www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Funktionalanalysis" - beschränkter linearer Operator
beschränkter linearer Operator < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionalanalysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

beschränkter linearer Operator: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:36 Mo 21.05.2018
Autor: Noya

Aufgabe
Es sei m = [mm] (m_k)_k \in [/mm] [mm] l^{\infty} [/mm]   und 1 [mm] \le [/mm] p < [mm] \infty. [/mm] Zeige, dass durch [mm] M(x)=(m_kx_k)_k, [/mm] x = [mm] (x_k)_k \in l^p [/mm] ein beschränkter linearer Operator M [mm] :l^p \to l^p [/mm] definiert ist. Bestimme zudem [mm] \parallel M\parallel_{L(l^p,l^p )} [/mm]

Hallo ihr Lieben,

[mm] \parallel M(x)\parallel_p [/mm] = [mm] (\sum_{k=1}^{\infty}|m_kx_k|^p)^\bruch{1}{p}\le \sup_{k \in \IN} |m_k| (\sum_{k=1}^{\infty}|x_k|^p)^\bruch{1}{p}=\parallel m\parallel_{\infty} \parallel x\parallel_{p} [/mm] (2)
also ist M wohldef. und beschränkt.
Und wegen
[mm] M(\lambda x+\mu y)=(m_k(\lambda x_k+\mu y_k))_{k \in \IN} [/mm] = [mm] \lambda(m_kx_k)+ \mu(m_ky_k)=\lambda M(x)+\mu [/mm] M(y) und somit linear also M [mm] \in L(l^p,l^p)= L(l^p) [/mm]



Wäre das so in Ordnung?

Mein problem liegt mehr darin [mm] \parallel M\parallel_{L^(l^p)} [/mm] zu bestimmen.

[mm] L(X,Y)=\{A:X \to Y; \text{ A linear und stetig}\} [/mm] = [mm] \{A:X \to Y; \text{A linear und beschränkt}\} [/mm]
[mm] \parallel A\parallel_{L(X,Y)}=inf \{c\ge 0, \parallel Ax \parallel_{Y} \le c \parallel x\parallel_X \forall x \in X\}=\sup_{x \in B_x}\parallel Ax\parallel_{Y} =\sup_{x \in X/\{0\}} \bruch{\parallel Ax \parallel_{Y}}{\parallel x\parallel_X}=\sup_{x \in S_x} \parallel Ax\parallel_{Y} [/mm] (3)
wobei [mm] S_x=\{x \in X: \parallel x\parallel_X=1\} [/mm] und [mm] B_x=\overline{B(0,1)}=\{x \inX : \parallel x\parallel_x \le 1\} [/mm] und Ax=A(x)
und

[mm] \parallel [/mm] Ax [mm] \parallel_{Y} \le \parallel [/mm] A [mm] \parallel_{L(X,Y)} \parallel [/mm] x [mm] \parallel_X [/mm] (1)


ich weiß also aus (1), dass
[mm] \parallel [/mm] M [mm] \parallel_{L(l^p)} \ge \bruch{\parallel Mx \parallel_{p}}{\parallel x \parallel_p} [/mm]
und aus (2)
[mm] \parallel M(x)\parallel_p \le \sup_{k \in \IN} |m_k| (\sum_{k=1}^{\infty}|x_k|^p)^\bruch{1}{p}=\parallel m\parallel_{\infty} \parallel x\parallel_{p} [/mm]
und ich weiß aus (3)
[mm] \parallel M\parallel_{L(l^p)}=\sup_{\parallel x\parallel_p=1} \parallel Mx\parallel_p=\sup_{\parallel x\parallel_p \le 1} \parallel Mx\parallel_p \underbrace{\le}_{(2)} \sup_{\parallel x\parallel_p \le 1} \parallel m\parallel_{\infty} \parallel x\parallel_{p} [/mm]
aber irgendwie komme ich hier auf keinen grünen zweig...
Meine Idee ist, dass [mm] \parallel M\parallel_{L(l^p)}= \parallel m\parallel_{\infty} [/mm] aber ich weiß nicht wie ich das zeigen soll.

