www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Voll. Induktion Ungleichung
Voll. Induktion Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Induktion"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Voll. Induktion Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:07 So 09.11.2014
Autor: Ceriana

Aufgabe
Beweise:

Es seien n [mm] \in \IN [/mm] und nicht-negative Zahlen [mm] x_{1}, [/mm] ... , [mm] x_{n} \ge [/mm] 0 gegeben. Dann gilt:

[mm] \produkt_{k=1}^{n}{(1+x_{k})} \ge 1+\summe_{k=1}^{n}{x_{k}} [/mm]

Guten Morgen,

ich habe ein Problem mit dieser Ungleichung. Als Beweisverfahren bietet sich hier die vollständige Induktion an:

Induktionsanfang:

Sei [mm] x_{n} [/mm] beliebig [mm] \ge [/mm] 0.

Für A(1) gilt:

[mm] \produkt_{k=1}^{1}{(1+x_{k})} \ge 1+\summe_{k=1}^{1}{x_{k}} [/mm] = [mm] 1+x_{k} \ge 1+x_{k}. [/mm]

Damit ist der Induktionsanfang für A(1) wahr.

Induktionsvoraussetzung:

Sei [mm] \produkt_{k=1}^{n}{(1+x_{k})} \ge 1+\summe_{k=1}^{n}{x_{k}}. [/mm]

Induktionsbehauptung:

[mm] \produkt_{k=1}^{n+1}{(1+x_{k})} \ge 1+\summe_{k=1}^{n+1}{x_{k}} [/mm]

Das kann man im Beweis schreiben als:

[mm] {(1+x_{k})} [/mm] * [mm] (\produkt_{k=1}^{n}{(1+x_{k})}) \ge x_{k}+(1+\summe_{k=1}^{n}{x_{k}}) [/mm]

Bereits hier komme ich nicht weiter. Mir bereitet vorallem das beliebige [mm] x_{k} [/mm] ein Problem, weil ich nicht weiß wie ich das in den Beweis einbinden soll (muss ich überhaupt?). Auch habe ich allgemein Probleme mit Ungleichungen (nie gemacht, jetzt plötzlich in Massen). Ich habe versucht, andere Beweise von Ungleichungen durch Induktion nachzuvollziehen, wurde dadurch aber eher noch verwirrter und ratloser als vorher.

Kann mir da jemand von euch weiterhelfen?

Liebe Grüße,

Ceriana

        
Bezug
Voll. Induktion Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:59 So 09.11.2014
Autor: DieAcht

Hallo Ceriana,


> Beweise:
>  
> Es seien n [mm]\in \IN[/mm] und nicht-negative Zahlen [mm]x_{1},[/mm] ... ,
> [mm]x_{n} \ge[/mm] 0 gegeben. Dann gilt:
>  
> [mm]\produkt_{k=1}^{n}{(1+x_{k})} \ge 1+\summe_{k=1}^{n}{x_{k}}[/mm]
>  
> Guten Morgen,
>  
> ich habe ein Problem mit dieser Ungleichung. Als
> Beweisverfahren bietet sich hier die vollständige
> Induktion an:
>  
> Induktionsanfang:
>  
> Sei [mm]x_{n}[/mm] beliebig [mm]\ge[/mm] 0.

Falsch. Richtig: Für alle [mm] n\in\IN [/mm] seien [mm] $x_{n}\ge [/mm] 0$ beliebig, aber fest.

> Für A(1) gilt:

Erst wenn wir die zu zeigende Aussage definieren als Aussage
der Form [mm] $A(n)\$ [/mm] für alle [mm] n\in\IN [/mm] macht es Sinn [mm] $A(1)\$ [/mm] zu schreiben.

> [mm]\produkt_{k=1}^{1}{(1+x_{k})} \ge 1+\summe_{k=1}^{1}{x_{k}}[/mm]
> = [mm]1+x_{k} \ge 1+x_{k}.[/mm]
> Damit ist der Induktionsanfang für A(1) wahr.

Damit hast du [mm] $A(1)\$ [/mm] nicht gezeigt. Zu zeigen: [mm] $A(1)\$ [/mm] ist wahr.

      [mm] \produkt_{k=1}^{1}{(1+x_{k})} \ge 1+\summe_{k=1}^{1}{x_{k}} [/mm]

      [mm] $\Longleftrightarrow (1+x_{1}) \ge [/mm] 1+ [mm] x_1$. [/mm]

Wegen [mm] $x_1\ge [/mm] 0$ beliebig, aber fest, ist [mm] $A(1)\$ [/mm] wahr.

