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| Aufgabe | | Sei n [mm] \in \IN [/mm] und sei A eine Menge mit n Elementen. Wie viele Elemente kann eine Äquivalenzrelation in A mindestens und höchstens erhalten? |
vlt ganz trivial aber ist die Antwort auf diese frage n?^^
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Hallo
> Sei n [mm]\in \IN[/mm] und sei A eine Menge mit n Elementen. Wie
> viele Elemente kann eine Äquivalenzrelation in A
> mindestens und höchstens erhalten?
> vlt ganz trivial aber ist die Antwort auf diese frage n?^^
Du gibst eine Antwort, aber es gibt ja 2 Fragen.
1) Wie viele Elemente kann A mindestens enthalten?
2) Wie viele Elemente kann A höchstens enthalten?
Dir sind die 3 Eigenschaften einer Äuivalenzrelation klar? Genau die helfen dir zur Beantwortung der Frage.
Wenn man mal keine Ahnung hat, dann kann man sich überlegen: Ist die Menge A mit einem Element eine Äquivalenzrelation?
Gruß
TheBozz-mismo
PS: Ist das wirklich die gesamte Aufgabenstellung bzw. sind keine näheren Angaben zur Äquivalenzraltion(wie sie definiert ist) gegeben?
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heihei, ja das ist die volle aufgabenstellung^^.
naja bei einer äquivalenzrelation müssten ja mind wegen der transitivität 3 elemente enthalten sein oder?
nach oben hin würde ich trotzdem sagen dass es keine grenze gibt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:24 Mi 02.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:41 Di 01.11.2011 | | Autor: | fred97 |
Eine Äquivalenzrelation R ist, wie jede Relation in A, eine Teilmenge von $A [mm] \times [/mm] A.$
Damit hat R höchstens [mm] n^2 [/mm] Elemente. Frage: gibt es eine Äquivalenzrelation R mit genau [mm] n^2 [/mm] Elementen ?
Da (a,a) [mm] \in [/mm] R für jedes a [mm] \in [/mm] A, hat R mindestens n Elemente. Frage: gibt es eine Äquivalenzrelation R mit genau n Elementen ?
FRED
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heihei,
also müsste bei mindestens ja n+1 oder? falls n = 1 ist und mit einem element gehts ja nicht.
bei höchstens mit diesem [mm] n^{2} [/mm] würde ich schon sagen dass es eine Relation mit dieseer Anzahl geben kann, ich mein wieso nicht?^^
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:54 Di 01.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> heihei,
>
> also müsste bei mindestens ja n+1 oder?
Nein.
Ist aRb : [mm] \gdw [/mm] a=b eine Ä.-relation auf A ? Wenn ja, wieviele El. hat sie ?
> falls n = 1 ist
> und mit einem element gehts ja nicht.
>
> bei höchstens mit diesem [mm]n^{2}[/mm] würde ich schon sagen dass
> es eine Relation mit dieseer Anzahl geben kann, ich mein
> wieso nicht?^^
Dann gib doch eine an !
FRED
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also wenn a=b dann muss es doch mindestens ein Element geben, also sagen wir da wir bei natürlichen Zahlen sind mind 1.
bei [mm] n^2 [/mm] muss ich wirklich eine konkrete Zahl festlegen? ist nach obenhin die Anzahl nicht unbeschränkt? also [mm] \infty [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:13 Di 01.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> also wenn a=b dann muss es doch mindestens ein Element
> geben, also sagen wir da wir bei natürlichen Zahlen sind
> mind 1.
????
Nochmal: A hat n Elemente.
Setzt man [mm] R:=\{(a,a): a \in A\}, [/mm] so hat R ebenfalls n Elemente. Ist R eine Ä-Rel. auf A ? Ja ! Prüfe es nach.
Wegen der Reflexivität einer Ä.-Rel., ist [mm] \{(a,a): a \in A\} [/mm] in jeder Ä.Rel. enthalten.
Fazit : eine Ä.Rel. auf A hat mindestens n Elemente und es gibt eine Ä.Rel. mit genau n Elementen.
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> bei [mm]n^2[/mm] muss ich wirklich eine konkrete Zahl festlegen? ist
> nach obenhin die Anzahl nicht unbeschränkt? also [mm]\infty[/mm] ?
Nein ! AxA hat genau [mm] n^2 [/mm] Elemente. Und jede Ä.Rel. ist in AxA enthalten, somit hat jede Ä.Rel. höchstens [mm] n^2 [/mm] Elemente.
Ist vieleicht AxA selbst ein Ä.Rel. ? Prüfs mal nach !
FRED
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