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Forum "Uni-Komplexe Analysis" - komplex differenzierbar
komplex differenzierbar < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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komplex differenzierbar: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:59 Fr 01.05.2015
Autor: Trikolon

Aufgabe
Es sei f: [mm] \IC [/mm] --> [mm] \IC, f(z)=|z|^2 [/mm] sin [mm] \bruch{1}{|z|^2} [/mm] für z ungleich 0 und f(z)=0 für z=0.

Bestimme alle Punkte z [mm] \in \IC, [/mm] in denen f partiell diffbar, stetig partiell diffbar, total (reell) diffbar und komplex diffbar ist.

Hallo,

ich habe zunächst f umgeschrieben durch z=x+iy:

[mm] f(x+iy)=(x^2+y^2) [/mm] sin [mm] \bruch{1}{x^2+y^2} [/mm]

f ist außerhalb des Ursprungs stetig partiell diffbar als Komposition stetig partiell diffbarer Funktionen und somit total diffbar auf [mm] IR^2\ [/mm] {(0,0)}.

f ist in (0,0) partiell diffbar, da

[mm] \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(h,0)}{h} [/mm] = h [mm] sin(1/h^2)=0 =\limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(0,h)}{h} [/mm]  da sin(.) beschränkt ist.

f ist auch total (reell) diffbar in (0,0). Nach der Def der totalen Diffbarkeit muss A=(0,0) die approximierende lineare Abbildung sein und wegen f(0,0)=0 muss gelten:

[mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\ 0} \bruch{f(x,y)}{||(x,y)||} [/mm] =0

Tatsächlich ist  [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\ 0} \bruch{f(x,y)}{||(x,y)||} [/mm] = [mm] \limes_{(x,y)\rightarrow\ 0} \wurzel{x^2+y^2} [/mm] sin [mm] (\bruch{1}{x^2+y^2})=0 [/mm]

Aber f ist nicht stetig partiell diffbar, da sie partiellen Ableitungen nicht stetig sind:

[mm] f_x [/mm] (x,y)= [mm] 2xsin(\bruch{1}{x^2+y^2}) [/mm] + [mm] cos(\bruch{1}{x^2+y^2}) \bruch{-2x}{x^2+y^2} [/mm]

Nun zur komplexen Diffbarkeit.
Da der Im(f(z))=0 ist f nirgend komlex diffbar, weil die Cauchy-Riemannschen DGL nicht erfüllt sind.

Wäre froh über eure Hilfe!

        
Bezug
komplex differenzierbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:46 Fr 01.05.2015
Autor: fred97


> Es sei f: [mm]\IC[/mm] --> [mm]\IC, f(z)=|z|^2[/mm] sin [mm]\bruch{1}{|z|^2}[/mm] für
> z ungleich 0 und f(z)=0 für z=0.
>  
> Bestimme alle Punkte z [mm]\in \IC,[/mm] in denen f partiell
> diffbar, stetig partiell diffbar, total (reell) diffbar und
> komplex diffbar ist.
>  Hallo,
>  
> ich habe zunächst f umgeschrieben durch z=x+iy:
>  
> [mm]f(x+iy)=(x^2+y^2)[/mm] sin [mm]\bruch{1}{x^2+y^2}[/mm]
>  
> f ist außerhalb des Ursprungs stetig partiell diffbar als
> Komposition stetig partiell diffbarer Funktionen und somit
> total diffbar auf [mm]IR^2\[/mm] {(0,0)}.
>  
> f ist in (0,0) partiell diffbar, da
>  
> [mm]\limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(h,0)}{h}[/mm] = h [mm]sin(1/h^2)=0 =\limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(0,h)}{h}[/mm]
>  da sin(.) beschränkt ist.
>
> f ist auch total (reell) diffbar in (0,0). Nach der Def der
> totalen Diffbarkeit muss A=(0,0) die approximierende
> lineare Abbildung sein und wegen f(0,0)=0 muss gelten:
>  
> [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\ 0} \bruch{f(x,y)}{||(x,y)||}[/mm] =0
>  
> Tatsächlich ist  [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\ 0} \bruch{f(x,y)}{||(x,y)||}[/mm]
> = [mm]\limes_{(x,y)\rightarrow\ 0} \wurzel{x^2+y^2}[/mm] sin
> [mm](\bruch{1}{x^2+y^2})=0[/mm]



Alles O.K. bis hier



>  
> Aber f ist nicht stetig partiell diffbar, da sie partiellen
> Ableitungen nicht stetig sind:
>  
> [mm]f_x[/mm] (x,y)= [mm]2xsin(\bruch{1}{x^2+y^2})[/mm] +
> [mm]cos(\bruch{1}{x^2+y^2}) \bruch{-2x}{x^2+y^2}[/mm]


Zeige das noch. Du behauptest nur, dass [mm] f_x [/mm] unstetig ist.


>  
> Nun zur komplexen Diffbarkeit.
>  Da der Im(f(z))=0 ist f nirgend komlex diffbar, weil die
> Cauchy-Riemannschen DGL nicht erfüllt sind.

Ja

FRED

>
> Wäre froh über eure Hilfe!


Bezug
                
Bezug
komplex differenzierbar: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 15:18 Fr 01.05.2015
Autor: Trikolon

Hmm, ich finde keine geeigneten Nullfolgen,  um zu zeigen, dass [mm] f_x [/mm] nicht stetig ist.
[%sig%
wenn ich noch mal drüber nachdenke, müsste f nicht für z=0 komplex diffbar sein, weil die Ableitung ja 0 ist. Damit sind die DGLn doch erfüllt,  oder?

Bezug
                        
Bezug
komplex differenzierbar: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 13:26 Sa 02.05.2015
Autor: Trikolon

Was meint ihr? Also nur im Nullpunkt komplex diffbar und sonst nirgendwo.

Bezug
                                
Bezug
komplex differenzierbar: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:20 Mo 04.05.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
                        
Bezug
komplex differenzierbar: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:20 So 03.05.2015
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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