> Induktionsvoraussetzung:
>  
> Sei [mm]\produkt_{k=1}^{n}{(1+x_{k})} \ge 1+\summe_{k=1}^{n}{x_{k}}.[/mm] [mm] \red{(\star)} [/mm]

Genauer: Entweder du schreibst, dass die Behauptung [mm] \red{(\star)} [/mm] gelten sollte
für ein beliebiges, aber festes, [mm] n\in\IN, [/mm] oder du schreibst, dass die
Aussage [mm] $A(n)\$, [/mm] die du vorher definiert hast, gelten sollte für ein
beliebiges, aber festes, [mm] n\in\IN. [/mm]

> Induktionsbehauptung:
>  
> [mm]\produkt_{k=1}^{n+1}{(1+x_{k})} \ge 1+\summe_{k=1}^{n+1}{x_{k}}[/mm]

Richtig. Nun kommt der Induktionsschritt, also der Beweis der Induk-
tionsbehauptung [mm] $A(n+1)\$ [/mm] mit Hilfe der Induktionsvoraussetzung [mm] \red{(\star)}. [/mm]

> Das kann man im Beweis schreiben als:
>  
> [mm]{(1+x_{k})}[/mm] * [mm](\produkt_{k=1}^{n}{(1+x_{k})}) \ge x_{k}+(1+\summe_{k=1}^{n}{x_{k}})[/mm]

Du musst genauer arbeiten! Es ist

      [mm] \produkt_{k=1}^{n+1}{(1+x_{k})}=\produkt_{k=1}^{n}{(1+x_{k})}*(1+x_{n+1})\overset{\text{IV }\red{(\star)}}{\ge}\left(1+\summe_{k=1}^{n}{x_{k}}\right)*(1+x_{n+1}). [/mm]

Nun wieder du! Vielleicht ist es dir noch nicht klar, aber
du sollst die Induktionsbehauptung zeigen, so dass du auf

      [mm] 1+\sum_{k=1}^{n+1}x_k [/mm]

kommen musst (Ist dir das klar?).


Gruß
DieAcht

      

Bezug
                
Bezug
Voll. Induktion Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:39 So 09.11.2014
Autor: Ceriana

Hey, sorry, konnte leider erst jetzt antworten.


Leider konnte ich dir nicht wirklich folgen ab

> Du musst genauer arbeiten! Es ist
>  
> [mm]\produkt_{k=1}^{n+1}{(1+x_{k})}=\produkt_{k=1}^{n}{(1+x_{k})}*(1+x_{n+1})\overset{\text{IV }\red{(\star)}}{\ge}\left(1+\summe_{k=1}^{n}{x_{k}}\right)*(1+x_{n+1}).[/mm]
>  
> Nun wieder du! Vielleicht ist es dir noch nicht klar, aber
>  du sollst die Induktionsbehauptung zeigen, so dass du auf
>  
> [mm]1+\sum_{k=1}^{n+1}x_k[/mm]
>  
> kommen musst (Ist dir das klar?).

nicht mehr folgen. Wieso muss ich nur

[mm] 1+\sum_{k=1}^{n+1}x_k [/mm]

zeigen? Aber vorallem das Hauptproblem: Wie zeige ich sowas? Bei meinen bisherigen Beweisen mit vollständiger Induktion gab es immer eine Art "Zielterm", zu dem man durch Umformen gelangte. Hier weiß ich aber leider nichtmal, wie ich solche Terme umformen kann.



Bezug
                        
Bezug
Voll. Induktion Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:12 So 09.11.2014
Autor: leduart

Hallo
dein Hauptfehler ist, dass du den Summationsindes und das n durcheinanderbringst. dür n=1 steht doch da einfach
[mm] \produkt_{k=1}^{1}(x_k+1)\ge 1+\summe_{k=1}^{1}x_k [/mm]
und damit [mm] 1+x_1\ge 1+x_1 [/mm]
schon mal kein k
jetzt Ind vors:  [mm] \produkt_{k=1}^{n}(x_k+1) \ge 1+\summe_{k=1}^{n}x_k [/mm]
Induktions Behauptung
[mm] \produkt_{k=1}^{n+1}(x_k+1) \ge 1+\summe_{k=1}^{n+1}x_k [/mm]
jetzt fang mit
[mm] \produkt_{k=1}^{n+1}(x_k+1)= \produkt_{k=1}^{n}(x_k+1)(1+x_{n+1} [/mm] )an und folgere, was daraus mit der Indvors folgt und schon bist du praktisch fertig
Gruß leduart

Bezug
                        
Bezug
Voll. Induktion Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:26 So 09.11.2014
Autor: DieAcht


> [mm]\produkt_{k=1}^{n+1}{(1+x_{k})}=\produkt_{k=1}^{n}{(1+x_{k})}*(1+x_{n+1})\overset{\text{IV }\red{(\star)}}{\ge}\left(1+\summe_{k=1}^{n}{x_{k}}\right)*(1+x_{n+1}).[/mm]

Nochmal kurz zur Abschätzung: Wegen der Induktionsvoraussetzung ist

      [mm] $\produkt_{k=1}^{n}{(1+x_{k})}\ge \left(1+\summe_{k=1}^{n}{x_{k}}\right)$. [/mm]

Der Ausdruck [mm] (1+x_{n+1}) [/mm] wird "mitgetragen" (Wieso klappt das?).

