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eXponentialfunktion: Beweis Eulerfunktion
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:15 Fr 03.01.2014
Autor: rosapanther

Hey
ich beschäftige mich gerade mit den Beweisen der Eulerfuntkion.
Es geht insbesondere um die Funtion exp(-ix) = cos(x) - sin(x)
mein Ansatz:

Es gilt: [mm] i^2=-1 [/mm] also:
[mm] i^{2n}=(-1)^n [/mm] und [mm] i^{2n+1}=(-1)^n*i [/mm]
Dann gilt wegen der Potenzreihenentwicklung von [mm] e^x: [/mm]
[mm] e^{-ix}=\summe_{k=0}^{\infty}(-ix)^{k}/k! [/mm]

aber wie kann man hier weitermachen? wäre das negative Vorzeichen nicht da, könnte ich den Bruch ja aufspalten. Aber so stehe ich am Schlauch..bitte helft mit, ich muss dies dringend für die Klausur beweisen können

LG


        
Bezug
eXponentialfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:54 Fr 03.01.2014
Autor: schachuzipus

Hallo,


> Hey
> ich beschäftige mich gerade mit den Beweisen der
> Eulerfuntkion.
> Es geht insbesondere um die Funtion exp(-ix) = cos(x) - sin(x)

Da fehlt doch ein i ...

[mm] $\exp(-ix)=\cos(x)-i\cdot{}\sin(x)$ [/mm]


> mein Ansatz:

>

> Es gilt: [mm]i^2=-1[/mm] also:
> [mm]i^{2n}=(-1)^n[/mm] und [mm]i^{2n+1}=(-1)^n*i[/mm]
> Dann gilt wegen der Potenzreihenentwicklung von [mm]e^x:[/mm]
> [mm]e^{-ix}=\summe_{k=0}^{\infty}(-ix)^{k}/k![/mm]

>

> aber wie kann man hier weitermachen? wäre das negative
> Vorzeichen nicht da, könnte ich den Bruch ja aufspalten.

Teile die Summe in $k$ gerade und $k$ ungerade auf.

Aus der Summe mit $k$ ungerade, kannst du ein i als Faktor vor die Summe ziehen ...

Du hast doch schon die ganze Vorarbeit geleistet ...

> Aber so stehe ich am Schlauch..bitte helft mit, ich muss
> dies dringend für die Klausur beweisen können

>

> LG

>

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
eXponentialfunktion: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:00 Fr 03.01.2014
Autor: rosapanther

also so:
[mm] =\sum_{k=0}^{\infty}(-ix)^{2k}/(2k)!+\sum{k=0}{\infty}((-ix)^{2k+1}/(2k+1) [/mm]
[mm] =\sum_{k=0}{\infty}((-i)^{2k}*(x)^{2k})/(2k)!+\sum{k=0}{\infty}((-i)^{2k+1}*(x)^{2k+1})/(2k+1)! [/mm]
[mm] =\sum_{k=0}{\infty}(-1)^{k}/(2k)!*(x)^{2k}+\sum_{k=0}{\infty}(i*(1)^{k}*(x)^{2k+1}/(2k+1) [/mm]
[mm] =cos(x)-i*\sum_{k=0}{\infty}(1)^{k}*(x)^{2k+1}/(2k+1)!=cos(x)-i*sin(x) [/mm]

richtig?

Danke schonmal :-)

Bezug
                        
Bezug
eXponentialfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 04:11 Sa 04.01.2014
Autor: DieAcht

Hallo,

> also so:
>  
> [mm]=\sum_{k=0}^{\infty}(-ix)^{2k}/(2k)!+\sum{k=0}{\infty}((-ix)^{2k+1}/(2k+1)[/mm]
>  
> [mm]=\sum_{k=0}{\infty}((-i)^{2k}*(x)^{2k})/(2k)!+\sum{k=0}{\infty}((-i)^{2k+1}*(x)^{2k+1})/(2k+1)![/mm]
>  
> [mm]=\sum_{k=0}{\infty}(-1)^{k}/(2k)!*(x)^{2k}+\sum_{k=0}{\infty}(i*(1)^{k}*(x)^{2k+1}/(2k+1)[/mm]
>  
> [mm]=cos(x)-i*\sum_{k=0}{\infty}(1)^{k}*(x)^{2k+1}/(2k+1)!=cos(x)-i*sin(x)[/mm]
>  
> richtig?

