implizite "Funktion" < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:25 Sa 29.11.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den Graphen der folgenden impliziten "Funktion":
sin(x*y)+x+y=2 |
Hi!
Ich könnte ja den Graphen anhand einer Wertetabelle zeichenen aber andere Aufgaben mit der gleichen Aufgabenstellung konnte ich bisjetzt immer in eine explizite Form bringen, woraus man dann direkt erkennen konnte wie der Graph aussieht oder zumindest eine "einfachere" Wertetabelle anfertign konnte.
Allerdings zweifel ich langsam, dass man diese implizite "funktion" in eine explizite Form bringen kann.
sin(x*y)=2-x-y
[mm] x*y=arcsin(2-x-y)+k*2*\pi
[/mm]
[mm] \wedge x*y=\pi-arcsin(2-x-y)+k*2*\pi
[/mm]
Hatte schon überlegt ob man da vielleicht irgendwelche aussagen machen kann weil [mm] 1\le2-x-y\ge-1 [/mm] sein muss aber ich denke das bringt mich auch nicht weiter....
jetzt sind beide variablen im arcsin "gefangen"
eine Umformung auf Polarkoordinaten bringt mir auch nichts?
[mm] sin(r*cos(\phi)*r*sin(\phi))+r*cos(\phi)+r*sin(\phi)=2
[/mm]
...
Also kann ich die Aufgabe wirklich nur mit einer Wertetabelle lösen?
Danke und besten Gruß,
tedd
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Hallo tedd,
> Bestimmen Sie den Graphen der folgenden impliziten
> "Funktion":
> sin(x*y)+x+y=2
> Hi!
> Ich könnte ja den Graphen anhand einer Wertetabelle
> zeichenen aber andere Aufgaben mit der gleichen
> Aufgabenstellung konnte ich bisjetzt immer in eine
> explizite Form bringen, woraus man dann direkt erkennen
> konnte wie der Graph aussieht oder zumindest eine
> "einfachere" Wertetabelle anfertign konnte.
>
> Allerdings zweifel ich langsam, dass man diese implizite
> "funktion" in eine explizite Form bringen kann.
>
> sin(x*y)=2-x-y
> [mm]x*y=arcsin(2-x-y)+k*2*\pi[/mm]
> [mm]\wedge x*y=\pi-arcsin(2-x-y)+k*2*\pi[/mm]
>
> Hatte schon überlegt ob man da vielleicht irgendwelche
> aussagen machen kann weil [mm]1\le2-x-y\ge-1[/mm] sein muss aber ich
> denke das bringt mich auch nicht weiter....
>
> jetzt sind beide variablen im arcsin "gefangen"
>
> eine Umformung auf Polarkoordinaten bringt mir auch
> nichts?
>
> [mm]sin(r*cos(\phi)*r*sin(\phi))+r*cos(\phi)+r*sin(\phi)=2[/mm]
>
> ...
>
> Also kann ich die Aufgabe wirklich nur mit einer
> Wertetabelle lösen?
Du kannst aber eine Parameterdarstellung [mm]x\left(t\right), \ y\left(t\right)[/mm] angeben,
Zweckmäßigerweise wählt man hier x*y=t:
Dann eine Parameterdarstellung durch die Gleichungen
[mm]\sin\left(t\right)+x+\bruch{t}{x}=2 \Rightarrow x\left(t\right)= \ \dots[/mm]
[mm]\sin\left(t\right)+\bruch{t}{y}+y=2 \Rightarrow y\left(t\right)= \ \dots[/mm]
>
> Danke und besten Gruß,
> tedd
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Sa 29.11.2008 | | Autor: | tedd |
Danke MathePower für die Antwort 
Hatte auch über eine Parameterform nachgedacht, doch wusste ich nicht, wie ich das umsetzen soll...
