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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 Di 25.07.2006 | | Autor: | Phabs |
| Aufgabe | Beweisen sie, dass die Funktion:
f: [0, [mm] \infty) \to \IR [/mm] mit f(x) := [mm] (x+1)e^{-x}
[/mm]
auf [0, [mm] \infty) [/mm] gleichmäßig stetig ist, indem sie zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] \delta(\varepsilon) [/mm] so angeben, dass gilt:
x,y [mm] \in [/mm] [0, [mm] \infty) \wedge [/mm] |x-y| < [mm] \delta \Rightarrow [/mm] |f(x)-f(y)| < [mm] \varepsilon [/mm] |
Hallo,
mein Problem ist jetzt eigentlich nur, wie ich das |x-y| da "rausziehen" kann. Brauch das ja unbedingt. Hab es übern Hauptnenner versucht komme aber nie zu was. Vielleicht hab ich ja auch nen Brett vorm Kopf.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo.
Du gibst dir also ein (dir unbekanntes) [mm] \varepsilon>0 [/mm] vor, und musst nun ein [mm] \delta>0 [/mm] finden, so dass für alle $x,y [mm] \in [0,\infty)$ [/mm] eine bestimmte Aussage gilt. Nun gibt es erstmal drei Fälle: $x > y$, $x = y$ oder $x < y$. Wenn dir der Beweis dieser Aussage im ersten Fall gelingt, dann folgt sie auch für den dritten Fall, indem du x und y vertauschst (der Betrag der Differenzen bleibt gleich). Die Gültigkeit im zweiten Fall ist sowieso klar.
Du hast nun wegen $x > y$ also die Voraussetzung $0 < x-y < [mm] \delta$ [/mm] - ohne Betrag.
Dann überlegst du dir, dass $f$ monoton fallend ist. Wegen $x > y$ ist also $f(x) [mm] \leq [/mm] f(y)$. Du kannst also die Gleichung $f(y) - f(x) < [mm] \varepsilon$ [/mm] verwenden.
Damit sind alle Beträge verschwunden, und du kannst fröhlich abschätzen.
Gruß,
SirJective
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 08:19 Mi 26.07.2006 | | Autor: | Phabs |
ok soweit kann ich folgen, ist zwar überhaupt nicht die art von epsilon-delta wie ich ihn kenn, aber das heißt ja auch nichts :)
nur gegen was will ich denn dann abschätzen und wie bring ich das delta ins spiel?
versteh das irgednwie nicht
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Hallo,
kennt Ihr schon die Lipschitzstetigkeit? Wenn du zu deiner funktion eine lipschitz-Konstante finden kannst, ist auch die angabe eines geeigneten delta-Wertes kein Problem mehr.
und lipschitz-Konstanten kann man am einfachsten finden, indem man den betrag der ersten ableitung gegen eine konstante abschätzt.
du müsstest also die ableitung der funktion berechnen und untersuchen, ob sie auf dem betreffenden intervall beschränkt ist.
Gruß
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:15 Mi 26.07.2006 | | Autor: | Phabs |
mh mein problem ist halt, dass es mit delta epsilon sein muss ... ist eine Klausur in der wir nicht Ableiten dürfen ... und es steht halt auch in der aufgabenstellung drin...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:20 Fr 28.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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