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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:38 Sa 23.11.2013 | | Autor: | Taro |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=188099&ref=https%3A%2F%2Fwww.google.de%2F (nur ein Teil der Aufgabe)
a)Eine total geordnete Menge ist wohlgeordnet [mm] $\iff$ [/mm] Die Menge aller strengen Vorgänger eines jeden Elementes ist
b) Zu zeigen: Jede total geordnete Menge enthält eine kofinale wohlgeordnet Teilmenge |
Hallo,
da ich in unserem Proseminar über die naive Mengenlehre (Paul R. Halmos) einige Vorträge halten werde, würde ich gerne paar Meinungen zu meinen Beweisen hören.
[mm] \vspace{0.5cm}
[/mm]
Vielen Dank schon mal
[mm] "$\Rightarrow$"
[/mm]
Sei X wohlgeordnet
[mm] $\Rightarrow [/mm] $ für beliebige $x,y [mm] \in [/mm] X $ gilt$ x<y$ oder $y<x$
Sei o.B.d.A y<x
[mm] $\Rightarrow [/mm] y [mm] \in [/mm] s(x) $ (wobei s(x)= [mm] $\{y\in X : y
Für b [mm] $\in$ [/mm] (X [mm] $\backslash [/mm] $ s(x)) gilt x<b [mm] $\Rightarrow$ [/mm] x [mm] $\in [/mm] $ s(b) und somit ist s(b) eine Fortsetzung von s(x).
Da diese Behauptung für bel. x,y [mm] $\in$ [/mm] X gilt, gilt das [mm] $\forall [/mm] x [mm] \in$ [/mm] X.
[mm] "$\Leftarrow$"
[/mm]
Sei nun [mm] $\mathfrak{C}$ [/mm] die Menge aller strengen Vorgänger eines jeden Elementes und sei [mm] $\mathfrak{C}$ [/mm] wohlgeordnet.
Sei a,b,c [mm] $\in$ [/mm] X beliebig und X total geordnet.
Sei A [mm] $\in \mathfrak{C} [/mm] $ die Menge aller strengen Vorgänger von a und A sei nicht-leer (ansonsten wäre a das minimale Element von X).
Für b [mm] $\in$ [/mm] A gilt b<a in X.
Sei B die Menge aller strengen Vorgänger von b und B sei nicht-leer.
Für c [mm] $\in$ [/mm] B gilt c<b in X.
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] c<b<a in X und [mm] c$\in$ [/mm] s(b) [mm] $\subset [/mm] $ s(a)
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] A ist eine Fortsetzung auf B
Dann gilt bezüglich der Relation der Fortsetzung X= [mm] $\bigcup_{A\in \mathfrak{C}}A \cup [/mm] $ max(X) (falls vorhanden, ansonsten ist jedes Element in X ein Hauptanfang einer größeren Menge in [mm] $\mathfrak{C}$)
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] für C [mm] $\subset [/mm] $ B [mm] $\subset$ [/mm] A [mm] $\subset$ ....$\subset$ [/mm] X gilt
c<b<a<....<x in X [mm] $\Rightarrow$ [/mm] X ist wohlgeordnet.
Nun zu b)
zz. X enthält eine kofinale Teilmenge.
Da X total geordnet ist laut Voraussetzung, bildet X eine Kette
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] für je zwei Elemente x,y [mm] $\in$ [/mm] X mit x [mm] $\neq$ [/mm] y gilt entweder
y<x oder y<x
o.B.d.A: y<x
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] x ist ein Hauptanfang von X, dies lässt sich für alle Paar-Mengen in X konstruieren.
Sei [mm] $\mathfrak{D}$ [/mm] das Mengensystem der Hauptanfänge von X.
Sei U = [mm] $\bigcup_{s(x) \in \mathfrak{D}}s(x)$ [/mm] bezüglich der Relation der Fortsetzung.
Dann ist U [mm] $\geq$ [/mm] s(x) [mm] $\forall$ [/mm] s(x) [mm] $\in \mathfrak{D}$ [/mm]
Dann gibt uns das Zornsche Lemma: [mm] $\exists \omega \in [/mm] $ X $ [mm] \forall [/mm] a [mm] \in$ [/mm] X:$ [mm] a<\omega$
[/mm]
außerdem ist [mm] s($\omega$) $\in$ [/mm] U, da [mm] $\omega \in$ [/mm] X
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] U ist die kofinale Teilmenge
noch zu zeigen: U ist wohlgeordnet.
Für [mm] s(a),s(b),s(c),...,s($\omega) \in$ [/mm] U gilt:
[mm] s(a)$\subset$ [/mm] s(b) [mm] $\subset$ [/mm] s(c) [mm] $\subset$ [/mm] .... [mm] $\subset$ s($\omega$)in [/mm] U, so
gilt [mm] a
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] U ist wohlgeordnet [mm] $\Rightarrow^{a)}$ [/mm] X ist wohlgeordnet.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:35 So 24.11.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Taro und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
Du hältst gleich MEHRERE Vorträge? Respekt...
