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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:05 Fr 17.03.2006 | | Autor: | Ursus |
| Aufgabe | Zwei Punkte werden zufällig auf der Zahlengeraden mit 0<=x<=3 und -2<=y<=0 gewählt.
Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass die Streckenlänge zwischen x und y größer als 3 ist. |
Hallo Leute!
Mein Ansatz 1:
Die gesamte Streckenlänge ist 5.
[mm] \Rightarrow [/mm] P(X>3) = [mm] \bruch{2}{5}
[/mm]
Aber nach längeren überlegen, bin ich draufgekommen, dass das eigentlich die Wahrscheinlichkeit ist:
wenn man z.B. EINEN Punkt auf der Zahlengerade [0;5] wählt und dieser größer als 3 ist.
Bei gebenen Beispiel müssen ja 2 zufällige Punkte gewählt werden.
Das kann doch nicht dasselbe ergeben, oder?
Ansatz 2:
Jetzt habe ich mir es so überlegt, aber hier komme ich nicht weiter.
und zwar zerlege ich die einzelnen Strecken in einzelne Punkte mit je unterschied 0.01.
zb. y [mm] \in [/mm] {-2,-1.99,-1.98,......,-0.02,-0.01,0}
x [mm] \in [/mm] {0,0.01,.......,2.98,2.99,3}
Jetzt ist die Möglichkeit genau einen Punkt zu treffen
bei y -> 1/201, bei x -> 1/301
genau 2 Punkte zu treffen ist jetzt
1/201*1/301
So jetzt überleg ich mir noch, bei welchen Punkte die Strecke größer als drei ist?
ok. hier hab ich mein Problem:
ich kann mir schon einige Punkte aufzählen, die in der Menge enhalten sind, aber sicher nicht alle:
z.B. x=1.01 -> y muss -2 sein also P= 1/201*1/301
x=1.5 -> y muss <-1.5 sein P= 1/201*50/301 usw....
Meine Fragen:
Wie erreiche ich alle Fälle?
Wie lasse ich dann die Anzahl der [mm] Punkte\rightarrow\infty [/mm] laufen?
Reicht mein Ansatz 1?
Vielen Dank für eure Hilfe!
mfg URSUS
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:27 Fr 17.03.2006 | | Autor: | ChryZ |
Hier mal der formale Ansatz zu dem Problem:
Z := X - Y X ~ U(0;3), Y ~ U(-2;0), X, Y unabhängig
Gesucht: P(Z>3)
Die gesuchte W'keit kannst Du berechnen, sobald Du die Vtlg von Z kennst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:26 Fr 17.03.2006 | | Autor: | Ursus |
Danke erstmals!
Wie kann ich die Verteilung von z berechnen?
Es gibt doch unendlich viele Kombinationsmöglichkeiten. Da die beiden Intervalle nicht abzählbar viele Elemente enthalten.
Besten Dank!
Gruß URSUS
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:18 Fr 17.03.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Danke erstmals!
> Wie kann ich die Verteilung von z berechnen?
Also einmal ist ja $Z = X + [mm] \tilde{Y}$ [/mm] mit [mm] $\tilde{Y} \sim [/mm] U(0, 2)$, wobei $X$ und [mm] $\tilde{Y}$ [/mm] unabhaengig sind.
So. Wenn du zwei unabhaengige Zufallsvariablen $X, Y$ hast mit Dichten [mm] $f_X$, $f_Y$, [/mm] dann ist die Dichte [mm] $f_Z$ [/mm] von $Z := X + Y$ gegeben durch [mm] $f_Z(x) [/mm] = [mm] \int_{-\infty}^\infty f_X(t) f_Y(x-t) \; [/mm] dt$ (Faltung).
Damit kannst du dann die Dichte und somit die Verteilung von $Z$ bestimmen 
(Tipp: Gib [mm] $f_Z$ [/mm] stueckweise an.)
> Es gibt doch unendlich viele Kombinationsmöglichkeiten. Da
> die beiden Intervalle nicht abzählbar viele Elemente
> enthalten.
Genau. Deswegen musst du es auch mit der Faltung machen, siehe oben.
LG Felix
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