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links-/rechtsseitigeGW,monoton: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:28 Fr 12.12.2014
Autor: sissile

Aufgabe
Warum existiert bei einer monotone Funktion f: [mm] \IR [/mm] -> [mm] \IR [/mm] an jeder Stelle der linksseitige sowie rechtsseitige Grenzwert?(ich sag nich dass diese gleich sind, aber beide existieren)

Also:
Sei x [mm] \in \IR [/mm] beliebig. Für jede Folge [mm] (x_n) [/mm]  mit [mm] x_n [/mm] in [mm] \IR [/mm] und [mm] x_n [/mm] < x so dass [mm] x_n [/mm] -> x [mm] (n->\infty) [/mm] gilt: [mm] lim_{n->\infty} f(x_n)=c [/mm]
Bzw. Für jede Folge [mm] (x_n) [/mm]  mit [mm] x_n [/mm] in [mm] \IR [/mm] und [mm] x_n [/mm] > x so dass [mm] x_n [/mm] -> x [mm] (n->\infty) [/mm] gilt: [mm] lim_{n->\infty} f(x_n)=d [/mm]

Hallo zusammen,

Die Frage kam auf bei dem Beweis, dass monotone Funktionen f: [mm] \IR-> \IR [/mm] höchstens abzählbar viele Unstetigkeitsstellen haben. Im Hinweis stand, dass man die Sprunghöhe betrachten soll. Hierzu bräuchte ich aber, dass es eben immer ein linksseitiger bzw. rechtsseitiger Grenzwert existiert.

LG,
sissi

        
Bezug
links-/rechtsseitigeGW,monoton: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:21 Fr 12.12.2014
Autor: DieAcht

Hallo sissile!


Heuser:

Eine auf [mm] $[a,b]\$ [/mm] monotone Funktion [mm] $f\$ [/mm] besitzt in jedem Punkt von [mm] $[a,b]\$ [/mm]
alle einseitigen Grenzwerte, die sinnvollerweise vorhanden sein
können, d.h., es existieren die Limites

      [mm] f(\xi-) [/mm] für alle [mm] \xi\in(a,b] [/mm] und [mm] f(\xi+) [/mm] für alle [mm] \xi\in[a,b). [/mm]


Bei mir ist das Satz 39.3. Deine Aufgabe findest du auch dort.


Gruß
DieAcht

Bezug
                
Bezug
links-/rechtsseitigeGW,monoton: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 22:03 Fr 12.12.2014
Autor: sissile

Danke für den Hinweis, aber ich hab das Buch momentan nicht da (borge es mir immer in der Bibliothek aus).

Ich hab etwas herumprobiert:

O.B.d.A sei f monoton steigend,
y [mm] \in [/mm] [a,b] beliebig aber fest

A= [mm] \{f(x)|x A ist durch f(y) nach oben beschränkt, demnach hat A ein Supremum.
(*) Wenn y=a ist, dann ist jedoch A leer? Was mache ich in dem Fall?

[mm] \forall \epsilon>0: \exists x_0 [/mm] < y : sup A - [mm] \epsilon [/mm] < [mm] f(x_0) [/mm] < sup (A) [mm] \le [/mm] f(y)
Sei [mm] (t_n)_{n\in\IN} [/mm] eine beliebige Folge mit [mm] t_n [/mm] -> y mit [mm] t_n [/mm] < y [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm]
ZZ.: [mm] \exists lim_{n->\infty} f(t_n) [/mm]
[mm] f(t_n) \in [/mm] A [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] => [mm] f(t_n) \le [/mm] sup A [mm] \le [/mm] f(y)
Da [mm] t_n [/mm] gegen y konvergiert, [mm] \exists [/mm] ein Index [mm] n_0\in \IN [/mm] sodass [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge n_0 :x_0 \le t_n [/mm] wegen Monotonie folgt [mm] f(x_0) \le f(t_n) [/mm]
D.h. wir haben die Ungleichungskette:  sup A - [mm] \epsilon [/mm] < [mm] f(x_0) \le f(t_n) [/mm] < sup(A) + [mm] \epsilon \forall [/mm] n [mm] \ge n_0 [/mm]
q.e.d.

Beim rechtsseitigen Limes analog mit der Menge:
B= [mm] \{f(x)|y Selbe Problem wenn y=b ist.

Ich hoffe es passt so, wie gesagt bei (*) hab ich eine kleine Frage.

Bezug
                        
Bezug
links-/rechtsseitigeGW,monoton: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:42 Fr 12.12.2014
Autor: DieAcht

Ich habe gerade keine Zeit auf deinen Beweis einzugehen, aber
bezüglich deiner Frage: Heuser hat die Fälle ausgeschlossen.
Die von dir erwähnten zwei Fälle machen natürlich keinen Sinn
und aus diesem Grund existieren die Limites

      [mm] f(\xi-) [/mm] für alle [mm] \xi\in(a,b] [/mm] und [mm] f(\xi+) [/mm] für alle [mm] \xi\in[a,b). [/mm]

(Beachte die Klammerung!)

Und zwar ist für wachsendes [mm] $f\$ [/mm]

      [mm] f(\xi-)=\sup\{f(x)\colon x\in[a,\xi)\} [/mm] und [mm] f(\xi+)=\inf\{f(x)\colon x\in(\xi,b]\}. [/mm]

(Das steht auch im Heuser.)



Bezug
                                
Bezug
links-/rechtsseitigeGW,monoton: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:56 Sa 13.12.2014
Autor: sissile

Ja, das ist mir nun klar geworden. Danke!!
Ja, ich weiß ich muss in die Bibliothek fahren und mir Heuser holen;=)

LG,
sissi

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links-/rechtsseitigeGW,monoton: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:20 So 14.12.2014
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
        
Bezug
links-/rechtsseitigeGW,monoton: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:54 Sa 13.12.2014
Autor: fred97

Schau mal hier:

http://www.iadm.uni-stuttgart.de/LstAnaMPhy/Weidl/analysis/vorlesung-analysis/node113.html

FRED

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