Ein paar Rückfragen, da ich das Buch von Halmos nicht besitze:
Wie lautet das letzte Wort der Aufgabenstellung a)? (Das hast du vergessen mit abzutippen.)
Auf welche Weise ist "wohlgeordnet" bei Halmos definiert?
Was ist ein "Hauptanfang"?
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:25 So 24.11.2013 | | Autor: | Taro |
Hallo tobit,
ja tatsächlich habe ich es mal wieder geschafft, die Fragestellung nicht komplett abzutippen ^^
a) eine total geordnete Menge ist wohlgeordnet [mm] $\Leftrightarrow$ [/mm] Die Menge aller strengen Vorgänger eines jeden Elementes wohlgeordnet ist
Definition Wohlordnung:
Man nennt eine geordnete Menge wohlgeordnet, wenn jede ihrer nicht-leeren Teilmengen ein kleinstes Element besitzt.
Die Menge [mm] $\{x \in X: x
eventuell ist es auch Hilfreich, wenn ich die Definition von Fortsetzung gebe.
Definition Fortsetzung:
Eine Menge B wird eine (echte) Fortsetzung einer wohlgeordneten Menge A genannt, wenn A eine Teilmenge von B und dabei ein Hauptanfang von B ist und zudem die Ordnung der Elemente von A in B dieselbe wie in A ist.
Mit freundlichen Grüßen
Taro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:40 Mo 25.11.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Taro!
> a)Eine total geordnete Menge ist wohlgeordnet [mm]\iff[/mm] Die
> Menge aller strengen Vorgänger eines jeden Elementes ist
>
> b) Zu zeigen: Jede total geordnete Menge enthält eine
> kofinale wohlgeordnet Teilmenge
a)
> "[mm]\Rightarrow[/mm]"
> Sei X wohlgeordnet
> [mm]\Rightarrow[/mm] für beliebige [mm]x,y \in X[/mm] gilt[mm] x
>
> Sei o.B.d.A y<x
Was möchtest du über $x$ und $y$ zeigen, wobei du oBdA $y<x$ annehmen kannst?
> [mm]\Rightarrow y \in s(x)[/mm] (wobei s(x)= [mm]\{y\in X : y
> ist ein Hauptanfang von s(x). Außerdem gilt s(x)[mm]\cap[/mm] X
> [mm]\neq \emptyset[/mm], da y enthalten ist.
(Es gilt übrigens [mm] $s(x)\cap [/mm] X=s(x)$.)
> Für b [mm]\in[/mm] (X [mm]\backslash[/mm] s(x)) gilt x<b
Es muss [mm] $x\le [/mm] b$ statt $x<b$ heißen.
> [mm]\Rightarrow[/mm] x [mm]\in[/mm]
> s(b) und somit ist s(b) eine Fortsetzung von s(x).
> Da diese Behauptung für bel. x,y [mm]\in[/mm] X gilt, gilt das
> [mm]\forall x \in[/mm] X.
Ich erkenne leider keinen Zusammenhang mit dem zu Zeigenden:
Sei [mm] $x\in [/mm] X$. Zu zeigen ist, dass $s(x)$ (mit der von $X$ induzierten Ordnung) wohlgeordnet ist.
> "[mm]\Leftarrow[/mm]"
> Sei nun [mm]\mathfrak{C}[/mm] die Menge aller strengen Vorgänger
> eines jeden Elementes
Was soll das bedeuten?
> und sei [mm]\mathfrak{C}[/mm] wohlgeordnet.
Die Voraussetzung bei [mm] "$\Leftarrow$" [/mm] lautet:
Für JEDES [mm] $x\in [/mm] X$ ist $s(x)$ (mit der von $X$ induzierten Ordnung) wohlgeordnet.
> Sei a,b,c [mm]\in[/mm] X beliebig und X total geordnet.
Deinen weiteren Ausführungen entnehme ich, dass $b$ und $c$ NICHT BELIEBIGE Elemente von $X$ sein sollen.
> Sei A [mm]\in \mathfrak{C}[/mm] die Menge aller strengen Vorgänger
> von a und A sei nicht-leer (ansonsten wäre a das minimale
> Element von X).
> Für b [mm]\in[/mm] A gilt b<a in X.
>
> Sei B die Menge aller strengen Vorgänger von b und B sei
> nicht-leer.
> Für c [mm]\in[/mm] B gilt c<b in X.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] c<b<a in X und c[mm]\in[/mm] s(b) [mm]\subset[/mm] s(a)
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] A ist eine Fortsetzung auf B
>
> Dann gilt bezüglich der Relation der Fortsetzung X=
> [mm]\bigcup_{A\in \mathfrak{C}}A \cup[/mm] max(X) (falls vorhanden,
> ansonsten ist jedes Element in X ein Hauptanfang einer
> größeren Menge in [mm]\mathfrak{C}[/mm])
Hauptanfänge sind Teilmengen von $X$, nicht Elemente von $X$.