Kann mir da jemand bei helfen?

Vielen dank und schöne Pfingsten
Noya

        
Bezug
beschränkter linearer Operator: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:58 Mo 21.05.2018
Autor: donquijote


> Es sei m = [mm](m_k)_k \in[/mm] [mm]l^{\infty}[/mm]  und 1 [mm]\le[/mm] p < [mm]\infty.[/mm]
> Zeige, dass durch [mm]M(x)=(m_kx_k)_k,[/mm] x = [mm](x_k)_k \in l^p[/mm] ein
> beschränkter linearer Operator M [mm]:l^p \to l^p[/mm] definiert
> ist. Bestimme zudem [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p,l^p )}[/mm]
>  
> Hallo ihr Lieben,
>  
> [mm]\parallel M(x)\parallel_p[/mm] =
> [mm](\sum_{k=1}^{\infty}|m_kx_k|^p)^\bruch{1}{p}\le \sup_{k \in \IN} |m_k| (\sum_{k=1}^{\infty}|x_k|^p)^\bruch{1}{p}=\parallel m\parallel_{\infty} \parallel x\parallel_{p}[/mm]
> (2)
>  also ist M wohldef. und beschränkt.
>  Und wegen
>  [mm]M(\lambda x+\mu y)=(m_k(\lambda x_k+\mu y_k))_{k \in \IN}[/mm]
> = [mm]\lambda(m_kx_k)+ \mu(m_ky_k)=\lambda M(x)+\mu[/mm] M(y) und
> somit linear also M [mm]\in L(l^p,l^p)= L(l^p)[/mm]
>  
>
>
> Wäre das so in Ordnung?
>
> Mein problem liegt mehr darin [mm]\parallel M\parallel_{L^(l^p)}[/mm]
> zu bestimmen.
>  
> [mm]L(X,Y)=\{A:X \to Y; \text{ A linear und stetig}\}[/mm] = [mm]\{A:X \to Y; \text{A linear und beschränkt}\}[/mm]
> [mm]\parallel A\parallel_{L(X,Y)}=inf \{c\ge 0, \parallel Ax \parallel_{Y} \le c \parallel x\parallel_X \forall x \in X\}=\sup_{x \in B_x}\parallel Ax\parallel_{Y} =\sup_{x \in X/\{0\}} \bruch{\parallel Ax \parallel_{Y}}{\parallel x\parallel_X}=\sup_{x \in S_x} \parallel Ax\parallel_{Y}[/mm]
> (3)
>  wobei [mm]S_x=\{x \in X: \parallel x\parallel_X=1\}[/mm] und
> [mm]B_x=\overline{B(0,1)}=\{x \inX : \parallel x\parallel_x \le 1\}[/mm]
> und Ax=A(x)
>  und
>  
> [mm]\parallel[/mm] Ax [mm]\parallel_{Y} \le \parallel[/mm] A
> [mm]\parallel_{L(X,Y)} \parallel[/mm] x [mm]\parallel_X[/mm] (1)
>  
>
> ich weiß also aus (1), dass
> [mm]\parallel[/mm] M [mm]\parallel_{L(l^p)} \ge \bruch{\parallel Mx \parallel_{p}}{\parallel x \parallel_p}[/mm]
>  
> und aus (2)
>  [mm]\parallel M(x)\parallel_p \le \sup_{k \in \IN} |m_k| (\sum_{k=1}^{\infty}|x_k|^p)^\bruch{1}{p}=\parallel m\parallel_{\infty} \parallel x\parallel_{p}[/mm]
>  
> und ich weiß aus (3)
>  [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)}=\sup_{\parallel x\parallel_p=1} \parallel Mx\parallel_p=\sup_{\parallel x\parallel_p \le 1} \parallel Mx\parallel_p \underbrace{\le}_{(2)} \sup_{\parallel x\parallel_p \le 1} \parallel m\parallel_{\infty} \parallel x\parallel_{p}[/mm]
>  
> aber irgendwie komme ich hier auf keinen grünen zweig...
>  Meine Idee ist, dass [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)}= \parallel m\parallel_{\infty}[/mm]
> aber ich weiß nicht wie ich das zeigen soll.

