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| Aufgabe | Sei n [mm] \in \IN. [/mm] Gegeben ist die Funktionenschar
gn : [mm] \IR [/mm] --> [mm] \IR [/mm] und x -> y = gn(x) := [mm] x^{n+2} [/mm] - [mm] x^{2} [/mm] -1.
Beweisen Sie, dass es ein 1 [mm] \le [/mm] k [mm] \le [/mm] 1 + 1/n gibt mit gn(k)=0. |
So, ich habe diesen Beweis jetzt geführt, bin mir aber noch unsicher, ob das alles so stimmt und wäre sehr dankbar, wenn sich das ganze jemand noch einmal anschauen könnte.
Also meine Überlegungen:
gn ist eine stetige Funktion, da:
[mm] \limes_{t\rightarrow\x} [/mm] gn(t) = [mm] t^{n+2} [/mm] - [mm] t^{2} [/mm] -1 = [mm] x^{n+2} [/mm] - [mm] x^{2} [/mm] -1 = gn(x) (denn nach einsetzen von x (was ja jeder wert sein könnte) erhalte ich nie einen unbestimmten wert, d.h. der grenzwert existiert immer)
Ist das so in ordnung?
so, dann habe ich nachgewiesen, dass gn(1) < gn(1+ 1/n) immer richtig ist.
dann gilt außerdem: gn(1) = -1 und gn(1+ 1/n) ist immer größer als 0.
Also muss die 0 in dem Intervall (gn(1), gn(1+ 1/n)) liegen (da von negativ zu positiv).
Laut dem Zwischenwertsatz von Bolzano und Weierstraß existiert nun ein k [mm] \in [/mm] (1, 1+ 1/n) mit gn(k) = 0.
q.e.d.
Ist das ganze so richtig, oder habe ich hier noch einen Fehler gemacht? Ich bin mir vor allem bei der Stetigkeit noch ein wenig unsicher.
Vielen dank im voraus, die_conny
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> Sei n [mm]\in \IN.[/mm] Gegeben ist die Funktionenschar
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> gn : [mm]\IR[/mm] --> [mm]\IR[/mm] und x -> y = gn(x) := [mm]x^{n+1}[/mm] - [mm]x^{2}[/mm] -1.
> Beweisen Sie, dass es ein 1 [mm]\le[/mm] k [mm]\le[/mm] 1 + 1/n gibt mit
> gn(k)=0.
> So, ich habe diesen Beweis jetzt geführt, bin mir aber
> noch unsicher, ob das alles so stimmt und wäre sehr
> dankbar, wenn sich das ganze jemand noch einmal anschauen
> könnte.
>
> Also meine Überlegungen:
>
> gn ist eine stetige Funktion, da:
>
> [mm]\limes_{t\rightarrow\x}[/mm] gn(t) = [mm]t^{n+1}[/mm] - [mm]t^{2}[/mm] -1 =
> [mm]x^{n+1}[/mm] - [mm]x^{2}[/mm] -1 = gn(x) (denn nach einsetzen von x (was
> ja jeder wert sein könnte) erhalte ich nie einen
> unbestimmten wert, d.h. der grenzwert existiert immer)
Du wirst doch sicher einfach schreiben können, dass [mm] $g_n(x)$ [/mm] eine ganzrationale Funktion, also stetig ist. - Nicht?
> Ist das so in ordnung?
Im Grunde verwendest Du die Stetigkeit der Funktion [mm] $g_n(t)$ [/mm] bei dieser Argumentation schon, statt sie zu beweisen. Aber, wie gesagt, ich glaube nicht, dass Du deren Stetigkeit überhaupt im Detail beweisen musst. Wer wird schon bezweifeln wollen, dass ganzrationale Funktionen stetig sind...
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> so, dann habe ich nachgewiesen, dass gn(1) < gn(1+ 1/n)
> immer richtig ist.
Wozu brauchst Du dies? Es genügt doch, für die Anwendung des Zwischenwertsatzes, dass Du zeigen kannst, dass [mm] $g_n(x)$ [/mm] stetig ist, [mm] $g_n(1)<0$ [/mm] und [mm] $0
>
> dann gilt außerdem: gn(1) = -1 und gn(1+ 1/n) ist immer
> größer als 0.