> [mm]\Rightarrow[/mm] für C [mm]\subset[/mm] B [mm]\subset[/mm] A [mm]\subset[/mm] ....[mm]\subset[/mm]
> X gilt
> c<b<a<....<x in X [mm]\Rightarrow[/mm] X ist wohlgeordnet.
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Wo hast du gezeigt, dass $X$ wohlgeordnet ist?
Sei [mm] $Y\subseteq [/mm] X$ eine nichtleere Teilmenge.
Finde ein kleinstes Element in $Y$!
> Nun zu b)
>
> zz. X enthält eine kofinale Teilmenge.
> Da X total geordnet ist laut Voraussetzung, bildet X eine
> Kette
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] für je zwei Elemente x,y [mm]\in[/mm] X mit x [mm]\neq[/mm] y
> gilt entweder
> y<x oder y<x
>
> o.B.d.A: y<x
Wieder die Frage: Was möchtest du über $x$ und $y$ zeigen, so dass du oBdA $y<x$ annehmen kannst?
> [mm]\Rightarrow[/mm] x ist ein Hauptanfang von X, dies lässt sich
> für alle Paar-Mengen in X konstruieren.
$x$ ist ein Element von $X$, keine Teilmenge von $X$ und somit auch kein Hauptanfang von $X$.
> Sei [mm]\mathfrak{D}[/mm] das Mengensystem der Hauptanfänge von X.
>
> Sei U = [mm]\bigcup_{s(x) \in \mathfrak{D}}s(x)[/mm] bezüglich der
> Relation der Fortsetzung.
(Es gilt einfach $U=X$, falls $X$ kein Maximum hat, und [mm] $U=X\setminus\{\max(X)\}$, [/mm] falls $X$ ein Maximum hat.)
Du möchtest auf $U$ eine "Relation der Fortsetzung" erklären? Wie?
$U$ ist eine Teilmenge von $X$, keine Menge von Teilmengen von $X$.
> Dann ist U [mm]\geq[/mm] s(x) [mm]\forall[/mm] s(x) [mm]\in \mathfrak{D}[/mm]
Mit [mm] $U\geq [/mm] s(x)$ meinst du vermutlich [mm] $U\supseteq [/mm] s(x)$.
> Dann gibt uns das Zornsche Lemma: [mm]\exists \omega \in[/mm] X
> [mm]\forall a \in[/mm] X:[mm] a<\omega[/mm]
[mm] ($a\le \omega$, [/mm] nicht [mm] $a<\omega$ [/mm] meinst du.)
Nein, das liefert dir das Zornsche Lemma nicht.
Es hat doch nicht jede beliebige totale Ordnung ein größtes Element [mm] $\omega$.
[/mm]
> außerdem ist s([mm]\omega[/mm]) [mm]\in[/mm] U,
Nein, aber [mm] $s(\omega)\subseteq [/mm] U$.
> da [mm]\omega \in[/mm] X
> [mm]\Rightarrow[/mm] U ist die kofinale Teilmenge
Nein, $U$ ist im Allgemeinen nicht kofinal in $X$ (nämlich nicht kofinal im Falle [mm] $U=X\setminus\{\max(X)\}$).
[/mm]
> noch zu zeigen: U ist wohlgeordnet.
> Für s(a),s(b),s(c),...,s([mm]\omega) \in[/mm] U gilt:
[mm] "$\subseteq$" [/mm] statt [mm] "$\in$".
[/mm]
Mir ist weder klar, was die Pünktchen bei dir genau bedeuten, noch ob du "für alle" oder "für gewisse" meinst.
> s(a)[mm]\subset[/mm] s(b) [mm]\subset[/mm] s(c) [mm]\subset[/mm] .... [mm]\subset[/mm]
> s([mm]\omega[/mm])in U, so
> gilt a<b<c<....[mm]\omega[/mm] in X
> [mm]\Rightarrow[/mm] U ist wohlgeordnet
Nein. $U$ ist im Allgemeinen nicht wohlgeordnet.
> [mm]\Rightarrow^{a)}[/mm] X ist
> wohlgeordnet.
Nein. Es ist doch nicht jede total geordnete Menge $X$ wohlgeordnet.
Betrachte mal die Menge
[mm] $\mathcal{Y}:=\{Y\subseteq X\;|\; Y\text{ wohlgeordnet}\}$
[/mm]
mit der folgenden Ordnung darauf:
[mm] $Y_1\le Y_2:\iff Y_1\subseteq Y_2\text{ und }\forall y_1\in Y_1, y_2\in Y_2\text{ mit }y_2\le y_1\text{ gilt }y_2\in Y_1$
[/mm]
(die Bedingung auf der rechten Seite bedeutet: [mm] $Y_1$ [/mm] ist ein Anfangsstück von [mm] $Y_2$).
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:52 Mo 25.11.2013 | | Autor: | Taro |
Oje das war ja garnix... ok dann werde ich mir den gesamten Beweis nochmal vornehmen und danke für deine Anmerkungen, vill klappt es dann damit besser .
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