empirische Varianz, Mittelwert < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:55 Mi 24.06.2009 | | Autor: | ToniKa |
| Aufgabe | Berechnen Sie den Mittelwert und die empirische Varianz für die Tabelle aus Aufg. 11
(n ist die Summe der [mm] n_{k}):
[/mm]
Dabei bedeutet [mm] n_{k} [/mm] die Zahl der Quadrate auf der Karte von London mit genau k Raketentreffern.
Die Tabelle siehe unten
Nehmen wir an, die zu Grunde liegende Verteilung ist eine Binomialverteilung B(m, p),
wobei m = 535 die Zahl der Raketen ist. Welche Schätzung für p liefert der Mittelwert? |
Hallo an alle,
ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich die Aufgabe richtig gelöst habe,
ich hoffe, dass jemand mir vielleicht für den zweiten Teil der Aufgabe einen tipp geben könnte.
Die dazugehörige Tabelle:
[mm] \vmat{ k \\ n_{k}} \vmat{0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & >=6 \\ 229 & 211 & 93 & 35 & 7 & 1 & 0}
[/mm]
Für den Mittelwert: n = 576
[mm] \mu [/mm] = [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}x_{i}= \bruch{1}{576}(229*0+211*1+93*2+35*3+7*4+5*1)=\bruch{535}{576}= [/mm] 0,93
Für die empirische Varianz:
[mm] s^2=\bruch{1}{n-1}(\summe_{i=1}^{n}(x_{i}-\mu)^2)= \bruch{1}{575}*((229*0-0,93)^2+(211*1-0,93)^2*...)= [/mm] 156.4540685
Für p:
p = [mm] \bruch{0,93}{535}=0,0017
[/mm]
Danke im Voraus
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Ich kann mich da gerade nicht reindenken, deshalb nur eine erste Mitteilung:
Du hast einen Fehler in deiner Varianz-Berechnung:
Die 229, 211 usw. musst du vor die jeweilige Klammer ziehen! Überleg mal, wieso...
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:37 Do 25.06.2009 | | Autor: | ToniKa |
Hallo, danke für Deine Mitteilung,
ich vestehe aber leider nicht, wieso ich die Zahlen vor die Klammer ziehen muss...
Gruß
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[ERSTMAL EIN TEIL DEINES BEITRAGS]
Hallo an alle,
ich bin mir nicht ganz sicher, ob ich die Aufgabe richtig gelöst habe,
ich hoffe, dass jemand mir vielleicht für den zweiten Teil der Aufgabe einen tipp geben könnte.
Die dazugehörige Tabelle:
$ [mm] \vmat{ k \\ n_{k}} \vmat{0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & >=6 \\ 229 & 211 & 93 & 35 & 7 & 1 & 0} [/mm] $
Für den Mittelwert: n = 576
$ [mm] \mu [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{n}\summe_{i=1}^{n}x_{i}= \bruch{1}{576}(229\cdot{}0+211\cdot{}1+93\cdot{}2+35\cdot{}3+7\cdot{}4+5\cdot{}1)=\bruch{535}{576}= [/mm] $ 0,93
Für die empirische Varianz:
$ [mm] s^2=\bruch{1}{n-1}(\summe_{i=1}^{n}(x_{i}-\mu)^2)= \bruch{1}{575}\cdot{}((229\cdot{}0-0,93)^2+(211\cdot{}1-0,93)^2\cdot{}...)= [/mm] $ 156.4540685
[HIER EIN HINWEIS]
Du willst folgendes summieren:
[mm] (0-0,93)^2 [/mm] + [mm] (0-0,93)^2+.... [/mm] + [mm] (0-0,93)^2+(1-0,93)^2 [/mm] + .... usw.
Die ersten Terme (von denen es 229 Stück gibt) fasst du dann falsch zusammen, richtig ist folgendes:
[mm]229*(0-0,93)^2 + 211*(1-0,93)^2 + ...[/mm]
Das meinte er mit "vor die Klammer ziehen".
[HIER WIEDER DEINS]
Für p:
p = $ [mm] \bruch{0,93}{535}=0,0017 [/mm] $
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
[UND MEIN KOMMENTAR]
Das ist so gemeint:
Deine Zahlen sind ja eine Statistik, d.h. "echt vorhandene" Werte, zu denen du z.B. die oben genannten Kennzahlen ausrechnen kannst.
Wenn du daraus jetzt eine Vorhersage für die Zukunft machen willst, musst du die W-Rechnung bemühen und ein passendes Modell finden, das zu deinem konkreten Experiment passt.
Jetzt sollst du also annehmen, dass das Modell der Binomialverteilung passt, wobei die Gesamtzahl 535 sein soll. Jetzt kannst du dir überlegen, was genau dem Mittelwert in diesem Modell entspricht. Das ist der Erwartungswert. Den Erwartungswert einer binomialverteilten Zufallsgröße kannst du leicht berechnen (oder nachschauen): [mm]E(X) = n*p[/mm].
Den Mittelwert kannst du jetzt als "Schätzung" für den Erwartungswert wählen und damit p berechnen. Aus diesen Überlegungen ergibt sich also genau deine Rechnung.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:10 So 28.06.2009 | | Autor: | ToniKa |
Hallo,
ich bedanke mich bei Euch allen für die Antworten
Beste Grüsse
ToniKa
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Hallo ToniKa.
Ich kann in Deinen Berechnungen für den Mittelwert [mm] \overline{x} [/mm] (Anm.: griechische Buchstaben reserviert man für gewöhnlich für die wahren Parameter. [mm] \overline{x} [/mm] ist ja nur der Schätzer für [mm] \mu) [/mm] und die empirische Varianz [mm] s^{2} [/mm] keinen Fehler entdecken. Insbesondere der Sinn des Vorschlags, irgendetwas vor die Klammer zu ziehen, erschliesst sich mir nicht.
Die Berechnung der Wahrscheinlichkeit p sieht jedoch seltsam aus, da der angegebene Wert unabhängig von der Anzahl der Raketentreffer ist.
Das lässt sich leicht erkennen, wenn man [mm] \overline{x} [/mm] durch [mm] \bruch{\summe_{i=1}^{5} x_{i}*k_{i}}{n} [/mm] ersetzt. Nun kürzen sich die Gesamtzahl der Raketentreffer heraus.
Was übrig bleibt ist im Grunde [mm] \bruch{1}{n} [/mm] und das wäre die Wahrscheinlichkeit, sich in einem bestimmten, zufällig ausgewählten Qudranten zu befinden.
Leider ist in der Angabe nicht näher beschrieben, welche Wahrscheinlichkeit genau mit p bezeichnet wird und ausgerechnet werden soll.
Kannst Du das näher spezifizieren?
Ansonsten ist es schwierig eine Lösung zu finden, da nicht exakt feststeht, was p eigentlich sein soll.
Gruß.
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