Das kann man kaum lesen und es fehlen Indizes!

> Danke schonmal :-)

DieAcht

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Bezug
eXponentialfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:18 Sa 04.01.2014
Autor: DieAcht

Hallo,


Es gilt:

      [mm] i^{2n}=(i^2)^n=(-1)^n [/mm] bzw. [mm] i^{2n+1}=i*i^{2n}=i(-1)^n [/mm]

Daraus folgt:

      [mm] e^{-ix}=\summe_{k=0}^{\infty}\frac{(-ix)^k}{k!}=\summe_{n=0}^{\infty}\frac{(-ix)^{2n}}{(2n)!}+\summe_{n=0}^{\infty}\frac{(-ix)^{2n+1}}{(2n+1)!}=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}-i\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=\cos(x)-i\sin(x) [/mm]


DieAcht

Bezug
                                
Bezug
eXponentialfunktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:41 Sa 04.01.2014
Autor: rosapanther


> Hallo,
>  
>
> Es gilt:
>  
> [mm]i^{2n}=(i^2)^n=(-1)^n[/mm] bzw. [mm]i^{2n+1}=i*i^{2n}=i(-1)^n[/mm]
>  
> Daraus folgt:
>  
> [mm][mm] e^{-ix}=\summe_{k=0}^{\infty}\frac{(-ix)^k}{k!}=\summe_{n=0}^{\infty}\frac{(-ix)^{2n}}{(2n)!}+\summe_{n=0}^{\infty}\frac{(-ix)^{2n+1}}{(2n+1)!}=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}-i\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=\cos(x)-i\sin(x) [/mm]

Wie erhälst du am Ende die [mm] (-1)^n [/mm] nach dem letztem Summenzeichen? denn [mm] (-i)^{2k} [/mm] = [mm] 1^{k} [/mm] * -i
wie kommt man dann auf -1?

tut mir leid, wenn ich hier am Schlauch stehen


Bezug
                                        
Bezug
eXponentialfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:19 Sa 04.01.2014
Autor: DieAcht


> > Hallo,
>  >  
> >
> > Es gilt:
>  >  
> > [mm]i^{2n}=(i^2)^n=(-1)^n[/mm] bzw. [mm]i^{2n+1}=i*i^{2n}=i(-1)^n[/mm]
>  >  
> > Daraus folgt:
>  >  
> >
> [mm][mm]e^{-ix}=\summe_{k=0}^{\infty}\frac{(-ix)^k}{k!}=\summe_{n=0}^{\infty}\frac{(-ix)^{2n}}{(2n)!}+\summe_{n=0}^{\infty}\frac{(-ix)^{2n+1}}{(2n+1)!}=\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}-i\summe_{n=0}^{\infty}(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}=\cos(x)-i\sin(x)[/mm]

> Wie erhälst du am Ende die [mm](-1)^n[/mm] nach dem letztem Summenzeichen? denn[mm](-i)^{2k}[/mm] = [mm]1^{k}[/mm] * -i

Wie kommst du denn dadrauf?

> wie kommt man dann auf -1?

Siehe oben.

      [mm]i^{2n}=(i^2)^n=(-1)^n[/mm] bzw. [mm]i^{2n+1}=i*i^{2n}=i(-1)^n[/mm]

Oder meinst du das letzte Minuszeichen vor der Summe?