Hallo,
[mm]\le[/mm] sollte klar sein (das folgt schon aus (2)).
Um zu zeigen, dass Gleichheit gilt, musst du nur noch ein [mm]x\ne 0[/mm] finden mit [mm]\|M(x)\|_p=\|m\|_{\infty}*\|x\|_p[/mm].

PS. Der erste Teil deiner Lösung scheint mir in Ordnung.

>  
> Kann mir da jemand bei helfen?
>  
> Vielen dank und schöne Pfingsten
>  Noya


Bezug
                
Bezug
beschränkter linearer Operator: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:13 Mo 21.05.2018
Autor: Noya

also ich weiß, dass

[mm] \parallel A\parallel_{L(l^p)}=\sup_{x \in X/\{0\}} \bruch{\parallel Ax \parallel_{Y}}{\parallel x\parallel_X}\le \sup_{x \in X/\{0\}} \parallel m\parallel_{\infty} [/mm] =  [mm] \parallel m\parallel_{\infty} [/mm]

und jetzt muss ich noch ein [mm] x\not= [/mm] 0 finden, sodass
[mm] \parallel m\parallel_{\infty}\le \parallel A\parallel_{L(l^p)}. [/mm]
Und dann würde folgen  [mm] \parallel m\parallel_{\infty}=\parallel A\parallel_{L(l^p)} [/mm]
so die Idee. :D

Wähle ich mir jetzt ein [mm] x_k=x=\delta_{kj}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } k \not= j \\ 1, & \mbox{für } k=j \end{cases} [/mm] mit [mm] j\in \IN [/mm]
dann wäre [mm] \parallel \delta_{kj}\parallel_p=1 [/mm]

und somit
[mm] \parallel M\parallel_{L(l^p)}=\sup_{x \in S_x}\parallel Mx\parallel_p \ge \parallel M(\delta_{kj})\parallel_p=(\sum_{k=1}^{\infty}|m_kx_k|^p)^{\bruch{1}{p}}=|m_j| [/mm]
also ist doch auch
[mm] \parallel M\parallel_{L(l^p)}\ge \sup_{j \in \IN} |m_j| =\parallel m\parallel_{\infty} [/mm]
und somit

[mm] \parallel M\parallel_{L(l^p)}=\parallel m\parallel_{\infty}. [/mm]

Wäre das so in Ordnung?

Vielen Dank und einen schönen Abend noch

Noya



Bezug
                        
Bezug
beschränkter linearer Operator: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:33 Mo 21.05.2018
Autor: donquijote