also
[mm] sin(t)+x+\bruch{t}{x}=2 [/mm]
1.Fall [mm] x\not=0
[/mm]
[mm] \gdw x*sin(t)+x^2+t=2x
[/mm]
[mm] \gdw x^2+x(sin(t)-2)+t=0
[/mm]
[mm] x=-\bruch{sin(t)-2}{2}\pm\sqrt{(\bruch{sin(t)-2}{2})^2-t}
[/mm]
2. Fall x=0
(da setze ich x=0 in sin(x*y)+x+y=2 ein)
y=2 [mm] \to [/mm] P(0/2)
[mm] sin(t)+\bruch{t}{y}+y=2 [/mm]
1.Fall [mm] y\not=0
[/mm]
[mm] y*sin(t)+t+y^2=2*y
[/mm]
[mm] y^2+y(sin(t)-2)+t=0
[/mm]
[mm] y=-\bruch{sin(t)-2}{2}\pm\sqrt{(\bruch{sin(t)-2})^2-t}
[/mm]
2*Fall y=0
(da setze ich x=0 in sin(x*y)+x+y=2 ein)
x=2 [mm] \to [/mm] P(2/0)
also habe ich
[mm] x(t)=-\bruch{sin(t)-2}{2}\pm\sqrt{(\bruch{sin(t)-2}{2})^2-t}
[/mm]
[mm] y(t)=-\bruch{sin(t)-2}{2}\pm\sqrt{(\bruch{sin(t)-2}{2})^2-t}
[/mm]
und die 2 zusätzlichen Punkte:
P(0/2) [mm] \wedge [/mm] P(2/0)
Sieht auf den ersten Blick auch nicht einfach aus aber eine Wertetabelle krieg ich dann ja ohne Probleme hin :)
Richtig so weit?
Danke und Gruß,
tedd
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Hallo tedd,
> Danke MathePower für die Antwort
>
> Hatte auch über eine Parameterform nachgedacht, doch wusste
> ich nicht, wie ich das umsetzen soll...
>
> also
>
> [mm]sin(t)+x+\bruch{t}{x}=2[/mm]
>
> 1.Fall [mm]x\not=0[/mm]
>
> [mm]\gdw x*sin(t)+x^2+t=2x[/mm]
>
> [mm]\gdw x^2+x(sin(t)-2)+t=0[/mm]
>
> [mm]x=-\bruch{sin(t)-2}{2}\pm\sqrt{(\bruch{sin(t)-2}{2})^2-t}[/mm]
>
> 2. Fall x=0
> (da setze ich x=0 in sin(x*y)+x+y=2 ein)
>
> y=2 [mm]\to[/mm] P(0/2)
>
>
> [mm]sin(t)+\bruch{t}{y}+y=2[/mm]
>
> 1.Fall [mm]y\not=0[/mm]
>
> [mm]y*sin(t)+t+y^2=2*y[/mm]
>
> [mm]y^2+y(sin(t)-2)+t=0[/mm]
>
> [mm]y=-\bruch{sin(t)-2}{2}\pm\sqrt{(\bruch{sin(t)-2})^2-t}[/mm]
>
> 2*Fall y=0
> (da setze ich x=0 in sin(x*y)+x+y=2 ein)
>
> x=2 [mm]\to[/mm] P(2/0)
>
> also habe ich
>
> [mm]x(t)=-\bruch{sin(t)-2}{2}\pm\sqrt{(\bruch{sin(t)-2}{2})^2-t}[/mm]
>
> [mm]y(t)=-\bruch{sin(t)-2}{2}\pm\sqrt{(\bruch{sin(t)-2}{2})^2-t}[/mm]
>
> und die 2 zusätzlichen Punkte:
>
> P(0/2) [mm]\wedge[/mm] P(2/0)
>
> Sieht auf den ersten Blick auch nicht einfach aus aber eine
> Wertetabelle krieg ich dann ja ohne Probleme hin :)
>
> Richtig so weit?
Ja, jetzt mußt Du natürlich entscheiden,
welche Lösung [mm]x_\left(t\right)[/mm] zu welcher Lösung [mm]y\left(t\right)[/mm] gehört.
