partiell stetig diffbar < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:37 Mi 15.04.2009 | | Autor: | Held |
| Aufgabe | Frage bei folgendem Beweis:
Sei f: U [mm] \subset \IR^n \to \IR^m, x_{0} \in [/mm] U, U offen.
Wenn f in [mm] x_{0} [/mm] stetig partiell differenzierbar,
dann ist f in [mm] x_{0} [/mm] total differenzierbar |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Der Beweis steht auf Seite 77 ![[]](/images/popup.gif) hier
Mein Problem ist die erste Aussage, dass [mm] f=(f_{1} f_{2} f_{3} [/mm] ... [mm] f_{n} [/mm] ) genau dann stetig diffbar in [mm] x_{0} [/mm] ist,
wenn [mm] f_{i} [/mm] stetig diffbar in [mm] x_{0} [/mm] ist für i=1...n,
Ich verstehe nämlich nicht, wenn gilt [mm] \pmat{ a_{i1}(x) & a_{i2}(x) & \ldots & a_{in}(x) } [/mm] ist stetig für i=1...n
wieso sollte das äquivalent sein zu
[mm] \pmat{ a_{11}(x) & a_{12}(x) & \cdots & a_{1n}(x) \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{m1}(x) & a_{m2}(x) & \cdots & a_{mn }(x)} [/mm] ist stetig,
und was bedeut stetigkeit, bei einer Matrix mit funktion als Einträgen? Ich kenn noch nicht mal eine Norm um für sowas stetigkeit nachzuprüfen.
Oder gibt es ein viel einfacheren Beweis, mit den man die Bemerkung versteht?
Die Differenzierbarkeit leuchtet mir ein wegen
f ist differenzierbar in [mm] x_{0} \gdw \exists [/mm] ein r(x) mit [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} [/mm] r(x) = und
[mm] f(x)=\vektor{f_{1}(x) \\ f_{2}(x) \\\vdots \\ f_{n}(x)} [/mm] = [mm] \vektor{f_{1}(x_{0}) \\ f_{2}(x_{0}) \\\vdots \\ f_{n}(x_{0})} [/mm] + [mm] \pmat{ a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn }}(x-x_{0}) [/mm] + [mm] \vektor{r_{1}(x) \\r_{2}(x) \\\vdots \\ r_{n}(x)} \parallel x-x_{0} \parallel_{x} [/mm] (*)
Wegen Lemma 6.2.3 im Script gilt für
r(x) = [mm] \vektor{r_{1}(x) \\r_{2}(x) \\\vdots \\ r_{n}(x)}
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} [/mm] r(x) = 0 gdw [mm] \limes_{x\rightarrow x_{0}} r_{i}(x) [/mm] = 0 für i=1,..,n
Also ist (*) äquivalent zu:
[mm] f_{i}(x) [/mm] = [mm] \pmat{ a_{i1} & a_{i2} & \ldots & a_{in} } (x-x_{0}) +r_{i}(x) \parallel x-x_{0} \parallel_{x}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] f_{i} [/mm] ist differenzierbar in [mm] x_{0}
[/mm]
Gruß Held
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:47 Mi 15.04.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Frage bei folgendem Beweis:
>
> Sei f: U [mm]\subset \IR^n \to \IR^m, x_{0} \in[/mm] U, U offen.
>
> Wenn f in [mm]x_{0}[/mm] stetig partiell differenzierbar,
>
> dann ist f in [mm]x_{0}[/mm] total differenzierbar
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Der Beweis steht auf Seite 77
> hier
>
> Mein Problem ist die erste Aussage, dass [mm]f=(f_{1} f_{2} f_{3}[/mm]
> ... [mm]f_{n}[/mm] ) genau dann stetig diffbar in [mm]x_{0}[/mm] ist,
> wenn [mm]f_{i}[/mm] stetig diffbar in [mm]x_{0}[/mm] ist für i=1...n,
>
>
> Ich verstehe nämlich nicht, wenn gilt [mm]\pmat{ a_{i1}(x) & a_{i2}(x) & \ldots & a_{in}(x) }[/mm]
> ist stetig für i=1...n
> wieso sollte das äquivalent sein zu
>
> [mm]\pmat{ a_{11}(x) & a_{12}(x) & \cdots & a_{1n}(x) \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{m1}(x) & a_{m2}(x) & \cdots & a_{mn }(x)}[/mm]
> ist stetig,
> und was bedeut stetigkeit, bei einer Matrix mit funktion
> als Einträgen? Ich kenn noch nicht mal eine Norm um für
> sowas stetigkeit nachzuprüfen.
ich habe Dein Skript jetzt nicht komplett durchforstet, ob ihr Normen für Matrizen definiert habt, aber schau mal in dieses Skript rein, insbesondere auf:
[mm] $\bullet$ [/mm] Seite 186 in Satz 19.10
[mm] $\bullet$ [/mm] Seite 187 in Satz 19.11
[mm] $\bullet$ [/mm] Seite 188 in Satz 19.13
Aber in Deinem Skript wird das auch etwas anders begründet, schau Doch einfach mal in den Beweis zu Satz 7.1.8 auf Seite 75 in Eurem Skript:
... da Konvergenz im [mm] $\IR^m$ [/mm] komponentenweise Konvergenz entspricht...
Diese Aussage findest Du auch hier in Bemerkung 8.17.
Sie ist auch von der Wahl der Norm im [mm] $\IR^m$ [/mm] unabhängig, da die Normen im [mm] $\IR^m$ [/mm] bekanntlich äquivalent sind, vgl. etwa hier
.
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