> also ich weiß, dass
>  
> [mm]\parallel A\parallel_{L(l^p)}=\sup_{x \in X/\{0\}} \bruch{\parallel Ax \parallel_{Y}}{\parallel x\parallel_X}\le \sup_{x \in X/\{0\}} \parallel m\parallel_{\infty}[/mm]
> =  [mm]\parallel m\parallel_{\infty}[/mm]
>  
> und jetzt muss ich noch ein [mm]x\not=[/mm] 0 finden, sodass
>   [mm]\parallel m\parallel_{\infty}\le \parallel A\parallel_{L(l^p)}.[/mm]
>  
> Und dann würde folgen  [mm]\parallel m\parallel_{\infty}=\parallel A\parallel_{L(l^p)}[/mm]
>  
> so die Idee. :D
>  
> Wähle ich mir jetzt ein [mm]x_k=x=\delta_{kj}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } k \not= j \\ 1, & \mbox{für } k=j \end{cases}[/mm]
> mit [mm]j\in \IN[/mm]
>  dann wäre [mm]\parallel \delta_{kj}\parallel_p=1[/mm]
>  
> und somit
>  [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)}=\sup_{x \in S_x}\parallel Mx\parallel_p \ge \parallel M(\delta_{kj})\parallel_p=(\sum_{k=1}^{\infty}|m_kx_k|^p)^{\bruch{1}{p}}=|m_j|[/mm]
>  
> also ist doch auch
>  [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)}\ge \sup_{j \in \IN} |m_j| =\parallel m\parallel_{\infty}[/mm]
>  
> und somit
>  
> [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)}=\parallel m\parallel_{\infty}.[/mm]
>  
> Wäre das so in Ordnung?

fast.
Das war auch meine Idee, die funktioniert, wenn es ein k gibt mit [mm]|m_k|=\|m\|_{\infty}[/mm].
Allerdings ist nicht garantiert, dass in der Supremumsnorm das Maximum [mm]\|m\|_{\infty}=\sup_k|m_k|[/mm] tatsächlich angenommen wird (was mir erst später aufgefallen ist). Wenn nicht, gibt es zu jedem [mm]\epsilon>0[/mm] ein k mit [mm]|m_k|>\|m\|_{\infty}-\epsilon[/mm], mit dem analog gefolgert werden kann dass [mm]\|M\|\ge 1-\epsilon[/mm].

>  
> Vielen Dank und einen schönen Abend noch
>  
> Noya
>  
>  


Bezug
                                
Bezug
beschränkter linearer Operator: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:02 Di 22.05.2018
Autor: Noya


> fast.
>  Das war auch meine Idee, die funktioniert, wenn es ein k
> gibt mit [mm]|m_k|=\|m\|_{\infty}[/mm].
>  Allerdings ist nicht garantiert, dass in der Supremumsnorm
> das Maximum [mm]\|m\|_{\infty}=\sup_k|m_k|[/mm] tatsächlich
> angenommen wird (was mir erst später aufgefallen ist).
> Wenn nicht, gibt es zu jedem [mm]\epsilon>0[/mm] ein k mit
> [mm]|m_k|>\|m\|_{\infty}-\epsilon[/mm], mit dem analog gefolgert
> werden kann dass [mm]\|M\|\ge 1-\epsilon[/mm].

Ich verstehe den einwand nicht. Kannst du mir das eventuell genauer erläutern?

Vielen dank und liebe Grüße
Noya

> > Vielen Dank und einen schönen Abend noch
>  >  
> > Noya
>  >  
> >  

>  


Bezug
                                        
Bezug
beschränkter linearer Operator: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:03 Di 22.05.2018
Autor: fred97


> > fast.
>  >  Das war auch meine Idee, die funktioniert, wenn es ein
> k
> > gibt mit [mm]|m_k|=\|m\|_{\infty}[/mm].
>  >  Allerdings ist nicht garantiert, dass in der
> Supremumsnorm
> > das Maximum [mm]\|m\|_{\infty}=\sup_k|m_k|[/mm] tatsächlich
> > angenommen wird (was mir erst später aufgefallen ist).
> > Wenn nicht, gibt es zu jedem [mm]\epsilon>0[/mm] ein k mit
> > [mm]|m_k|>\|m\|_{\infty}-\epsilon[/mm], mit dem analog gefolgert
> > werden kann dass [mm]\|M\|\ge 1-\epsilon[/mm].
>  
> Ich verstehe den einwand nicht. Kannst du mir das eventuell
> genauer erläutern?

Ich bins der Fred, nicht donquijote. Ich hab Dir oben schon geschrieben, dass donquijote ogffenbar gemeint hat, dass Du gemeint hast [mm] \max \{|m_k|:k \in \IN\} [/mm] existiert.

