mm] ? Darf A uch eine Teilmenge von [mm] \IR [/mm] sein ? Welcher Differenzierbarkeitsbegriff liegt zu Grunde ?


>
> b:Es sei f : (a,b) →R differenzierbar mit beschr¨ankter
> Ableitung . Zeigen Sie, dass f¨ur jede Folge (xn)n∈N ∈
> (a,b)N mit xn → a der Grenzwert lim n→∞ f(xn)
> existiert. Hinweis: Cauchy-Bedingung.

Es sei |f'(x)| [mm] \le [/mm] c für alle x [mm] \in [/mm] (a,b). Zeige:

[mm] $|f(x_n)-f(x_m)| \le c|x_n-x_m|$. [/mm]


>  
> c:Es sei g : [a,b] →R in a und b differenzierbar. Zeigen
> Sie: g(a) = min{g(x) : x ∈ [a,b]}⇒ g'(a) ≥ 0, g(b) =
> min{g(x) : x ∈ [a,b]}⇒ g'(b) ≤ 0.


Für x>a ist [mm] $\frac{g(x)-g(a}{x-a} \ge [/mm] 0$. Jetzt x [mm] \to [/mm] a.


>  
> hey
>  
> die aufgaben da oben sind echt voll theoretisch, verstehen
> tu ich sie nur hab ich kp wie ich die richtigen
> formulierungen finde
>  
> gp


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