charakteristische Polynom < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:38 Sa 07.07.2007 | | Autor: | jaylo |
Hallo liebe Community,
und zwar muss ich bei dem char. Polynom immer solange rechnen.
Wenn ich die das char.Polynom habe versuche ich immer MIT EINSETZEN meine Nullstelle zubekommen.
Z.B.: [mm] \lambda^{3}-9*\lambda^{2}-9*\lambda+54
[/mm]
Versuche ich dann zuerst meine Nullstelle zubekommen.
In dem Fall ist sie (x-3), aber in der Klausur darf ich keinen Taschenrechner benutzen und deswegen ist das zu Zeit Intensive.
Gibts einen Bessere Lösung?
- Faktorisieren (ist auch ziemlich kopliziert)
Wäre euch für ne schnelle Antowrt dankbar.
Gruß
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> Wenn ich die das char.Polynom habe versuche ich immer MIT
> EINSETZEN meine Nullstelle zubekommen.
>
> Z.B.: [mm]\lambda^{3}-9*\lambda^{2}-9*\lambda+54[/mm]
Hallo,
bei Klausuraufgaben ohne Taschenrechner, bei denen man ganzzahlige Lösungen erwarten kann, ist es bei normierten, ganzzahligen Polynomen lohnend, zunächst die ganzzahligen Teiler des Summanden ohne [mm] \lambda [/mm] durchzuprobieren. Hier also die Teiler von 54, als da wären [mm] \pm 1,\pm [/mm] 2, [mm] \pm [/mm] 3, [mm] \pm [/mm] 6 usw. Mit dem kleinsten beginnen. Da Klausuraufgaben in der Regel "freundlich" gestellt sind, kommt man so meistens zum Ziel.
Den entsprechenden Linearfaktor dann abspalten, die Bearbeitung des verbleibenden quadratischen Polynoms zur Bestimmung eventueller weiterer Nullstellen ist dann ja kein Problem mehr.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:57 Sa 07.07.2007 | | Autor: | jaylo |
Hallo Angela,
ich wäre dir sehr sehr dankbar, wenn du das anhand des obigen Beispiels also Musterbeispiel vorrechnen könntest.
Gruß v. Jaylo
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Ich hab' eben nachgerechnet.
Bei dem von Dir gegebenen Polynom klappt das mit den Teilern nicht. Es hat keine ganzzahligen Nullstellen.
Entgegen Deiner Annahme ist 3 keine Nullstelle.
Wenn Du nicht die Cardanoformeln nehmen willst, mußt Du nähern, was ohne TR extrem aufwendig ist.
Hast Du vielleicht das falsche Polynom angegeben?
Gruß v. Angela
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:24 Sa 07.07.2007 | | Autor: | Martinius |
Hallo Jaylo,
Wenn von den Lehrpersonen in Klausuren "freundliche" Aufgaben gestellt werden, kann man meistens die rationalen Nullstellen rationaler Polynome systematisch raten:
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.de/mde/fragenantworten/erstehilfe/nullstellenpolynome/nullstellenpolynomerational.html
D. h. bei deinem Polynom
[mm]\lambda^{3}-9*\lambda^{2}-9*\lambda+54 = 0[/mm]
prüft man zuerst die Teiler des absoluten Gliedes 54, d. h.: [mm] \pm [/mm] 1, [mm] \pm [/mm] 2, [mm] \pm [/mm] 3, [mm] \pm [/mm] 6, [mm] \pm [/mm] 9, [mm] \pm [/mm] 18, [mm] \pm [/mm] 27, [mm] \pm [/mm] 54 daraufhin, ob sie evtl. Nullstellen sind.
Leider hat man mit dieser Methode keinen Erfolg bei diesem Polynom; es ist "benutzerunfreundlich".
Die Nullstellen sind, nach meinem CAS,
[mm] \lambda_{1} [/mm] = -2,5824...
[mm] \lambda_{2} [/mm] = 2,2377...
[mm] \lambda_{3} [/mm] = 9,3447...
LG, Martinius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:00 Sa 07.07.2007 | | Autor: | jaylo |
Tut mir außerordentlich leid, habe das falsche Polynom beschrieben.
Es ist nicht => $ [mm] \lambda^{3}-9\cdot{}\lambda^{2}-9\cdot{}\lambda+54 [/mm] = 0 $
sonder es ist
$ [mm] \lambda^{3}-6\cdot{}\lambda^{2}-9\cdot{}\lambda+54 [/mm] = 0 $
Und es kommt raus [mm] \lambda [/mm] = 3, [mm] \lambda [/mm] = -3 und [mm] \lambda [/mm] = 6
Habe es so berechnet:
Habe jeweils für den Teiler [mm] \pm1, \pm2 [/mm] und [mm] \pm [/mm] 3 die Nullstelle versucht zuberechnen.
Mit + 3 habe ich die Nullstelle (=0) bekommen. Und dann die Polynomdivision benutzt und zwar so:
$ [mm] \lambda^{3}-6\cdot{}\lambda^{2}-9\cdot{}\lambda+54 [/mm] = 0 $ : [mm] (\lambda [/mm] - 3) => und habe dann meine EW erhalten.
Gruß v. Jaylo
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> [mm]\lambda^{3}-6\cdot{}\lambda^{2}-9\cdot{}\lambda+54 = 0[/mm]
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> Und es kommt raus [mm]\lambda[/mm] = 3, [mm]\lambda[/mm] = -3 und [mm]\lambda[/mm] =
> 6
>
> Habe es so berechnet:
>
> Habe jeweils für den Teiler [mm]\pm1, \pm2[/mm] und [mm]\pm[/mm] 3 die
> Nullstelle versucht zuberechnen.
Genau. Du hast eingesetzt und geschaut, ob das Nullstellen sind.
Als Du die Nullstelle 3 hattest, hast Du mithilfe von Polynomdivision das Polynom zerlegt in (x-3)*q(x).
q(x) ist ein quadratische Polynom, dessen Nullstellen konntest Du leicht bestimmen.
Was Du schreibst, klingt sinnvoll.
Ich glaube, Du hast es richtig verstanden.
Gruß v. Angela
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