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| Aufgabe | Eine an ihren Enden aufgehängte Kette erfüllt im Gleichgewicht die Differentialgleichung
y''(x) = [mm] a\wurzel{1 + y'(x)^2}.
[/mm]
Finden Sie die Lösung mit Scheitel im Nullpunkt: y(0) = 0, y'(0) = 0. (Tipp: Setze z(x) = y'(x). |
Hallo,
Komme leider wieder nicht weiter. Ich führe die Ersetzung durch:
z'(x) = [mm] a\wurzel{1 + z(x)^2}.
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{z'(x)}{\wurzel{1 + z(x)^2}} dx } [/mm] = ax + C
Aber wie berechne ich das Integral auf der linken Seite? Substitution geht m.E. nicht, da der Term nicht von der Form f(g(x))g'(x) ist.
Kann mir jemand weiterhelfen?
Danke,
Martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:02 Mo 16.09.2019 | | Autor: | fred97 |
> Eine an ihren Enden aufgehängte Kette erfüllt im
> Gleichgewicht die Differentialgleichung
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> y''(x) = [mm]a\wurzel{1 + y'(x)^2}.[/mm]
>
> Finden Sie die Lösung mit Scheitel im Nullpunkt: y(0) = 0,
> y'(0) = 0. (Tipp: Setze z(x) = y'(x).
>
> Hallo,
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> Komme leider wieder nicht weiter. Ich führe die Ersetzung
> durch:
>
> z'(x) = [mm]a\wurzel{1 + z(x)^2}.[/mm]
>
> [mm]\integral{\bruch{z'(x)}{\wurzel{1 + z(x)^2}} dx }[/mm] = ax + C
Wenn Du hier so etwas wie "Trennung der Variablen " versucht hast, so stimmts nicht ganz. Mit Trennung der Variablen bekommen wir
[mm]\integral{\bruch{dz}{\wurzel{1 + z^2}} }[/mm] = ax + C
Für das Integral links bietet sich die Substitution $z= [mm] \sinh(t)$ [/mm] an, denn es gilt
$ [mm] \cosh^2 [/mm] (t) - [mm] \sinh^2 [/mm] (t)=1.$.
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> Aber wie berechne ich das Integral auf der linken Seite?
> Substitution geht m.E. nicht, da der Term nicht von der
> Form f(g(x))g'(x) ist.
> Kann mir jemand weiterhelfen?
>
> Danke,
>
> Martin
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> Wenn Du hier so etwas wie "Trennung der Variablen "
> versucht hast, so stimmts nicht ganz. Mit Trennung der
> Variablen bekommen wir
>
> [mm]\integral{\bruch{dz}{\wurzel{1 + z^2}} }[/mm] = ax + C
Wie das denn? Ich gehe aus von
y''(x) = a [mm] \wurzel{1 + y'(x)^2}
[/mm]
Jetzt setze ich z(x) = y'(x):
z'(x) = a [mm] \wurzel{1 + z(x)^2}
[/mm]
Also:
[mm] \bruch{z'(x)}{\wurzel{1 + z(x)^2}} [/mm] = a
Also:
[mm] \integral{\bruch{z'(x)}{\wurzel{1 + z(x)^2}} dx} [/mm] = [mm] \integral{a dx} [/mm] = ax + C
Oder was stimmt nicht?
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Hiho,
> > [mm]\integral{\bruch{dz}{\wurzel{1 + z^2}} }[/mm] = ax + C
>
> Wie das denn?
Ihr habt beide recht, allerdings ist bei freds Antwort z keine Funktion mehr von x sondern die Integrationsvariable, wie du gleich sehen wirst.
> [mm]\integral{\bruch{z'(x)}{\wurzel{1 + z(x)^2}} dx}[/mm] =
> [mm]\integral{a dx}[/mm] = ax + C
>
> Oder was stimmt nicht?
Bis hier hin alles ok.
Substituiere nun links $y = z(x)$ und du erhältst die selbe Lösung wie von fred angegeben.