Das hast Du aber nicht.

>  
> Vielen dank und liebe Grüße
>  Noya
>  > > Vielen Dank und einen schönen Abend noch

>  >  >  
> > > Noya
>  >  >  
> > >  

> >  

>  


Bezug
                        
Bezug
beschränkter linearer Operator: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:31 Di 22.05.2018
Autor: fred97


> also ich weiß, dass
>  
> [mm]\parallel A\parallel_{L(l^p)}=\sup_{x \in X/\{0\}} \bruch{\parallel Ax \parallel_{Y}}{\parallel x\parallel_X}\le \sup_{x \in X/\{0\}} \parallel m\parallel_{\infty}[/mm]
> =  [mm]\parallel m\parallel_{\infty}[/mm]

Was ist denn A ? Ich nehme an, Du meinst M.



>  
> und jetzt muss ich noch ein [mm]x\not=[/mm] 0 finden, sodass
>   [mm]\parallel m\parallel_{\infty}\le \parallel A\parallel_{L(l^p)}.[/mm]

???? Wo kommt denn in der letzten Ungleichung x vor ???


>  
> Und dann würde folgen  [mm]\parallel m\parallel_{\infty}=\parallel A\parallel_{L(l^p)}[/mm]
>  
> so die Idee. :D
>  
> Wähle ich mir jetzt ein [mm]x_k=x=\delta_{kj}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } k \not= j \\ 1, & \mbox{für } k=j \end{cases}[/mm]
> mit [mm]j\in \IN[/mm]
>  dann wäre [mm]\parallel \delta_{kj}\parallel_p=1[/mm]


Mit Verlaub, das sind ja grausige Bezeichnungsweisen: [mm] x=x_k=\delta_{kj} [/mm] ????.

Ich vermute Du meinst folgendes: wir wählen x [mm] \in l^p [/mm] so, dass die k-te Koordinate von x eine 1 ist und die anderen Koordinaten sind =0.


>  
> und somit
>  [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)}=\sup_{x \in S_x}\parallel Mx\parallel_p \ge \parallel M(\delta_{kj})\parallel_p=(\sum_{k=1}^{\infty}|m_kx_k|^p)^{\bruch{1}{p}}=|m_j|[/mm]

Hmmmm, hast Du hier k und j vertauscht ?

Ja, dann bekommen wir [mm] \parallel M\parallel_{L(l^p)} \ge |m_k| [/mm]

>  
> also ist doch auch
>  [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)}\ge \sup_{j \in \IN} |m_j| =\parallel m\parallel_{\infty}[/mm]
>  
> und somit
>  
> [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)}=\parallel m\parallel_{\infty}.[/mm]
>  
> Wäre das so in Ordnung?

Ja, bis auf die chaotische Bezeichnungsweise.

Den Einwand meines Vorredners verstehe ich nicht. Nirgendwo bist Du von

[mm] |m_k| [/mm] = [mm] ||m||_{\infty} [/mm]  für ein k

ausgegangen.

>  
> Vielen Dank und einen schönen Abend noch
>  
> Noya
>  
>  


Bezug
                                
Bezug
beschränkter linearer Operator: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:01 Di 22.05.2018
Autor: Noya

Hallöchen :)
> > also ich weiß, dass
>  >  
> > [mm]\parallel A\parallel_{L(l^p)}=\sup_{x \in X/\{0\}} \bruch{\parallel Ax \parallel_{Y}}{\parallel x\parallel_X}\le \sup_{x \in X/\{0\}} \parallel m\parallel_{\infty}[/mm]
> > =  [mm]\parallel m\parallel_{\infty}[/mm]
>  
> Was ist denn A ? Ich nehme an, Du meinst M.

ja genau. Bin von der Definiton aus dem Skript ausgegangen und dann durcheinander gekommen mit der Bezeichnung...

