www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - partielle ableitung,diff'bar
partielle ableitung,diff'bar < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

partielle ableitung,diff'bar: korrektur, vorgehensweise
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:57 So 21.06.2009
Autor: Kinghenni

Aufgabe
Es sei [mm] f:\IR^2\to\IR [/mm] definiert durch
[mm] f(x,y)=\begin{cases} (x^2+y^2)*\sin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}}), & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \mbox{ } \end{cases} [/mm]

(i) Berechnen Sie [mm] \partial_1f [/mm] und [mm] \partial_2f [/mm] auf [mm] \IR^2 [/mm] .
(ii) Zeigen Sie, dass [mm] \partial_1f [/mm] unstetig an (0, 0) ist.
(iii) Zeigen Sie, dass f di fferenzierbar an (0, 0) ist.

also fehler sin leider schnell gemacht, aber hier meine ableitung, mit produktregel und 2mal kettenregel
[mm] \partial_1f=2x*\sin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}})+(x^2+y^2)*-0.5(x^2+y^2)^{-1.5}*2x*\cos(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}}) [/mm]
[mm] \partial_2f [/mm] sieht ja gleich aus, nur x und y vertauschen,
ii) würd ich nur vermuten, sowas wie x=y=1/n [mm] n\to\infty [/mm] ... dann geht x,y gegen null und dann zeigen [mm] \partial_1f(x,y) [/mm] geht nicht gegen 0, aber aber mir sieht es so aus als ob es auch gegen null läuft
iii)hab ich in der vorlesung nicht verstanden, einmal hatten wir eine zerlegungsformel und einmal [mm] g(t)=f(x^{(0)} [/mm] + t * r), wobei r=Richtung ist

        
Bezug
partielle ableitung,diff'bar: Symmetrie
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:16 So 21.06.2009
Autor: Al-Chwarizmi


> Es sei f : [mm]\IR^2 \to[/mm] [mm] \IR [/mm] definiert durch
>  [mm]f(x,y)=\begin{cases} (x^2+y^2)sin(\bruch{1}{\wurzel{x^2+y^2}}), & \mbox{für } (x,y)\not=(0,0) \mbox{ } \\ 0, & \mbox{für } (x,y)=(0,0) \mbox{ } \end{cases}[/mm]
>  
>  
> (i) Berechnen Sie [mm]\partial1f[/mm] und [mm]\partial2f[/mm] auf R2.
>  (ii) Zeigen Sie, dass [mm]\partial1f[/mm] unstetig an (0, 0) ist.
>  (iii) Zeigen Sie, dass f differenzierbar an (0, 0) ist.


Hallo Kinghenni,

bei dieser Aufgabe würde ich unbedingt versuchen,
die Rotationssymmetrie des Graphen zu nutzen.
In Polarkoordinaten lautet die Flächengleichung

       $\ z\ [mm] =\begin{cases}\ r^2*sin\left(\bruch{1}{r}\right) & \mbox{ für } r>0\\ \ 0 & \mbox{ für } r=0 \\ \end{cases}$ [/mm]

Man kann nun zunächst diese Funktion einer
Variablen untersuchen. Ihr Graph erzeugt bei
Rotation um die z-Achse den Graph von f.


LG    Al-Chw.

Bezug
                
Bezug
partielle ableitung,diff'bar: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 17:20 So 21.06.2009
Autor: Kinghenni

hi, danke für deine antwort, gibs aber keinen anderen weg
davon hab ich noch weniger ahnung -.-

Bezug
                        
Bezug
partielle ableitung,diff'bar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:50 Mo 22.06.2009
Autor: MathePower

Hallo KingHenni,

> hi, danke für deine antwort, gibs aber keinen anderen weg
>  davon hab ich noch weniger ahnung -.-


Nun, schreibe die partiellen Aleitungen so auf,
wie die Funktion definiert ist.

[mm]\partial_{1}f=\left\{\begin{matrix} ... & \operatorname{,falls } \left(x,y\right) \not= \left(0,0\right) \\ ... & \operatorname{, falls }\left(x,y\right)=\left(0,0\right) \end{matrix}[/mm]

Für die Unstetigkeit von [mm]\partial_{1}f[/mm] in [mm]\left(0,0\right)[/mm]
verwende z.B eine Folge für die

[mm]\sin\left(\bruch{1}{\wurzel{x^{2}+y^{2}}}\right)=0[/mm]


Gruß
MathePower

Bezug
                                
Bezug
partielle ableitung,diff'bar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:59 Mo 22.06.2009
Autor: Kinghenni

wenn ich doch so eine folge finde zb x=1/n....dann wird das mit sinus null, aber dann is es doch stetig, grad weil ich eine finde, ich muss ja eine finde damit das nicht gegen null läuft

Bezug
                                        
Bezug
partielle ableitung,diff'bar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:33 Mo 22.06.2009
Autor: MathePower

Hallo KingHenni,

> wenn ich doch so eine folge finde zb x=1/n....dann wird das
> mit sinus null, aber dann is es doch stetig, grad weil ich
> eine finde, ich muss ja eine finde damit das nicht gegen
> null läuft


Genau, und die Folge für die

[mm]\sin\left(\bruch{1}{\wurzel{x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}}\right)=0[/mm]

gilt, leistet das.

