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| Aufgabe | Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring.
Beweis: Ist I [mm] \subset [/mm] R ein Ideal. Ist I = 0, so ist I = <0> ein Hauptideal.
Sonst finden wir a [mm] \in [/mm] I \ 0 mit [mm] \sigma(a) [/mm] kleinstmöglich.
Wir behaupten I=<a>. Gäbe es nämlich b [mm] \in [/mm] I \ <a>, so könnten wir schreiben b=aq+r mit r [mm] \not= [/mm] 0 und [mm] \sigma(r)< \sigma(a). [/mm] Dann gilt aber auch r=b-aq [mm] \in [/mm] I, und das steht im Widerspruch zur Wahl von a. |
Hallo!
Hier verstehe ich große Teile des Beweises leider nicht.
Ist I [mm] \subset [/mm] R ein Ideal.
Ist I = 0, so ist I = <0> ein Hauptideal. ( <-- so weit noch klar )
Sonst finden wir a [mm] \in [/mm] I \ 0 mit [mm] \sigma(a) [/mm] kleinstmöglich. ( <-- warum soll [mm] \sigma(a) [/mm] so klein sein? )
Wir behaupten I=<a> ( <-- klar: wir wollen ja zeigen, dass jedes Ideal von nur einem Element aufgespannt wird )
Gäbe es nämlich b [mm] \in [/mm] I \ <a> ( <-- also ein b, das in I liegt, aber nicht in <a>, auch klar: soll es nicht geben! )
so könnten wir schreiben b=aq+r mit r [mm] \not= [/mm] 0 und [mm] \sigma(r)< \sigma(a) [/mm] ( <-- b soll nicht ein Vielfaches von a sein, daher r [mm] \not= [/mm] 0, und irgendwie hat das mit der Definition von euklidischen Ringen zu tun, aber so ganz steige ich nicht durch: soll das heißen, dass wir die Definition des euklidischen Ringes, in dem wir uns befinden, anwenden, in dem b dann kein Vielfaches von a sein soll, aber eben der Rest, der beim Teilen von b durch a übrig bleibt, kleiner sein soll als a? )
Dann gilt aber auch r=b-aq [mm] \in [/mm] I ( <-- hier wurde nur die Gleichung umgestellt und da b [mm] \in [/mm] I und alle Vielfache von a in I liegen, muss auch r [mm] \in [/mm] I, oder? )
und das steht im Widerspruch zur Wahl von a. ( <-- warum ist das ein Widerspruch zur Definition von a? )
Wäre super, wenn mir hier jemand helfen könnte!
Liebe Grüße,
Lily
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:36 Do 04.08.2016 | | Autor: | hippias |
> Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring.
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> Beweis: Ist I [mm]\subset[/mm] R ein Ideal. Ist I = 0, so ist I =
> <0> ein Hauptideal.
> Sonst finden wir a [mm]\in[/mm] I \ 0 mit [mm]\sigma(a)[/mm]
> kleinstmöglich.
> Wir behaupten I=<a>. Gäbe es nämlich b [mm]\in[/mm] I \ <a>, so
> könnten wir schreiben b=aq+r mit r [mm]\not=[/mm] 0 und [mm]\sigma(r)< \sigma(a).[/mm]
> Dann gilt aber auch r=b-aq [mm]\in[/mm] I, und das steht im
> Widerspruch zur Wahl von a.
> Hallo!
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> Hier verstehe ich große Teile des Beweises leider nicht.
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> Ist I [mm]\subset[/mm] R ein Ideal.
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> Ist I = 0, so ist I = <0> ein Hauptideal. ( <-- so weit
> noch klar )
>
> Sonst finden wir a [mm]\in[/mm] I \ 0 mit [mm]\sigma(a)[/mm] kleinstmöglich.
> ( <-- warum soll [mm]\sigma(a)[/mm] so klein sein? )
Ich nehme an, Du möchtest eigentlich wissen, wieso es ein [mm] $a\in [/mm] I$ mit minimalen [mm] $\sigma(a)$ [/mm] gibt: das Bild von [mm] $\sigma$ [/mm] ist Teilmenge der natürlichen Zahlen.
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> Wir behaupten I=<a> ( <-- klar: wir wollen ja zeigen, dass
> jedes Ideal von nur einem Element aufgespannt wird )
>
> Gäbe es nämlich b [mm]\in[/mm] I \ <a> ( <-- also ein b, das in I
> liegt, aber nicht in <a>, auch klar: soll es nicht geben!
> )
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> so könnten wir schreiben b=aq+r mit r [mm]\not=[/mm] 0 und
> [mm]\sigma(r)< \sigma(a)[/mm] ( <-- b soll nicht ein Vielfaches von
> a sein, daher r [mm]\not=[/mm] 0, und irgendwie hat das mit der
> Definition von euklidischen Ringen zu tun,
Ja, das ist die Definition es Euklidischen Rings: (verallgemeinerte) Division mit Rest ist möglich.
> aber so ganz
> steige ich nicht durch: soll das heißen, dass wir die
> Definition des euklidischen Ringes, in dem wir uns
> befinden, anwenden, in dem b dann kein Vielfaches von a
> sein soll, aber eben der Rest, der beim Teilen von b durch
> a übrig bleibt, kleiner sein soll als a? )
>
> Dann gilt aber auch r=b-aq [mm]\in[/mm] I ( <-- hier wurde nur die
> Gleichung umgestellt und da b [mm]\in[/mm] I und alle Vielfache von
> a in I liegen, muss auch r [mm]\in[/mm] I, oder? )
Ja.
>
> und das steht im Widerspruch zur Wahl von a. ( <-- warum
> ist das ein Widerspruch zur Definition von a? )
[mm] $\sigma(a)$ [/mm] war minimal, aber [mm] $\sigma(r)< \sigma(a)$.
[/mm]
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> Wäre super, wenn mir hier jemand helfen könnte!
>
> Liebe Grüße,
> Lily
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:40 Fr 05.08.2016 | | Autor: | Mathe-Lily |
Achso, vielen Dank! Jetzt hab ich es kapiert! 
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