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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Zipfverteilung
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Zipfverteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:37 Mo 13.05.2019
Autor: JahnderKleine

Aufgabe
Ein Land hat 4 Bewohnerinnen in einem Dorf und abzählbar unendlich viele Bewohnerinnen
in der Hauptstadt. Eine Bewohnerin aus der Hauptstadt hat X Freundinnen aus diesem Land in
einem Frauennetzwerk, wobei X zipfverteilt mit Parameter 4 ist. Darüber hinaus wissen wir,
dass die Bewohnerin keine Freundin aus der Hauptstadt hat, falls nicht alle Bewohnerinnen des
Dorfes ihre Freundinnen sind. Was ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie mindestens eine Freundin
aus der Hautstadt hat?
Verwenden Sie die Formel der Zipfverteilung [mm] $\quad p_{X}(k)=\mathbb{P}(X=k)=\frac{k^{-a}}{Z(a)}$ [/mm]
wobei $Z(a) [mm] :=\sum_{k=1}^{\infty} k^{-a}$ [/mm] ist. und die Gleichung [mm] $\sum_{k=1}^{\infty} k^{-4}=\pi^{4} [/mm] / 90$ !

Guten Tag, erneut sitze ich vor einer Aufgabe, die ich nicht richtig lösen kann.

Ich soll hier diese Formel nutzen [mm] $\quad p_{X}(k)=\mathbb{P}(X=k)=\frac{k^{-a}}{Z(a)}$. [/mm]

$a=4$ ist aus der Aufgabenstellung bekannt sowie (Z(a) mit [mm] $\sum_{k=1}^{\infty} k^{-4}=\pi^{4} [/mm] / 90$

Die Frage ist nun, wie komme ich auf die Lösung?

Gesucht ist ja die Wahrscheinlichkeit für mindestens 5 Freundinnen. Also müsste ich 1- der Wahrscheinlichkeit für höchstens 4 Freundinnen rechnen, nur wie komme ich darauf und wie nutze ich dafür die Verteilung?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Zipfverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:42 Mo 13.05.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ich soll hier diese Formel nutzen [mm]\quad p_{X}(k)=\mathbb{P}(X=k)=\frac{k^{-a}}{Z(a)}[/mm].

[ok]
  

> [mm]a=4[/mm] ist aus der Aufgabenstellung bekannt sowie (Z(a) mit
> [mm]\sum_{k=1}^{\infty} k^{-4}=\pi^{4} / 90[/mm]

[ok]
  

> Gesucht ist ja die Wahrscheinlichkeit für mindestens 5
> Freundinnen. Also müsste ich 1- der Wahrscheinlichkeit
> für höchstens 4 Freundinnen rechnen,

[ok]

>  nur wie komme ich darauf und wie nutze ich dafür die Verteilung?

Na aus welchen Einzel-Ereignissen setzt sich denn das Ereignis "höchstens 4 Freundinnen" zusammen?

Gruß,
Gono

Bezug
                
Bezug
Zipfverteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:18 Mo 13.05.2019
Autor: JahnderKleine

Hi

> Na aus welchen Einzel-Ereignissen setzt sich denn das Ereignis "höchstens 4 Freundinnen" zusammen?

Naja aus [mm] $(X\le4)= [/mm] (X=0)+(X=1)+(X=2)+(X=3)+(X=4)$?

Aber ich habe ja keine Wahrscheinlichkeit gegeben und ich wüsste nicht wie ich dieses Ergebnis in die Formel bringe, oder muss ich etwas so hier rechnen:

[mm] $p_{X}(4)= [/mm] P(X>4)= 1- P(X [mm] \le [/mm] 4) = 1-((X=0)+(X=1)+(X=2)+(X=3)+(X=4)) = [mm] 1-(\frac{0^{-4}}{\frac{pi^4}{90}}+ \frac{1^{-4}}{\frac{pi^4}{90}}+ [/mm] ... + [mm] \frac{4^{-4}}{\frac{pi^4}{90}})$ [/mm] ?

