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| Aufgabe | | untersuchen Sie die Funktion $f(x,y) = [mm] x^4 [/mm] + [mm] y^4 [/mm] + 4xy$ auf kritische Punkte |
ich hab dann den gradienten gebildet [mm] $\nabla [/mm] f = [mm] \vektor{4x^3+4y \\ 4y^3+4x}$ [/mm] und dann [mm] $4x^3+4Y=0$ [/mm] gesetzt und [mm] $y=-x^3$ [/mm] erhalten. das hab ich dann in die zweite Gleichung eingesetzt und erhalte:
[mm] $4(-x^3)+4x [/mm] = 0$
[mm] $-4x^3+4x [/mm] =0$
[mm] $-x^3+x=0$
[/mm]
[mm] $-x(x^2-x)=0$
[/mm]
mein [mm] $x_0$ [/mm] ist dann schonmal 0. Wenn ich nun die pq-Formel auf die Klammer anwende, erhalte ich noch [mm] $x_1=0, x_2=1$. [/mm] Setze ich die Punkte dann wieder in [mm] $y=-x^3$ [/mm] ein, erhalte ich die Punkte (0,0) und (1,-1). Wenn ich mir das jetzt aber genau anschaue, fehlt der Punkt (-1,1) fuer den ja auch der Gradient 0 waere.
Warum habe ich diesen Punkt nicht gefunden? Hab ich was vergessen oder uebersehen?
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> untersuchen Sie die Funktion [mm]f(x,y) = x^4 + y^4 + 4xy[/mm] auf
> kritische Punkte
> ich hab dann den gradienten gebildet [mm]\nabla f = \vektor{4x^3+4y \\ 4y^3+4x}[/mm]
> und dann [mm]4x^3+4Y=0[/mm] gesetzt und [mm]y=-x^3[/mm] erhalten. das hab ich
> dann in die zweite Gleichung eingesetzt und erhalte:
>
> [mm]4(-x^3)+4x = 0[/mm]
Hallo,
wenn ich [mm] y=-x^3 [/mm] in die zweite Gleichung einsetze, erhalte ich etwas anderes:
[mm] 0=4(-x^3)^3+4x.
[/mm]
Gruß v. Angela
> [mm]-4x^3+4x =0[/mm]
> [mm]-x^3+x=0[/mm]
> [mm]-x(x^2-x)=0[/mm]
>
> mein [mm]x_0[/mm] ist dann schonmal 0. Wenn ich nun die pq-Formel
> auf die Klammer anwende, erhalte ich noch [mm]x_1=0, x_2=1[/mm].
> Setze ich die Punkte dann wieder in [mm]y=-x^3[/mm] ein, erhalte ich
> die Punkte (0,0) und (1,-1). Wenn ich mir das jetzt aber
> genau anschaue, fehlt der Punkt (-1,1) fuer den ja auch der
> Gradient 0 waere.
> Warum habe ich diesen Punkt nicht gefunden? Hab ich was
> vergessen oder uebersehen?
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Hi,
habe nun die kritischen Stellen (0,0),(,-1) und (-1,1) entdeckt. Nun soll ich bestimmen ob das lokale Minima, Maxima sind.
Dazu habe ich die Hessematrix gebildet:
[mm] \pmat{ 12x & 4 \\ 4 & 12y }
[/mm]
und jeden der kritischen Punkte eingesetzt
A=H(0,0)= [mm] \pmat{ 0 & 4 \\ 4 & 0 }
[/mm]
B=H(1,-1)= [mm] \pmat{ 12 & 4 \\ 4 & -12 }
[/mm]
C=H(-1,1)= [mm] \pmat{ -12 & 4 \\ 4 & 12 }
[/mm]
wenn ich davon die Determinanten berechent bekomme ich:
det(A) = -16
det(B) = -160
det(C) = -160
Wir haben einen Satz, der besagt, dass wenn det(X) < 0 handelt es sich um einen Sattelpunkt.
was ja fuer die drei Punkte als Sattelpunkt sprechen wuerde. Lass ich mir nun aber den Graph zeichnen, sehen die Punkte (1,-1) und (-1,1) eher nach Minimum aus.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dann wollte ich das mit einem anderen hinreichenden Kriterium ueberpruefen, das ich aber leider nicht so ganz verstehe, es geht um die Definitheit. Leider kann ich aber nicht diese Quadratische Forum aufstellen:
[mm] $Q(h_1,h_2)=\vec{h}^TH(x_0)\vec{h}$
[/mm]
was ist denn hier dieses [mm] \vec{h}? [/mm] Wie benutzt ich das um Minimum/Maximum zu bestimmen?
