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Verständnisfrage zu Reihen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:52 Di 29.12.2015
Autor: Manu271

Aufgabe
a) Sei [mm] (a_n) [/mm] die Folge aller natürlichen Zahlen, die nicht die Ziffernfolge 2016 enthalten, also die Folge 1,2,...,2015, 2017, ..., 20159, 20170, ...22015, 22016, .... Zeigen Sie, dass:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{a_n} [/mm] konvergiert

b) Sei [mm] (b_n) [/mm] die Folge aller natürlichen Zahlen, die die Ziffernfolge 2016 enthalten. Zeigen Sie, dass:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{b_n} [/mm] divergiert.

Hallo,

bei obigen Aufgaben stellt sich mir zuerst folgende Frage:
Wie kann [mm] a_n [/mm] konvergieren obwohl [mm] b_n [/mm] divergiert? Es gilt doch offensichtlich [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] > [mm] \summe_{n=1}^{\infty}b_n [/mm] oder nicht?
Naja jetzt zu den Aufgaben selbst:
Bei der a) habe ich das Quotientenkriterium versucht:
Also: [mm] \bruch{\bruch{1}{a_{n+1}}}{\bruch{1}{a_n}}=\bruch{a_n}{a_{n+1}} [/mm]
Viel weiter bin ich nicht gekommen. Der obige Bruch konvergiert für [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] gegen 1 oder? Dadurch könnte ich ja keine Aussage über die Konvergenz der Reihe machen...

Bei der Aufgabe b) weiß ich leider nicht welches Kriterium ich versuchen soll, ich kenne nur diese drei: Wurzelkriterium, Quotientenkriterium, Leibnizkriterium.

LG
Manu271

        
Bezug
Verständnisfrage zu Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:55 Di 29.12.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> bei obigen Aufgaben stellt sich mir zuerst folgende Frage:
>  Wie kann [mm]a_n[/mm] konvergieren obwohl [mm]b_n[/mm] divergiert?

das steht nirgends. Sowohl [mm] $a_n$ [/mm] als auch [mm] $b_n$ [/mm] divergieren.

> Es gilt doch offensichtlich [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm] > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}b_n[/mm] oder nicht?

Na was nun? Gilt die Aussage offensichtlich "oder nicht?".
Wie kannst du etwas, was (vermeindlich) offensichtlich ist, mit einem "oder nicht?" beenden?

Im Übrigen gilt offensichtlich [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n = \summe_{n=1}^{\infty}b_n = \infty[/mm]

Danach ist aber gar nicht gefragt.....


>  Naja jetzt zu den Aufgaben selbst:
>  Bei der a) habe ich das Quotientenkriterium versucht:
>  Also:
> [mm]\bruch{\bruch{1}{a_{n+1}}}{\bruch{1}{a_n}}=\bruch{a_n}{a_{n+1}}[/mm]
>  Viel weiter bin ich nicht gekommen. Der obige Bruch
> konvergiert für [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] gegen 1 oder?
> Dadurch könnte ich ja keine Aussage über die Konvergenz
> der Reihe machen...

Korrekt, das wird dich auch nicht weiterbringen.
Tipp: Finde durch Abschätzen eine konvergente Majorante.

> Bei der Aufgabe b) weiß ich leider nicht welches Kriterium
> ich versuchen soll, ich kenne nur diese drei:
> Wurzelkriterium, Quotientenkriterium, Leibnizkriterium.

Wenn du die a) hast, wird die b) einfach, wenn du dir einfach mal klar machst, was die Summe aus beiden Reihen ist und was du darüber weißt.....

Gruß,
Gono

Bezug
        
Bezug
Verständnisfrage zu Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:12 Di 29.12.2015
Autor: leduart

Hallo
sieh mal in wiki nach Kempner Reihen, da findest du die Beweisidee.
deine Ungleichung, auch wenn du [mm] 1/a_n [/mm] meinst ist natürlich falsch, weniger Summanden= kleinere Summe.
Gruß leduart


Bezug
        
Bezug
Verständnisfrage zu Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:44 Di 29.12.2015
Autor: abakus

Hallo Manu,
b) ist leicht.
Es gilt [mm] $\frac{1}{2016}>\frac{1}{2017}$. [/mm]
Es gilt weiterhin:
[mm] $\frac{1}{20160}>\frac{1}{20170}$ [/mm]
[mm] $\frac{1}{20161}>\frac{1}{20170}$ [/mm]
[mm] $\frac{1}{20162}>\frac{1}{20170}$ [/mm]
...
[mm] $\frac{1}{20169}>\frac{1}{20170}$, [/mm] womit die Summe dieser 10 Brüche ebenfalls größer ist als [mm] $\frac{10}{20170}=\frac{1}{2017}$. [/mm]
Mit [mm] $\frac{1}{201600}>\frac{1}{201700}$... [/mm] bis [mm] $\frac{1}{201699}>\frac{1}{201700}$ [/mm] findest du dann 100 Brüche, deren Summe größere ist als [mm] $\frac{100}{201700}=\frac{1}{2017}$ [/mm] usw.
Deine Summe ist letztendlich größer als die Summe von unendlich vielen Summanden [mm] $\frac{1}{2017}$ [/mm] .

Gruß Abakus


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