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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Wahrscheinlichkeit
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Wahrscheinlichkeit: Zufallsvariablen
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 11:32 Sa 02.05.2015
Autor: mike1988

Aufgabe
Die Zufallsvariablen X und Y sind unabhängig und normatverteil mit
X [mm] \sim NV(\mu=0,\sigma^2=1) [/mm] und Y [mm] \sim NV(\mu=1,\sigma^2=1). [/mm]

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit [mm] P(X+Y\le1) [/mm] und [mm] P(X-Y\le0)! [/mm]


Hallo!

Stehe gerade ziemlich auf der Leitung bei der Lösung dieses Beispiels!

Es gilt doch, dass die Summe von unabhängig normalverteilten Zufallsvariablen wiederum normalverteilt ist.

X [mm] \sim NV(\mu=0,\sigma^2=1) [/mm]
Y [mm] \sim NV(\mu=1,\sigma^2=1) [/mm]
X+Y [mm] \sim NV(\mu=1,\sigma^2=2) [/mm]

Somit kann ich über das Integral der Standardnormalverteilung von [mm] -\infty [/mm] bis 1 die Wahrscheinlichkeit für X+Y [mm] \le [/mm] 1 berechnen. Hierbei erhalte ich als Ergebnis 0,5. Soweit zum ertsen Punkt!

Nur stellt sich für mich jetzt die Frage, wie ich die Wahrscheinlichkeit X-Y [mm] \le [/mm] 0 berechnen kann? Funktioniert dies auch nach obigem Schema?

X [mm] \sim NV(\mu=0,\sigma^2=1) [/mm]
Y [mm] \sim NV(\mu=1,\sigma^2=1) [/mm]
X-Y [mm] \sim NV(\mu_{x}-\mu_{y},\sigma_{x}^2-\sigma_{y}^2) [/mm]


Vielen Dank für eure Hilfe!

Lg

        
Bezug
Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:58 Sa 02.05.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

gibt zwei Wege:

1.) was weißt du denn über die Summe von unabhängigen, normalverteilten Zufallsvariablen?

2.) Wie berechnet du die Verteilung eines Zufallsvektors (X,Y) wenn du die gemeinsame Dichte [mm] f_{(X,Y)} [/mm] gegeben hast?
Das ist übrigens analog wie im rellen Fall.

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
Wahrscheinlichkeit: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:09 Sa 02.05.2015
Autor: mike1988

Hallo!

Kann mir noch kurz jemand sagen, ob die zweite Folgerung richtig ist oder wie ich sonst die Wahrscheinlichkeit (x-y [mm] \le [/mm] 0) berehcnen kann?



DANKE!

Lg



Bezug
                
Bezug
Wahrscheinlichkeit: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:30 Sa 02.05.2015
Autor: Thomas_Aut

Die Differenz ist wieder normalverteilt mit :

[mm] $\mu_{X-Y} [/mm] = [mm] \mu_{X}-\mu_{Y}$ [/mm] und [mm] $\sigma^{2}_{X-Y} [/mm] = [mm] \sigma^{2}_{X}+\sigma^{2}_{Y}$ [/mm]



lg

Bezug
                        
Bezug
Wahrscheinlichkeit: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:43 Sa 02.05.2015
Autor: mike1988

Wunderbar, vielen Dank!

Lg

Bezug
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