www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "mathematische Statistik" - empirischer Korrelationskoeffi
empirischer Korrelationskoeffi < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "mathematische Statistik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

empirischer Korrelationskoeffi: Verständnisfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:22 So 10.11.2019
Autor: sancho1980

Hallo!

Ich habe eine Frage zum Korrelationskoeffizienten, da ich grad irgendwie auf dem Schlauch stehe. Erstmal die Definition, wie sie bei mir im Buch steht:

"Gegeben seien die Wertepaare [mm] (x_1, y_1), [/mm] ..., [mm] (x_n, y_n), [/mm] wobei nicht alle [mm] x_i [/mm] gleich sind bzw. nicht alle [mm] y_i [/mm] gleich sind. Die Zahl

[mm] r_{xy} [/mm] = [mm] \bruch{s_{xy}}{s_x s_y} [/mm]

heißt (empirischer) Korrelationskoeffizient. Dabei ist

[mm] s_{xy} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n - 1} \summe_{i=1}^{n} (x_i [/mm] - [mm] \overline{x}) (y_i [/mm] - [mm] \overline{y}) [/mm]

die (empirische) Kovarianz,  [mm] \overline{x}, \overline{y} [/mm] sind die arithmetischen Mittelwerte und

[mm] s_x [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{1}{n - 1} \summe_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2}, [/mm]

[mm] s_y [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{1}{n - 1} \summe_{i=1}^{n} (y_i - \overline{y})^2} [/mm]

sind die (empirischen) Standardabweichungen der [mm] x_{i}- [/mm] bzw. [mm] y_{i}-Werte." [/mm]

Weiter steht dazu:

"Der Korrelationskoeffizient [mm] r_{xy} [/mm] ist so definiert, dass seine Werte immer zwischen -1 und +1 liegen, also

-1 [mm] \le r_{xy} \le [/mm] +1."

Außerdem:

"Die Werte +1 bzw. -1 nimmt [mm] r_{xy} [/mm] an, wenn alle Punkte [mm] (x_1, y_1), [/mm] ..., [mm] (x_n, y_n) [/mm] genau auf einer Geraden liegen, und zwar ist [mm] r_{xy} [/mm] = +1 genau dann, wenn alle Punkte auf einer Geraden mit positiver Steigung liegen und [mm] r_{xy} [/mm] = -1, wenn alle Punkte auf einer Geraden mit negativer Steigung liegen.

Warum? Setzen wir x = [mm] \bruch{1}{\wurzel{n - 1}} \pmat{ x_1 - \overline{x} \\ \vdots \\ x_n - \overline{x}} [/mm] und y = [mm] \bruch{1}{\wurzel{n - 1}} \pmat{ y_1 - \overline{y} \\ \vdots \\ y_n - \overline{y}}, [/mm] so gilt [mm] s_x [/mm] = ||x||, [mm] s_y [/mm] = ||y|| und [mm] s_{xy} [/mm] = <x, y>. Aus der Cauchy-Schwarz-Ungleichung folgt nun [mm] |r_{xy}| \le [/mm] 1, mit Gleichheit genau dann, wenn y = kx, wenn also [mm] y_i [/mm] = k [mm] x_i [/mm] + [mm] (\overline{y} [/mm] - [mm] k\overline{x})." [/mm]

Bereits als ich das las fragte ich mich: Oha, es gilt also genau dann

[mm] r_{xy} [/mm] = +1,

wenn

y = kx.

Gleichzeitg soll aber gelten, dass

[mm] r_{xy} [/mm] = -1,

wenn alle Punkte [mm] (x_i, y_i) [/mm] auf einer Geraden mit negativer Steigung liegen, wenn also

y = kx

mit beispielsweise

k = -1.

Kommt nur mir das widersprüchlich vor?

Auf den gleichen (vermeintlichen?) Widerspruch stoße ich, wenn ich das Ganze anschreibe.

1) [mm] y_i [/mm] := k [mm] x_i \Rightarrow \overline{y} [/mm] = k [mm] \overline{x}: [/mm]

1 = [mm] r_{xy} [/mm] = [mm] \bruch{\summe_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x}) (y_i - \overline{y})}{\wurzel{\summe_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2}\wurzel{\summe_{i=1}^{n} (y_i - \overline{y})^2}} [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = [mm] \bruch{k\wurzel{\summe_{i=1}^{n}(x_{i}^2 - 2 x_i \overline{}x + {\overline{x}}^2)}}{k\wurzel{\summe_{i=1}^{n}(x_{i}^2 - 2 x_i \overline{}x + {\overline{x}}^2)}} [/mm] w.A.

