Wirbelfluss mit/ohne Stokes < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:51 So 14.12.2014 | | Autor: | CAKL |
| Aufgabe | Gegeben sei das Geschwindigkeitsfeld [mm] F(x_{1},x_{2},x_{3}) [/mm] = [mm] \vektor{x_{1}^{2}*x_{2}^{2} \\ -x_{3} \\ x_{2}^{2} + \bruch{1}{x_{1}-x_{3}} } [/mm] einer turbulenten Strömung sowie die Schnittfläche S des Zylinders Z mit der Ebene E, wobei
Z={x aus [mm] R^3: x_{1}^2+x_{2}^2 [/mm] ≤ 9} und E: [mm] x_{1}-x_{3} [/mm] = 1
(a) Berechnen Sie den Wirbelfluss des Vektorfeldes F durch S (d.h. berechnen Sie [mm] \integral_{S}^{}{rot(F ) dA} [/mm] ) ohne Verwendung des Integralsatzes von Stokes.
(b) Man berechne nun den Wirbelfluss des Vektorfeldes F durch S unter Verwendung des Integralsatzes von Stokes und bestätige das Ergebnis aus Teil (a). Wählen Sie dazu den Umlaufsinn der Randkurve passend zur in (a) gewählten Normale der Fläche S. |
Hallo zusammen,
ich bin gerade bei der Bearbeitung der obigen Aufgabe und meine Ergebnisse passen nicht zusammen.
Bei der a) habe ich die Fläche wie folgt parametrisiert:
x(u,v) = [mm] \vektor{u\\ v \\ u-1} [/mm] u [mm] \in [/mm] [-3,3], v [mm] \in [-\wurzel{9-u^2},\wurzel{9-u^2}]
[/mm]
Der Normalenvektor ist [mm] \vektor{-1\\0\\1}
[/mm]
Ich erhalte also:
[mm] \integral_{-3}^{3}{\integral_{-\wurzel{9-u^2}}^{\wurzel{9-u^2}}{\vektor{2v+1\\1\\-2*u^2*v}*\vektor{-1\\0\\1}dv du}}
[/mm]
Bei der b) habe ich die Randkurve wie folgt parametrisiert:
[mm] y(t)=\vektor{3*cos(t)\\3*sin(t)\\3*cos(t)-1} [/mm] u [mm] \in [0,2\pi]
[/mm]
Ich erhalte für das Kurvenintegral 2.Art also:
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\vektor{9*cos(t)*sin(t)\\9*cos(t)^2-3*cos(t)\\6*cos(t)-2}*\vektor{-3*sin(t)\\3*cos(t)\\-3*sin(t)}dt} [/mm] = [mm] -9*\pi
[/mm]
Die Ergebnisse passen nicht überein.
Sieht jemand den Fehler? Sind meine Parametrisierungen richtig?
Ich bedanke mich schon im Voraus für die Hilfe!!
_________________
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo CAKL,
> Gegeben sei das Geschwindigkeitsfeld [mm]F(x_{1},x_{2},x_{3})[/mm] =
> [mm]\vektor{x_{1}^{2}*x_{2}^{2} \\ -x_{3} \\ x_{2}^{2} + \bruch{1}{x_{1}-x_{3}} }[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> einer turbulenten Strömung sowie die Schnittfläche S des
> Zylinders Z mit der Ebene E, wobei
> Z={x aus [mm]R^3: x_{1}^2+x_{2}^2[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
≤ 9} und E: [mm]x_{1}-x_{3}[/mm] =
> 1
> (a) Berechnen Sie den Wirbelfluss des Vektorfeldes F durch
> S (d.h. berechnen Sie [mm]\integral_{S}^{}{rot(F ) dA}[/mm] ) ohne
> Verwendung des Integralsatzes von Stokes.
> (b) Man berechne nun den Wirbelfluss des Vektorfeldes F
> durch S unter Verwendung des Integralsatzes von Stokes und
> bestätige das Ergebnis aus Teil (a). Wählen Sie dazu den
> Umlaufsinn der Randkurve passend zur in (a) gewählten
> Normale der Fläche S.
> Hallo zusammen,
>
> ich bin gerade bei der Bearbeitung der obigen Aufgabe und
> meine Ergebnisse passen nicht zusammen.
>
> Bei der a) habe ich die Fläche wie folgt parametrisiert:
>
> x(u,v) = [mm]\vektor{u\\ v \\ u-1}[/mm] u [mm]\in[/mm] [-3,3], v [mm]\in [-\wurzel{9-u^2},\wurzel{9-u^2}][/mm]
>
> Der Normalenvektor ist [mm]\vektor{-1\\0\\1}[/mm]
>
> Ich erhalte also:
>
> [mm]\integral_{-3}^{3}{\integral_{-\wurzel{9-u^2}}^{\wurzel{9-u^2}}{\vektor{2v+1\\1\\-2*u^2*v}*\vektor{-1\\0\\1}dv du}}[/mm]
>
Siehe hier.
> Bei der b) habe ich die Randkurve wie folgt
> parametrisiert:
>
> [mm]y(t)=\vektor{3*cos(t)\\3*sin(t)\\3*cos(t)-1}[/mm] u [mm]\in [0,2\pi][/mm]
>
> Ich erhalte für das Kurvenintegral 2.Art also:
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\vektor{9*cos(t)*sin(t)\\9*cos(t)^2-3*cos(t)\\6*cos(t)-2}*\vektor{-3*sin(t)\\3*cos(t)\\-3*sin(t)}dt}[/mm]
> = [mm]-9*\pi[/mm]
>
Der erste Vektor stimmt nicht,
jedoch stimmt das Ergebnis.
>
> Die Ergebnisse passen nicht überein.
>
> Sieht jemand den Fehler? Sind meine Parametrisierungen
> richtig?
>
> Ich bedanke mich schon im Voraus für die Hilfe!!
>
> _________________
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruss
MathePower
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