Ok, dies ist das einzige, was Du neben der Stetigkeit von [mm] $g_n(x)$ [/mm] für die Anwendung des Zwischenwertsatzes benötigst, aber wie Du [mm] $g_n(1+1/n)>0$ [/mm] gezeigt hast, schreibst Du hier nicht.
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> Also muss die 0 in dem Intervall (gn(1), gn(1+ 1/n)) liegen
> (da von negativ zu positiv).
>
> Laut dem Zwischenwertsatz von Bolzano und Weierstraß
> existiert nun ein k [mm]\in[/mm] (1, 1+ 1/n) mit gn(k) = 0.
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> q.e.d.
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> Ist das ganze so richtig, oder habe ich hier noch einen
> Fehler gemacht? Ich bin mir vor allem bei der Stetigkeit
> noch ein wenig unsicher.
>
> Vielen dank im voraus, die_conny
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:01 Sa 12.01.2008 | | Autor: | die_conny |
Dankeschön für die schnelle antwort!
also wegen der stetigkeit, also an sich ist es schon klar, aber weil es so nirgends im skript etc. steht, dachte ich, dass ich es besser beweise.
wie könnte ich die stetigkeit richtig beweisen?
und zu dem, dass gn(1+ 1/n) > 0 gilt:
gn (1+ 1/n) = gn (n+1 / n) = (n+1 / [mm] n)^{n+2} [/mm] * [ (n+1 / [mm] n)^{n} [/mm] -1 ]
also erstmal ist faktor vorne immer positiv, da alles in der klammer immer positiv ist und somit auch jede potenz.
dann ist (n+1 / n) immer größer als 1 für alle n aus den natürlichen zahlen. wenn ich nun von einer zahl größer 1 eins abziehe, erhalte ich wieder eine positive zahl.
also ist gn(1 + 1/n) größer als 0 für alle natürlichen zahlen.
(die natürlcihen zahlen enthalten nicht die 0 an dieser stelle, haben wir so festgelegt)
Ist das so in ordnung? würde dann diese begründung dazuschreiben.
und in unserem Skript ist der Zwischenwertsatz so aufgeführt, dass gn(1) < gn(1+ 1/n) gelten muss, damit der satz zutrifft, deswegen habe ich das gezeigt.
also wär lieb wenn jemand nochmal jemand schauen könnte, ob das ganze so stimmt mit dem gn(1+ 1/n) > 0 und wie das mit de Stetigkeit auch zu beweisen ginge.
Vielen dank im voraus, die_conny
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> Dankeschön für die schnelle antwort!
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> also wegen der stetigkeit, also an sich ist es schon klar,
> aber weil es so nirgends im skript etc. steht, dachte ich,
> dass ich es besser beweise.
Würdest Du, im Kontext der Lösung dieser Aufgabestellung, auch die Stetigkeit einer Funktion wie $f(x) := [mm] x^{n+1}$ [/mm] oder [mm] $f(x)=x^2$ [/mm] bzw. $f(x)=1$ beweisen wollen? Und wenn Du weist, dass zwei Funktionen stetig sind, findest Du es dann nötig zu zeigen, dass deren Summe, Differenz, Produkt oder konstantes Vielfaches ebenfalls stetig ist? - Kaum: man sollte nie immer alles bis ins letzte Detail beweisen wollen, sonst geht man im Kleinkram unter. Diese Aufgabe handelt primär von einer Anwendung des Zwischenwertsatzes, nicht vom klein-klein Nachweis der Stetigkeit vergleichsweise harmloser ganzationaler Funktiönchen, wie [mm] $g_n(x)=x^{n+1}-x^2-1$
[/mm]
> wie könnte ich die stetigkeit richtig beweisen?
Im Extremfall würdest Du versuchen, dies mit einem [mm] $\varepsilon$-$\delta$-Beweis [/mm] zu machen. Aber wie gesagt: kaum bei der Lösung dieser Aufgabe. Halte einfach fest, dass [mm] $g_n(x)$ [/mm] eine ganzrationale Funktion und daher (selbstverständlich) stetig ist.