Nutze dann den von fred gegebenen Hinweis zur Lösung.
Gruß,
Gono
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Leider komme ich erst jetzt dazu, nochmal zu schreiben. Ich bin leider immer noch nicht weiter gekommen. Nach der Substituierung steht nämlich da:
[mm] \integral{\bruch{1}{cosh(t)} dt} [/mm] =ax + C
Ich hab mir hier wirklich Gedanken gemacht, weiß aber leider nicht, was mir das bringen soll. Jetzt ist ja der gesuchte Term vollkommen aus der Gleichung verschwunden. Könnt ihr mal bitte zeigen, wie der komplette Lösungsweg aussieht. Ich stehe leider auf dem Schlauch ...
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Hallo sancho1980,
[mm] $y''(x)\;=\;a*\sqrt{1+(y'(x))^2}$
[/mm]
[mm] $z'(x)\;=\;a*\sqrt{1+z^2}$
[/mm]
[mm] $\int \frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\;dz\;=\;a*\int [/mm] dx$
Mit Formelsammlung: [mm] $arsinh(z)\;=\;a*x+C$
[/mm]
[mm] $z\;=\;sinh(a*x+C)$
[/mm]
[mm] $y'\;=\;sinh(a*x+C)$
[/mm]
[mm] $\int dy\;=\;\int sinh(a*x+C)\;dx$
[/mm]
[mm] $y(x)\;=\;\frac{1}{a}*cosh(a*x+C)+D$
[/mm]
Hoffentlich ohne Fehler.
LG, Martinius
P.S.: Zum Integral [mm] $\int \frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\;dz$
[/mm]
Wie fred & Gonozal schon geschrieben hatten benötigen wir die Substitution $z=sinh(u)$.
Das Differential dz muss auch substituiert werden:
[mm] $\frac{dz}{du}\;=\;cosh(u)$ [/mm] also: [mm] $dz\;=\;cosh(u)*du$
[/mm]
Aus: [mm] $\int \frac{1}{\sqrt{1+z^2}}\;dz$
[/mm]
wird: [mm] $\int \frac{1}{\sqrt{1+(sinh(u))^2}}*cosh(u)\;du$
[/mm]
[mm] $\int \frac{cosh(u)}{\sqrt{(cosh(u))^2}}du\;=\;\int [/mm] 1 [mm] \;du\;=\;u+C$
[/mm]
Das u erhalten wir aus der Substitutionsgleichung $z=sinh(u)$ :
[mm] $u\;=\;arsinh(z)$
[/mm]
Damit: [mm] $\int [/mm] 1 [mm] \;du\;=\;u+C\;=\;arsinh(z)+C$
[/mm]
Hoffentlich ohne Fehler.
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Hallo
Erstmal danke für den ausführlichen Lösungsweg.
Du kommst damit aber auf eine Lösung, die leicht von der offiziellen abweicht, insofern würde mich der Grund für die Diskrepanz noch interessieren.
Die offizielle Lösung lautet
y(x) = [mm] \bruch{1}{a}(cosh(ax) [/mm] - 1)
Viele Grüße
Martin
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Hallo sancho1980,
> Hallo
>
> Erstmal danke für den ausführlichen Lösungsweg.
> Du kommst damit aber auf eine Lösung, die leicht von der
> offiziellen abweicht, insofern würde mich der Grund für
> die Diskrepanz noch interessieren.
>
> Die offizielle Lösung lautet
>
> y(x) = [mm]\bruch{1}{a}(cosh(ax)[/mm] - 1)
>
> Viele Grüße
>
> Martin
Deine offizielle Lösung ist richtig.
Was ich Dir überlassen hatte: das Einsetzen der beiden Anfangs- bzw. Nebenbedingungen (?). Dann bekommst Du Zahlenwerte für C und D.
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:15 Mo 23.09.2019 | | Autor: | sancho1980 |
Ok sorry 
Ich war so konzentriert, den Lösungsweg zu verstehen, dass ich dieses Detail ganz vergessen hatte ...
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