>  
>
>
> >  

> > und jetzt muss ich noch ein [mm]x\not=[/mm] 0 finden, sodass
>  >   [mm]\parallel m\parallel_{\infty}\le \parallel A\parallel_{L(l^p)}.[/mm]
>  
> ???? Wo kommt denn in der letzten Ungleichung x vor ???

gar nicht. ging von der Def. von [mm] \parallel A\parallel_{L(l^p)} [/mm] aus, welche ja abhängig von x ist.

>  
>
> >  

> > Und dann würde folgen  [mm]\parallel m\parallel_{\infty}=\parallel A\parallel_{L(l^p)}[/mm]
>  
> >  

> > so die Idee. :D
>  >  
> > Wähle ich mir jetzt ein [mm]x_k=x=\delta_{kj}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } k \not= j \\ 1, & \mbox{für } k=j \end{cases}[/mm]
> > mit [mm]j\in \IN[/mm]
>  >  dann wäre [mm]\parallel \delta_{kj}\parallel_p=1[/mm]
>  
>
> Mit Verlaub, das sind ja grausige Bezeichnungsweisen:
> [mm]x=x_k=\delta_{kj}[/mm] ????.

>  
> Ich vermute Du meinst folgendes: wir wählen x [mm]\in l^p[/mm] so,
> dass die k-te Koordinate von x eine 1 ist und die anderen
> Koordinaten sind =0.

genau. wie könnte ich das denn schöner betiteln?
laut Aufgabernstellung gilt ja : [mm] x=(x_k) \in l^p. [/mm] wäre dann evt [mm] x_{k}^{j} [/mm] für den speziell gewählten Vektor besser?

>  
>
> >  

> > und somit
>  >  [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)}=\sup_{x \in S_x}\parallel Mx\parallel_p \ge \parallel M(\delta_{kj})\parallel_p=(\sum_{k=1}^{\infty}|m_kx_k|^p)^{\bruch{1}{p}}=|m_j|[/mm]
>  
> Hmmmm, hast Du hier k und j vertauscht ?

denke nicht.. denn zb die Eintrage k=1,k=2 bis j-1 sollen 0 sein
der Eintrag j=1 und dann die Eintrage von j+1 bis [mm] \infty [/mm] wieder 0.
und dann hätte ich ja
[mm] (\sum_{k=1}^{\infty}|m_kx_k|^p)^{\bruch{1}{p}}=(|m_1x_1|^p+|m_2x_2|^p+...+|m_{j-1}x_{j-1}|^p+|m_jx_j|^p+|m_{j+1}x_{j+1}|^p+..+||m_{\infty}x_{\infty}|^p){\bruch{1}{p}}=(0+0+...+0+|m_j*1|^p+0+...0)^{\bruch{1}{p}}=(|m_j|^p)^{\bruch{1}{p}}=|m_j| [/mm]

>  
> Ja, dann bekommen wir [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)} \ge |m_k|[/mm]
>  
> >  

> > also ist doch auch
>  >  [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)}\ge \sup_{j \in \IN} |m_j| =\parallel m\parallel_{\infty}[/mm]
>  
> >  

> > und somit
>  >  
> > [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)}=\parallel m\parallel_{\infty}.[/mm]
>  

Vielen Dank!

Bezug
                                        
Bezug
beschränkter linearer Operator: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:00 Di 22.05.2018
Autor: fred97


> Hallöchen :)
>  > > also ich weiß, dass

>  >  >  
> > > [mm]\parallel A\parallel_{L(l^p)}=\sup_{x \in X/\{0\}} \bruch{\parallel Ax \parallel_{Y}}{\parallel x\parallel_X}\le \sup_{x \in X/\{0\}} \parallel m\parallel_{\infty}[/mm]
> > > =  [mm]\parallel m\parallel_{\infty}[/mm]
>  >  
> > Was ist denn A ? Ich nehme an, Du meinst M.
>  ja genau. Bin von der Definiton aus dem Skript ausgegangen
> und dann durcheinander gekommen mit der Bezeichnung...
>  >  
> >
> >
> > >  

