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Forum "Fourier-Transformation" - f und seine fourier-r. gleich?
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f und seine fourier-r. gleich?: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:36 Mi 29.04.2009
Autor: christoph111

Aufgabe
Gegeben sei die Funktion f: [mm] \IR \to \IR [/mm] definiert durch

f(x)= [mm] \bruch{1}{4}x(2\pi-x) [/mm]  für  [mm] x\in [0,2\pi) [/mm]
und [mm] f(x)=f(x+2\pi) [/mm] für alle [mm] x\in \IR. [/mm]

Berechne die reelle Fourier-Reihe von f und skizziere f. Wo stimmt f mit der Fourier-Reihe überein?

Ich würde gerne mal wissen, wie ihr den Aufgabenteil "Wo stimmt f mit der Fourier-Reihe überein?" versteht, bzw. angehen würdet!

Die Fourier-Reihe soll ja schließlich die Funktion f als periodische Funktion mit sin und cos darstellen. Und laut Vorlesung gilt:
Wenn f: [mm] \IR \to \IR [/mm] eine periodische Funktion ist, die stückweise stetig differenzierbar ist, dann konvergiert die Fourier-Reihe von f gleichmäßig gegen f.
Ist das wohl eine richtige Antwort, wenn ich sage, laut VL konvergiert die Fourier-Reihe gegen f. Somit ist sie überall nahezu gleich?
Oder kann ich wirklich genau die Punkte ausrechnen, an denen Fourier-Reihe und f genau gleich sind?

Die Fourier-Reihe sieht so aus:

[mm] f(x)=\bruch{\pi^2}{6} [/mm] - [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{cos(kx)}{k^2} [/mm]

        
Bezug
f und seine fourier-r. gleich?: Bemerkung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:24 Fr 01.05.2009
Autor: Infinit

Hallo christoph111,
die Frage nach der Übereinstimmung ist nicht so deutlich zu beantworten, wie ich meine. Deine Aussagen zur Konvergenz sind richtig, die Funktion ist im Definitionsbereich stetig, es gibt also keine Sprungstellen, an denen die Fourierreihe gegen den Mittelwert von links- und rechtsseitigem Grenzwert konvergiert, es sieht also soweit alles gut aus. Mathematisch betrachtet stimmt die Fourierreihe mit der Funktion in allen Punkten des Definitionsbereichs überein, praktisch betrachtet ist die Fourierreihe eine Näherung an die Funktion, da ich kaum unendlich viele Fourierreihenglieder aufaddieren kann, sonder immer irgendwo die Fourierrreihe abbreche.
Hoffe, das hilft Dir weiter.
Viele Grüße,
Infinit

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