> Wieso muss ich nur [mm]1+\sum_{k=1}^{n+1}x_k[/mm]
> zeigen? Aber vorallem das Hauptproblem: Wie zeige ich
> sowas? Bei meinen bisherigen Beweisen mit vollständiger
> Induktion gab es immer eine Art "Zielterm", zu dem man
> durch Umformen gelangte. Hier weiß ich aber leider
> nichtmal, wie ich solche Terme umformen kann.


Das hast du richtig verstanden. Beim Induktionsschritt ist hier zu zeigen

      [mm] $\produkt_{k=1}^{n+1}{(1+x_{k})}\ge \left(1+\summe_{k=1}^{n+1}{x_{k}}\right)$. [/mm]

Aus diesem Grund haben wir auch links angefangen mit

      [mm] \produkt_{k=1}^{n+1}{(1+x_{k})}=\produkt_{k=1}^{n}{(1+x_{k})}*(1+x_{n+1})\overset{\text{IV }\red{(\star)}}{\ge}\left(1+\summe_{k=1}^{n}{x_{k}}\right)*(1+x_{n+1}) [/mm]

und wollen hinkommen zu

      [mm] \left(1+\summe_{k=1}^{n+1}{x_{k}}\right). [/mm]

Alles klar?

Bezug
                                
Bezug
Voll. Induktion Ungleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:23 So 09.11.2014
Autor: Ceriana

Hallo ihr beiden,

nach längerem Hinundher, Gelese und Rumgerechne bin ich jetzt zu diesem Ergebnis gekommen:

[mm] \produkt_{k=1}^{n+1}{(1+x_{k})}=\produkt_{k=1}^{n}{(1+x_{k})}*(1+x_{n+1})\overset{\text{IV }\red{(\star)}}{\ge}\left(1+\summe_{k=1}^{n}{x_{k}}\right)*(1+x_{n+1}) [/mm]

= 1 + [mm] \summe_{k=1}^{n}{x_{k}}+x_{n+1}+\summe_{k=1}^{n}{x_{k}}*x_{n+1} [/mm]

[mm] \ge [/mm] 1 + [mm] \summe_{k=1}^{n}{x_{k}} [/mm] + [mm] x_{n+1} [/mm]

= [mm] 1+\summe_{k=1}^{n+1}{x_{k}} [/mm]

Bin ich da korrekt vorgegangen? Mir ist auch nicht ganz klar wie man das vernünftig aufschreibt, reicht diese Darstellung?


Bezug
                                        
Bezug
Voll. Induktion Ungleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:36 So 09.11.2014
Autor: DieAcht


> Hallo ihr beiden,
>  
> nach längerem Hinundher, Gelese und Rumgerechne bin ich
> jetzt zu diesem Ergebnis gekommen:
>  
> [mm]\produkt_{k=1}^{n+1}{(1+x_{k})}=\produkt_{k=1}^{n}{(1+x_{k})}*(1+x_{n+1})\overset{\text{IV }\red{(\star)}}{\ge}\left(1+\summe_{k=1}^{n}{x_{k}}\right)*(1+x_{n+1})[/mm]
>
> = 1 +
> [mm]\summe_{k=1}^{n}{x_{k}}+x_{n+1}+\summe_{k=1}^{n}{x_{k}}*x_{n+1}[/mm]
> [mm]\ge[/mm] 1 + [mm]\summe_{k=1}^{n}{x_{k}}[/mm] + [mm]x_{n+1}[/mm]

Hier fehlt mir noch die Begründung, dass wegen der Voraus-
setzung [mm] $x_n\ge [/mm] 0$ für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt

      [mm] $\left(\sum_{k=0}^{n}x_k\right)*x_{n+1}\ge [/mm] 0$

und somit die Abschätzung richtig ist.

> = [mm]1+\summe_{k=1}^{n+1}{x_{k}}[/mm]
>  
> Bin ich da korrekt vorgegangen? Mir ist auch nicht ganz
> klar wie man das vernünftig aufschreibt, reicht diese
> Darstellung?

Ja, damit ist die Behauptung für alle [mm] n\in\IN [/mm] wahr.

Bezug
                                                
Bezug
Voll. Induktion Ungleichung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:47 So 09.11.2014
Autor: Ceriana

Alles klar, ich bin endlich dahinter gestiegen!

Dankeschön euch beiden :>

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Induktion"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de