> und zu dem, dass [mm] $g_n(1+ [/mm] 1/n) > 0$ gilt:
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> [mm] $g_n [/mm] (1+ 1/n) = [mm] g_n [/mm] (n+1 / n) = (n+1 / [mm] n)^{n+2} \cdot [/mm] [ (n+1 / [mm] n)^{n} [/mm] -1 ]$
Diese Umformung verstehe ich nicht. Es ist doch zunächst einmal
[mm]g_n(1+1/n)=\left(1+\tfrac{1}{n}\right)^{n+1}-\left(1+\tfrac{1}{n}\right)^2-1[/mm]
Wie Du von der rechten Seite dieser Beziehung (bei der ich ja wirklich nur $1+1/n$ für $x$ in die Definition von [mm] $g_n(x)$ [/mm] eingesetzt habe) zur rechten Seite Deiner obigen Umformung kommst, sehe ich nicht. Ich denke: dieser Nachweis, dass [mm] $g_n(1+1/n)>0$ [/mm] ist, für alle [mm] $n\geq [/mm] 2$, ist so ziemlich der Knackpunkt bei dieser Aufgabe.
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> also erstmal ist faktor vorne immer positiv, da alles in
> der klammer immer positiv ist und somit auch jede potenz.
>
> dann ist (n+1 / n) immer größer als 1 für alle n aus den
> natürlichen zahlen. wenn ich nun von einer zahl größer 1
> eins abziehe, erhalte ich wieder eine positive zahl.
> also ist gn(1 + 1/n) größer als 0 für alle natürlichen
> zahlen.
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> (die natürlcihen zahlen enthalten nicht die 0 an dieser
> stelle, haben wir so festgelegt)
>
> Ist das so in ordnung? würde dann diese begründung
> dazuschreiben.
Ich verstehe leider nicht, wie Du auf die rechte Seite Deiner Vorzeichenabschätzung für [mm] $g_n(1+1/n)$ [/mm] gekommen bist.
> und in unserem Skript ist der Zwischenwertsatz so
> aufgeführt, dass gn(1) < gn(1+ 1/n) gelten muss, damit der
> satz zutrifft, deswegen habe ich das gezeigt.
Ich verstehe dies. Aber in der Anwendung ist man nicht so pingelig. Angenommen, Du hättest zeigen können, dass [mm] $g_n(1+1/n)<0$ [/mm] und [mm] $g_n(1)>0$ [/mm] ist, wie hättest Du dann den Zwischenwertsatz verwendet, um zu zeigen, dass es ein [mm] $k\in [/mm] ]1;1+1/n[$ gibt, für das [mm] $g_n(k)=0$ [/mm] ist?
Antwort: Du hättest anstelle von [mm] $g_n(x)$ [/mm] einfach [mm] $-g_n(x)$ [/mm] betrachtet und Dich dann exakt an den Wortlaut des Zwischenwertsatzes Deines Vorlesungsskripts gehalten: aber solche Detailargumentationen spart man sich mit der Zeit bald ganz, weil dies einen Beweis nur unnötig aufbläst, ohne etwas von echter Substanz beizutragen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:19 So 13.01.2008 | | Autor: | die_conny |
Ic hhabe an der Stelle einen total blöden Tippfehler gemacht, in der Aufgabenstellung heißt es [mm] x^{n+2} [/mm] und nicht n+1, sorry!!!!!
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Wäre denn dann der Nachweis, dass gn(1+ 1/n) > 0 gilt, so in ordnung?
tut mir echt leid, dass ich mich da vertippt habe!
vielen dank trotzdem für die hilfe, die_conny
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> Wäre denn dann der Nachweis, dass gn(1+ 1/n) > 0 gilt, so
> in ordnung?
Ich bin nicht ganz sicher: ich verstehe noch immer nicht so recht, wie Du umgeformt hast. Sei also [mm] $g_n(x)=x^{n+2}-x^2-1$. [/mm] Dann kann man, denke ich, aufgrund der ![[]](/images/popup.gif) Bernoullischen Ungleichung, so schliessen:
[mm]g_n(1+1/n)=\left(1+\tfrac{1}{n}\right)^{n+2}-\left(1+\tfrac{1}{n}\right)^2-1=\left(1+\tfrac{1}{n}\right)^2\left[\left(1+\tfrac{1}{n}\right)^n-1\right]-1\red{\geq}\left(1+\tfrac{1}{n}\right)^2\left[1+n\tfrac{1}{n}-1\right]-1=\left(1+\tfrac{1}{n}\right)^2-1>0[/mm]
Rot markiert ist hier das Ungleichheitszeichen, bei dem die Bernoullische Ungleichung verwendet wurde.
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