Poste doch bitte mal die bisherigen Rechenschritte zu dieser Teilaufgabe.


Gruß
MathePower

Bezug
                                                
Bezug
partielle ableitung,diff'bar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:13 Mo 22.06.2009
Autor: Kinghenni

also ich probiers mal: es gilt [mm] x_n=y_n=1/n [/mm] (zudem gilt, [mm] \not=(0,0)) [/mm]
$ [mm] \partial_1f=2/n\cdot{}\sin(\bruch{1}{\wurzel{1/2n^2}})+(1/2n^2)\cdot{}-(1/2n^2)^{-1.5}\cdot{}1/n\cdot{}\cos(\bruch{1}{\wurzel{1/2n^2}}) [/mm] $

so weil bei beiden summanden ein 1/n steht, geht für [mm] n\to\infty [/mm] die summe gegen null, aber dann wäre es stetig

Bezug
                                                        
Bezug
partielle ableitung,diff'bar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:13 Mo 22.06.2009
Autor: MathePower

Hallo KingHenni,

> also ich probiers mal: es gilt [mm]x_n=y_n=1/n[/mm] (zudem gilt,
> [mm]\not=(0,0))[/mm]
>  
> [mm]\partial_1f=2/n\cdot{}\sin(\bruch{1}{\wurzel{1/2n^2}})+(1/2n^2)\cdot{}-(1/2n^2)^{-1.5}\cdot{}1/n\cdot{}\cos(\bruch{1}{\wurzel{1/2n^2}})[/mm]
>  
> so weil bei beiden summanden ein 1/n steht, geht für
> [mm]n\to\infty[/mm] die summe gegen null, aber dann wäre es stetig


Es ist

[mm]\bruch{1}{\wurzel{x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}}=\bruch{1}{\wurzel{\left(\bruch{1}{n}\right)^{2}+\left(\bruch{1}{n}\right)^{2}}}=\bruch{n}{\wurzel{2}}[/mm]

Dann schreibt sich dies so:

[mm]\partial_1f=\bruch{2}{n}\cdot{}\sin(\bruch{n}{\wurzel{2}})+\bruch{2}{n^{2}}\cdot{}-(1/\bruch{n^{2}}{2})^{-1.5}\cdot{}\bruch{1}{n}\cdot{}\cos(\bruch{n}{\wurzel{2}})[/mm]

[mm]=\bruch{2}{n}\cdot{}\sin(\bruch{n}{\wurzel{2}})+\bruch{2}{n^{2}}\cdot{}-(\bruch{2}{n^{2}})^{-1.5}\cdot{}\bruch{1}{n}\cdot{}\cos(\bruch{n}{\wurzel{2}})[/mm]

[mm]=\bruch{2}{n}\cdot{}\sin(\bruch{n}{\wurzel{2}})-(\bruch{2}{n^{2}})^{-0.5}\cdot{}\bruch{1}{n}\cdot{}\cos(\bruch{n}{\wurzel{2}})[/mm]


[mm]=\bruch{2}{n}\cdot{}\sin(\bruch{n}{\wurzel{2}})-\bruch{n}{\wurzel{2}}\cdot{}\bruch{1}{n}\cdot{}\cos(\bruch{n}{\wurzel{2}})[/mm]

[mm]=\bruch{2}{n}\cdot{}\sin(\bruch{n}{\wurzel{2}})-\bruch{1}{\wurzel{2}}*\cos(\bruch{n}{\wurzel{2}})[/mm]

Und davon ist nun der Grenzwert zu bestimmen.

Ich meinte die Folge, für die

[mm]\sin\left(\bruch{1}{\wurzel{x_{n}^{2}+y_{n}^{2}}}\right)=0[/mm]

Da [mm]x_{n}=y_{n}[/mm] gewählt wird ist

[mm]2x_{n}^{2}=\bruch{1}{n^{2}*\pi^{2}}[/mm]

woraus sich die Folge [mm]x_{n}[/mm] ergibt zu:

[mm]x_{n}=\bruch{1}{\wurzel{2}*n*\pi}[/mm]


Gruß
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
partielle ableitung,diff'bar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:41 Mo 22.06.2009
Autor: Kinghenni

vielen dank, mathepower
gruß kinghenni

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de