2) k := -1:

-1 = [mm] r_{xy} [/mm] = [mm] \bruch{\summe_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})(\overline{x} - x_i)}{\wurzel{\summe_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2}\wurzel{\summe_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2(\overline{x} - x_i)^2}} [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = [mm] \bruch{\summe_{i=1}^{n}(2 \overline{x} x_i - x_{i}^2 - \overline{x}^2)}{\summe_{i=1}^{n}(x_{i}^2 - 2 \overline{x} x_i + \overline{x}^2)} [/mm] w.A.

Um es auf den Punkt zu bringen. Gilt (für ein beliebiges k)

[mm] y_i [/mm] = k [mm] x_i, [/mm]

dann gilt

[mm] r_{xy} [/mm] = 1.

Gilt aber

k < 0,

dann gilt

[mm] r_{xy} [/mm] = -1 ???

        
Bezug
empirischer Korrelationskoeffi: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:38 So 10.11.2019
Autor: chrisno

Tatsächlich hast Du es nicht geschafft, mir einsichtlich zu machen, wo Du einen Widerspruch siehst.
Dass +1 beziehungsweise -1 herauskommt, hast Du offensichtlich nachgerechnet.
Ich vermute, dass das Ergebnis -1 dir nicht gefällt. Ich versuche es auf andere Art zu erklären:
Dass der Vorzeichenwechsel nur aus dem Zähler kommen kann, ist klar, da im Nenner eine Wurzel steht.
Ich schaue nun auf den Zähler: O.B.d.A setze ich an, dass die [mm] $x_i$ [/mm] aufsteigend sortiert sind. Wenn dann die Punkte auf einer fallenden Geraden liegen, dann sind die [mm] $y_i$ [/mm] entsprechend nach fallenden Werten sortiert. Dann sind alle Produkte $ [mm] (x_i [/mm] $ - $ [mm] \overline{x}) (y_i [/mm] $ - $ [mm] \overline{y}) [/mm] $ kleiner oder gleich Null. (Ein bisschen genauer müsste man das noch anschauen, aber mir geht es nur darum, das negative Vorzeichen klar zu machen.)


Bezug
        
Bezug
empirischer Korrelationskoeffi: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:09 So 10.11.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

dein Problem ist dein unsauberer Aufschrieb.

> Aus
> der Cauchy-Schwarz-Ungleichung folgt nun [mm]|r_{xy}| \le[/mm] 1,
> mit Gleichheit genau dann, wenn y = kx,

Korrekt: Halten wir also fest: Es gilt (Betrag beachten!)
[mm] $|r_{xy}| [/mm] = 1 [mm] \gdw [/mm] y = kx$ für irgendein k.
Hier wird erst mal keine Aussage über das Vorzeichen von k gemacht, aber eben auch nicht über das Vorzeichen von [mm] $r_{xy}$! [/mm]

Nun gilt dann also:

> [mm]r_{xy}[/mm] = +1,
>  
> wenn
>  
> y = kx.

Und man kann dann zeigen: Dann folgt $k>0$.

> Gleichzeitg soll aber gelten, dass

Wieso gleichzeitig? Es kann natürlich nur eines von beiden gelten: [mm] $r_{xy} [/mm] = 1$ oder [mm] $r_{xy} [/mm] = -1$

Je nachdem folgt daraus dann eben entweder $k>0$ oder $k<0$.

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
empirischer Korrelationskoeffi: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:20 So 10.11.2019
Autor: sancho1980


>  Und man kann dann zeigen: Dann folgt [mm]k>0[/mm].

Ok, mir ist grad aufgefallen, was ich übersehen hatte:

1 = [mm] r_{xy} [/mm] = [mm] \bruch{\summe_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x}) (y_i - \overline{y})}{\wurzel{\summe_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2}\wurzel{\summe_{i=1}^{n} (y_i - \overline{y})^2}} [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = [mm] \bruch{k\wurzel{\summe_{i=1}^{n}(x_{i}^2 - 2 x_i \overline{}x + {\overline{x}}^2)}}{k\wurzel{\summe_{i=1}^{n}(x_{i}^2 - 2 x_i \overline{}x + {\overline{x}}^2)}} [/mm] w.A.

Diese Umstellung war ungenau. Korrekt ist:

1 = [mm] r_{xy} [/mm] = [mm] \bruch{\summe_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x}) (y_i - \overline{y})}{\wurzel{\summe_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2}\wurzel{\summe_{i=1}^{n} (y_i - \overline{y})^2}} [/mm] = [mm] \ldots [/mm] = [mm] \bruch{k\wurzel{\summe_{i=1}^{n}(x_{i}^2 - 2 x_i \overline{}x + {\overline{x}}^2)}}{\wurzel{k^2}\wurzel{\summe_{i=1}^{n}(x_{i}^2 - 2 x_i \overline{}x + {\overline{x}}^2)}} [/mm] = [mm] \bruch{k}{\wurzel{k^2}} \Rightarrow [/mm] k = [mm] \wurzel{k^2} [/mm] also k >= 0

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "mathematische Statistik"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de