Gruss und Danke
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: tiff) [nicht öffentlich]
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Hallo royalbuds,
> Hi,
>
> habe nun die kritischen Stellen [mm] (0,0),(\red{1},-1) [/mm] und (-1,1)
> entdeckt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Nun soll ich bestimmen ob das lokale Minima,
> Maxima sind.
>
> Dazu habe ich die Hessematrix gebildet:
>
> [mm]\pmat{ 12x & 4 \\ 4 & 12y }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Da hast du aber die Quadrate verschlabbert!
$H_f(x,y)=\pmat{12x^{\red{2}}&4\\4&12y^{\red{2}}$
>
> und jeden der kritischen Punkte eingesetzt
>
> A=H(0,0)= [mm]\pmat{ 0 & 4 \\ 4 & 0 }[/mm]
> B=H(1,-1)= [mm]\pmat{ 12 & 4 \\ 4 & -12 }[/mm]
>
> C=H(-1,1)= [mm]\pmat{ -12 & 4 \\ 4 & 12 }[/mm]
>
> wenn ich davon die Determinanten berechent bekomme ich:
>
> det(A) = -16
> det(B) = -160
> det(C) = -160
B und C passen nicht, rechne nochmal mit der richtigen Hessematrix nach, dort sind lokale Minima!
>
> Wir haben einen Satz, der besagt, dass wenn det(X) < 0
> handelt es sich um einen Sattelpunkt.
>
> was ja fuer die drei Punkte als Sattelpunkt sprechen
> wuerde.
Nur für einen in $(0,0)$
> Lass ich mir nun aber den Graph zeichnen, sehen die
> Punkte (1,-1) und (-1,1) eher nach Minimum aus.
Genau!
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Dann wollte ich das mit einem anderen hinreichenden
> Kriterium ueberpruefen, das ich aber leider nicht so ganz
> verstehe, es geht um die Definitheit. Leider kann ich aber
> nicht diese Quadratische Forum aufstellen:
>
> [mm]Q(h_1,h_2)=\vec{h}^TH(x_0)\vec{h}[/mm]
> was ist denn hier dieses [mm]\vec{h}?[/mm] Wie benutzt ich das um
> Minimum/Maximum zu bestimmen?
Puh, k.a., ich weiß nur, dass du die Definitheit der Hessematrix auch durch die Bestimmung der Eigenwerte kontrollieren kannst.
Das steht soweit ich mich erinnern kann, auch auf wikipedia
>
> Gruss und Danke
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:56 Sa 27.06.2009 | | Autor: | royalbuds |
Oh man, immer diese unnoetigen mini-Fehler. Aber vielen Dank fuer die Antwort!
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Hallo royalbuds,
> Hi,
>
> Dann wollte ich das mit einem anderen hinreichenden
> Kriterium ueberpruefen, das ich aber leider nicht so ganz
> verstehe, es geht um die Definitheit. Leider kann ich aber
> nicht diese Quadratische Forum aufstellen:
>
> [mm]Q(h_1,h_2)=\vec{h}^TH(x_0)\vec{h}[/mm]
> was ist denn hier dieses [mm]\vec{h}?[/mm] Wie benutzt ich das um
> Minimum/Maximum zu bestimmen?
Hier ist [mm]\vec{h}=\pmat{h_{1} \\ h_{2}} [/mm]
Nach Ausführung der obigen Operation steht
eine quadratische Gleichung in [mm]h_{1}[/mm] und [mm]h_{2}[/mm] dar:
[mm]Q(h_1,h_2)=a*h_{1}^{2}+b*h_{1}*h_{2}+c*h_{2}^{2}[/mm]
Diese Gleichung bringts Du nun auf Scheitelpunktsform,
womit Du dann die Definitheit bestimmen kannst.
>
> Gruss und Danke
Gruss
MathePower
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