konv. zeigen und GW best. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:33 Di 05.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | [mm] \summe_{k=3}^{\infty}ln(1-\bruch{3}{k^{2}-1})
[/mm]
Zeigen Sie, dass die Reihe konvergent ist und bestimmen Sie den Grenzwert |
Mein Überlegung bisher:
So lässt sich ja noch nicht viel über die Reihe sagen, also habe ich etwas umgeformt:
[mm] 1-\bruch{3}{k^{2}-1}
[/mm]
ließe sich ja auch so schreiben:
[mm] \bruch{k^{2}-1}{k^{2}-1}-\bruch{3}{k^{2}-1}
[/mm]
= [mm] \bruch{k^{2}-4}{k^{2}-1}
[/mm]
Sofern ich mich nicht täusche, sind handelt es sich hierbei um Binome, nämlich:
[mm] \bruch{(k+2)(k-2)}{(k+1)(k-1)}
[/mm]
Hilft mir das nun irgendwie weiter, denn wenn ja sehe ich nicht wie.
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Hallo ganzir!
Sehr gut bis hierher ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]") !
Zerlege nun den Term gemäß  Logarithmusgesetzen. Dann solltest Du erkennen, dass es sich hier um eine "doppelte Teleskopsumme" handelt.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:08 Di 05.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | Zerlege nun den Term gemäß Logarithmusgesetzen. |
Hmm... ich habe in meinen Aufzeichnung noch was dazu gefunden und zwar:
[mm] \summe_{k=3}^{\infty} ln(1-\bruch{3}{k^{2}-1}) [/mm] = ln [mm] \produkt_{k=3}^{\infty}(1-\bruch{3}{k^{2}-1}) [/mm]
Durch einsetzen meines bisherigen Ergebnisses hab ich ein doppeltes Teleskop-Produkt (keine Ahnung ob man das wirklich so nennt) erhalten und konnte dann den Limes mit meinem Freund l'Hospital berechnen.
Soweit so gut.... nun habe ich noch 2 Verständnisfragen:
Die Umformung von Summe in Produkt, konnte ich zwar reproduzieren, aber keines Falls nachvollziehen, kann mir jemand erklären warum diese Umformung legitum ist?
und
Kann man sich diese Umformung aus den Logarithmusgesetzen herleiten, bzw. steht sie dort in anderer Form und ich habe sie nur nich gesehen?
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Hallo ganzir!
> Die Umformung von Summe in Produkt, konnte ich zwar
> reproduzieren, aber keines Falls nachvollziehen, kann mir
> jemand erklären warum diese Umformung legitum ist?
>
> und
>
> Kann man sich diese Umformung aus den Logarithmusgesetzen
> herleiten, bzw. steht sie dort in anderer Form und ich habe
> sie nur nich gesehen?
Ja, das ergibt sich aus den Logarithmusgesetzen (halt durch mehrfache Anwendung).
Gruß vom
Roadrunner
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