> > > und jetzt muss ich noch ein [mm]x\not=[/mm] 0 finden, sodass
>  >  >   [mm]\parallel m\parallel_{\infty}\le \parallel A\parallel_{L(l^p)}.[/mm]
>  
> >  

> > ???? Wo kommt denn in der letzten Ungleichung x vor ???
>  gar nicht. ging von der Def. von [mm]\parallel A\parallel_{L(l^p)}[/mm]
> aus, welche ja abhängig von x ist.
>  >  
> >
> > >  

> > > Und dann würde folgen  [mm]\parallel m\parallel_{\infty}=\parallel A\parallel_{L(l^p)}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > so die Idee. :D
>  >  >  
> > > Wähle ich mir jetzt ein [mm]x_k=x=\delta_{kj}=\begin{cases} 0, & \mbox{für } k \not= j \\ 1, & \mbox{für } k=j \end{cases}[/mm]
> > > mit [mm]j\in \IN[/mm]
>  >  >  dann wäre [mm]\parallel \delta_{kj}\parallel_p=1[/mm]
>  
> >  

> >
> > Mit Verlaub, das sind ja grausige Bezeichnungsweisen:
> > [mm]x=x_k=\delta_{kj}[/mm] ????.
>  
> >  

> > Ich vermute Du meinst folgendes: wir wählen x [mm]\in l^p[/mm] so,
> > dass die k-te Koordinate von x eine 1 ist und die anderen
> > Koordinaten sind =0.
>  genau. wie könnte ich das denn schöner betiteln?
>  laut Aufgabernstellung gilt ja : [mm]x=(x_k) \in l^p.[/mm] wäre
> dann evt [mm]x_{k}^{j}[/mm] für den speziell gewählten Vektor
> besser?

Drücke es doch so aus, wie ich es oben gemacht habe.


>  >  
> >
> > >  

> > > und somit
>  >  >  [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)}=\sup_{x \in S_x}\parallel Mx\parallel_p \ge \parallel M(\delta_{kj})\parallel_p=(\sum_{k=1}^{\infty}|m_kx_k|^p)^{\bruch{1}{p}}=|m_j|[/mm]
>  
> >  

> > Hmmmm, hast Du hier k und j vertauscht ?
>  denke nicht.. denn zb die Eintrage k=1,k=2 bis j-1 sollen
> 0 sein
> der Eintrag j=1 und dann die Eintrage von j+1 bis [mm]\infty[/mm]
> wieder 0.


O.K. dann wir wählen x $ [mm] \in l^p [/mm] $ so, dass die j-te Koordinate von x eine 1 ist und die anderen Koordinaten sind =0.

>  und dann hätte ich ja
> [mm](\sum_{k=1}^{\infty}|m_kx_k|^p)^{\bruch{1}{p}}=(|m_1x_1|^p+|m_2x_2|^p+...+|m_{j-1}x_{j-1}|^p+|m_jx_j|^p+|m_{j+1}x_{j+1}|^p+..+||m_{\infty}x_{\infty}|^p){\bruch{1}{p}}=(0+0+...+0+|m_j*1|^p+0+...0)^{\bruch{1}{p}}=(|m_j|^p)^{\bruch{1}{p}}=|m_j|[/mm]
>  >  
> > Ja, dann bekommen wir [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)} \ge |m_k|[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > also ist doch auch
>  >  >  [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)}\ge \sup_{j \in \IN} |m_j| =\parallel m\parallel_{\infty}[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > und somit
>  >  >  
> > > [mm]\parallel M\parallel_{L(l^p)}=\parallel m\parallel_{\infty}.[/mm]
>  
> >  

> Vielen Dank!


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionalanalysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de