Bezug
                        
Bezug
Zipfverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:22 Mo 13.05.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Hi
>  
> > Na aus welchen Einzel-Ereignissen setzt sich denn das
> Ereignis "höchstens 4 Freundinnen" zusammen?
>  
> Naja aus [mm](X\le4)= (X=0)+(X=1)+(X=2)+(X=3)+(X=4)[/mm]?

Deine Idee ist korrekt, deine Notation ist grausam, gleich aus verschiedenen Gründen:
1.) Ereignisse sind Mengen und werden daher mit geschweiften Klammern anstatt runden geschrieben:
[mm]\{X\le4\}= \{X=0\}+\{X=1\}+\{X=2\}+\{X=3\}+\{X=4\}[/mm]

2.) Da wir von Mengen reden, macht ein "+" gar keinen Sinn. Addieren kannst du Zahlen, aber keine Mengen, d.h. es müsste heißen:
[mm]\{X\le4\}= \{X=0\}\cup\{X=1\}\cup\{X=2\}\cup\{X=3\}\cup\{X=4\}[/mm]

3.) Da die Mengen disjunkt sind, kann man deren Wahrscheinlichkeiten addieren, d.h. es gilt aus obigem:
[mm]P(X\le4)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)[/mm]

> Aber ich habe ja keine Wahrscheinlichkeit gegeben und ich
> wüsste nicht wie ich dieses Ergebnis in die Formel bringe,
> oder muss ich etwas so hier rechnen:
>  
> [mm]p_{X}(4)= P(X>4)= 1- P(X \le 4) = 1-((X=0)+(X=1)+(X=2)+(X=3)+(X=4)) = 1-(\frac{0^{-4}}{\frac{pi^4}{90}}+ \frac{1^{-4}}{\frac{pi^4}{90}}+ ... + \frac{4^{-4}}{\frac{pi^4}{90}})[/mm]

Auch hier: Idee ist ok, Notation grausam.

1.) Aufpassen: [mm] $p_X(4)$ [/mm] ist definiert als $P(X = 4)$, dein erstes Gleichheitszeichen stimmt also nicht. Ist aber egal, du willst ja eh nicht [mm] $p_X(4)$ [/mm] ausrechnen, sondern $P(X > 4)$
2.) Nach dem 3. Gleichheitszeichen hast du wieder die Wahrscheinlichkeiten vergessen....
3.) [mm] $\pi$ [/mm] schreibst du mit \pi

Gruß,
Gono

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Zipfverteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:50 Mo 13.05.2019
Autor: JahnderKleine

Hallo, erneut Danke ich dir für deine Unterstützung ich hätte allerdings noch zwei Frage.

> $ [mm] p_{X}(4)= [/mm] P(X>4)= 1- P(X [mm] \le [/mm] 4) = 1-((X=0)+(X=1)+(X=2)+(X=3)+(X=4)) = [mm] 1-(\frac{0^{-4}}{\frac{pi^4}{90}}+ \frac{1^{-4}}{\frac{pi^4}{90}}+ [/mm] ... + [mm] \frac{4^{-4}}{\frac{pi^4}{90}}) [/mm] $


1) Du sagst meine letzte "Rechnung" sei ok. Bedeutet das, dass wenn ich es ausrechne die Lösung der Aufgabe ist? Denn Ok ist immer eine schwammige Aussage:)


2) Wie schreibt man dann [mm] $p_{X}(k)$ [/mm] richtig, wenn die 4 falsch ist?


Weiteres Dankeschön für die Notationstipps, ich bin einfach so luschig in dem bereich was ein riesen Problem ist.



Edit:


Mir sind gerade ein paar Dinge aufgefallen.
- Ich sagte höchstens 4 aber schreibe P(X>4), höchstens wäre P(X<4) und somit ist [mm] P(X\le3) [/mm] gesucht oder?
- Kann man denn P(X=0) überhaupt bestimmen, denn [mm] $\frac{0^{-4}}{\frac{\pi^{4}}{90}}$ [/mm] ist nicht definiert

Bezug
                                        
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Zipfverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:33 Di 14.05.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> 1) Du sagst meine letzte "Rechnung" sei ok. Bedeutet das,
> dass wenn ich es ausrechne die Lösung der Aufgabe ist?