      [mm] $(-ix)^{2n+1}=(-1)^{2n+1}*i^{2n+1}*x^{2n+1}=(-1)^{2n}*(-1)^{1}*i^{2n+1}*x^{2n+1}=-(i^{2n+1}*x^{2n+1})=-(i(-1)^n*x^{2n+1}) [/mm]

Dann wurde $-i$ vor die Summe gebracht.

> tut mir leid, wenn ich hier am Schlauch stehen


DieAcht

Bezug
                                                
Bezug
eXponentialfunktion: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:48 Sa 04.01.2014
Autor: rosapanther



Siehe oben.

[mm]i^{2n}=(i^2)^n=(-1)^n[/mm] bzw. [mm]i^{2n+1}=i*i^{2n}=i(-1)^n[/mm]

das verstehe ich. das gilt ja für [mm] i^{2k+1} [/mm] aber wieso gilt das gleiche für (-i)

Oder meinst du das letzte Minuszeichen vor der Summe?

nene. ich meine die [mm] (-1)^{n} [/mm] . denn wenn ich [mm] (-i)^{2k+1} [/mm] habe ist das doch [mm] (-i)^2 [/mm] = 1  und [mm] 1^{k} [/mm] * -i  erhalte ich dann am Ende. wie kommst du denn auf (-1)


vielen lieben Dank

Bezug
                                                        
Bezug
eXponentialfunktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:57 Sa 04.01.2014
Autor: reverend

Hallo rosapanther,

vielleicht ist Dir mit folgender Korrektur ja schon geholfen:

[mm] (-i)^2=i^2=-1. [/mm]

Das ist etwas anderes als [mm] -i^2=1, [/mm] was auch stimmt.

Falsch ist jedenfalls Deine Rechnung [mm] \red{(-i)^2=1}. [/mm]

Grüße
reverend

Bezug
                                                        
Bezug
eXponentialfunktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:23 Sa 04.01.2014
Autor: DieAcht

Hallo,

reverend hat eigentlich alles gesagt.

Du kannst das Minuszeichen auch vorher rausziehen, falls es dir Probleme macht, etwa so:

      [mm] (-a)^2=(-1)^2*a^2=1*a=a [/mm]


Gruß
DieAcht

Bezug
                                                                
Bezug
eXponentialfunktion: achso
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:05 Sa 04.01.2014
Autor: rosapanther

vielen Dank :-) das hilft mir

Bezug
        
Bezug
eXponentialfunktion: Alternativ
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:20 Sa 04.01.2014
Autor: DieAcht

Hallo,


> Hey
>  ich beschäftige mich gerade mit den Beweisen der
> Eulerfuntkion.
>  Es geht insbesondere um die Funtion exp(-ix) = cos(x) -
> sin(x)
>  mein Ansatz:
>  
> Es gilt: [mm]i^2=-1[/mm] also:
>  [mm]i^{2n}=(-1)^n[/mm] und [mm]i^{2n+1}=(-1)^n*i[/mm]
>  Dann gilt wegen der Potenzreihenentwicklung von [mm]e^x:[/mm]
>  [mm]e^{-ix}=\summe_{k=0}^{\infty}(-ix)^{k}/k![/mm]
>  
> aber wie kann man hier weitermachen? wäre das negative
> Vorzeichen nicht da, könnte ich den Bruch ja aufspalten.
> Aber so stehe ich am Schlauch..bitte helft mit, ich muss
> dies dringend für die Klausur beweisen können
>  
> LG
>  

Wenn ihr das eingeführt habt, dann habt ihr bestimmt auch folgende Zusammenhänge:

      [mm] \cos(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2} [/mm] bzw. [mm] \sin(x)=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i} [/mm] für alle [mm] x\in\IR [/mm]

Damit gilt:

      [mm] \cos(x)-i\sin(x)=\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}-i*\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}=\frac{e^{ix}+e^{-ix}-(e^{ix}-e^{-ix})}{2}=\frac{2e^{-ix}}{2}=e^{-ix} [/mm]


DieAcht

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