>
> Danke und Gruß,
> tedd
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:53 Sa 29.11.2008 | | Autor: | tedd |
Stimmt, dass muss ich natürlich auch noch machen...
kann ich das so machen, indem ich für t einen Wert einsetze oder ist das zu umständlich?
bspsweise t=0
$ [mm] x=-\bruch{sin(0)-2}{2}\pm\sqrt{(\bruch{sin(0)-2}{2})^2-0} [/mm] $
$ [mm] =1\pm1 [/mm] $
$ x_+=2 $
$ x_-=0 $
$ [mm] y(t)=-\bruch{sin(t)-2}{2}\pm\sqrt{(\bruch{sin(t)-2}{2})^2-t} [/mm] $
$ [mm] =1\pm1 [/mm] $
$ y_+=2 $
$ y_-=0 $
wenn ich x=0 in die Gleichung einsetze weis ich ja schon, dass y=2 rauskommt... also gehört
[mm] x=-\bruch{sin(0)-2}{2}-\sqrt{(\bruch{sin(0)-2}{2})^2-0} [/mm]
zu
[mm] y(t)=-\bruch{sin(t)-2}{2}+\sqrt{(\bruch{sin(t)-2}{2})^2-t}
[/mm]
und ich weis, dass bei x=2 y=0 rauskommt, also
[mm] x=-\bruch{sin(0)-2}{2}+\sqrt{(\bruch{sin(0)-2}{2})^2-0} [/mm]
zu
[mm] y(t)=-\bruch{sin(t)-2}{2}-\sqrt{(\bruch{sin(t)-2}{2})^2-t}
[/mm]
?
Danke und Gruß,
tedd
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Hallo tedd,
> Stimmt, dass muss ich natürlich auch noch machen...
> kann ich das so machen, indem ich für t einen Wert
> einsetze oder ist das zu umständlich?
Da muß Du schon die Lösungen [mm]x\left(t\right), \ y\left(t\right)[/mm] einsetzen.
>
> bspsweise t=0
>
> [mm]x=-\bruch{sin(0)-2}{2}\pm\sqrt{(\bruch{sin(0)-2}{2})^2-0}[/mm]
> [mm]=1\pm1[/mm]
> [mm]x_+=2[/mm]
> [mm]x_-=0[/mm]
>
> [mm]y(t)=-\bruch{sin(t)-2}{2}\pm\sqrt{(\bruch{sin(t)-2}{2})^2-t}[/mm]
> [mm]=1\pm1[/mm]
> [mm]y_+=2[/mm]
> [mm]y_-=0[/mm]
>
> wenn ich x=0 in die Gleichung einsetze weis ich ja schon,
> dass y=2 rauskommt... also gehört
>
> [mm]x=-\bruch{sin(0)-2}{2}-\sqrt{(\bruch{sin(0)-2}{2})^2-0}[/mm]
>
> zu
>
> [mm]y(t)=-\bruch{sin(t)-2}{2}+\sqrt{(\bruch{sin(t)-2}{2})^2-t}[/mm]
>
> und ich weis, dass bei x=2 y=0 rauskommt, also
>
> [mm]x=-\bruch{sin(0)-2}{2}+\sqrt{(\bruch{sin(0)-2}{2})^2-0}[/mm]
>
> zu
>
> [mm]y(t)=-\bruch{sin(t)-2}{2}-\sqrt{(\bruch{sin(t)-2}{2})^2-t}[/mm]
>
>
> ?
Ok, so kannst Du das natürlich auch machen.
>
> Danke und Gruß,
> tedd
>
Gruß
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:35 Sa 29.11.2008 | | Autor: | tedd |
Cool dankeschön MathePower :)
Dann muss ich jetzt nur noch eine Wertetabelle anfertigen...
Besten Gruß,
tedd
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:27 So 30.11.2008 | | Autor: | uliweil |
Hallo tedd,
mir ist noch folgendes aufgefallen:
Das Bild der "Funktion" ist symetrisch zur 1. Winkelhalbierenden (also zur Geraden y=x). Dies erlaubt durch Drehung um 90 Grad ein Bild zu erhalten, das symmetrisch zur y-Achse ist.
Durch Anwendung des Satzes über die Ableitung impliziter Funktionen kann man (mit sehr viel Aufwand) dann sogar Maxima und Minima bestimmen.
Gruß
Uli
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