Ja.

> 2) Wie schreibt man dann [mm]p_{X}(k)[/mm] richtig, wenn die 4
> falsch ist?

Nein, möchtest du [mm] $p_X(k)$ [/mm] für $k=4$  bestimmen, schreibst du schon [mm] $p_X(4)$. [/mm]
Du möchtest nur [mm] $p_X(4)$ [/mm] gar nicht ausrechnen, denn [mm] $p_X(4) [/mm] = P(X = 4)$
Du willst aber die Wahrscheinlichkeit $P(X > 4)$ ausrechnen, was eine andere ist, d.h. es gilt [mm] $p_X(4) \not= [/mm] P(X>4)$


> Weiteres Dankeschön für die Notationstipps, ich bin
> einfach so luschig in dem bereich was ein riesen Problem ist.

Stimmt.

>  - Ich sagte höchstens 4 aber schreibe P(X>4), höchstens
> wäre P(X<4) und somit ist [mm]P(X\le3)[/mm] gesucht oder?

Nein, du schriebst:

> Gesucht ist ja die Wahrscheinlichkeit für mindestens 5 Freundinnen.

"Mindestens 5 Freundinnen" meint (weil wir diskret sind) alles echt größer als 4, also $P(X > 4)$ (Mach dir klar, dass [mm] $P(X\ge [/mm] 5)$ auch gehen würde, ist aber nur Notation, weil wir eine diskrete Verteilung haben).
Dann schreibst du korrekt:

> Also müsste ich 1- der Wahrscheinlichkeit für höchstens 4 Freundinnen rechnen

"Wahrscheinlichkeit für höchstens 4 Freundinnen" und das ist exakt $P(X [mm] \le [/mm] 4)$

Also zusammengefasst hast du korrekt gesagt:
$P(X > 4) =  1 - P(X [mm] \le [/mm] 4)$

>  - Kann man denn P(X=0) überhaupt bestimmen, denn
> [mm]\frac{0^{-4}}{\frac{\pi^{4}}{90}}[/mm] ist nicht definiert

Korrekt, deine Zufallsvariablen nimmt nur Werte in [mm] $\IN \setminus \{0\}$ [/mm] an, d.h. das Ereignis [mm] $\{X = 0\}$ [/mm] ist nicht zu berücksichtigen.

Gruß,
Gono

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Bezug
Zipfverteilung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:11 Di 14.05.2019
Autor: JahnderKleine

Ich danke für die Hilfe.
Die Wahrscheinlichkeit für (#) liegt nun allerdings bei 0,4%, also ist verschwindend gering, soll dass so sein?

$ P(X>4)= 1-(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)) = 1-( [mm] \frac{1^{-4}}{\frac{pi^4}{90}}+ [/mm] ... + [mm] \frac{4^{-4}}{\frac{pi^4}{90}})$ [/mm]  (#)



Bezug
                                                        
Bezug
Zipfverteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:51 Di 14.05.2019
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Ich danke für die Hilfe.
>  Die Wahrscheinlichkeit für (#) liegt nun allerdings bei
> 0,4%

Ich komme auf 0,33%

> also ist verschwindend gering, soll dass so sein?

Das musst du den Aufgabensteller fragen, wieso er so eine Verteilung annimmt.
Da die Wahrscheinlichkeit für genau eine Freundin ja bereits $P(X = 1) = [mm] 92,4\%$ [/mm] ist und die Wahrscheinlichkeiten sehr schnell fallen, bleibt da für den "hinteren Schwanz" nicht viel übrig...

> [mm]P(X>4)= 1-(P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)) = 1-( \frac{1^{-4}}{\frac{pi^4}{90}}+ ... + \frac{4^{-4}}{\frac{pi^4}{90}})[/mm]

Hier hast du noch immer $P(X=0)$ drin stehen, was bei der Verteilung eigentlich keinen Sinn macht.

Gruß,
Gono

Bezug
                                                                
Bezug
Zipfverteilung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:58 Di 14.05.2019
Autor: JahnderKleine

mmh naja:)

Ich danke dir erneut für deine Hilfe

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